Может расширение

Расширения Кана являются универсальными конструкциями в теории категорий , разделе математики . Они тесно связаны с сопряженными , но также связаны с пределами и целями . Они названы в честь Дэниела М. Кана , который в 1960 году построил некоторые расширения (Кана), используя ограничения .

Раннее использование (того, что сейчас известно как) расширения Кана с 1956 года было в гомологической алгебре для вычисления производных функторов .

В «Категориях для работающего математика» Сондерс Мак Лейн назвал раздел «Все концепции являются расширениями Кана» и написал, что

Понятие расширений Кана включает в себя все другие фундаментальные концепции теории категорий.

Расширения Кана обобщают идею расширения функции, определенной на подмножестве, до функции, определенной на всем множестве. Это определение, что неудивительно, находится на высоком уровне абстракции. Если специализироваться на частично упорядоченных наборах , это становится относительно знакомым типом вопросов по ограниченной оптимизации .

Определение

Расширение Кана исходит из данных трех категорий.

$\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C}$

и два функтора

$X:\mathbf {A} \to \mathbf {C} ,F:\mathbf {A} \to \mathbf {B}$,

и существует в двух вариантах: «левое» расширение Кана и «правое» расширение Кана. $X$ вдоль $F$.

Правильное расширение Кана сводится к нахождению пунктирной стрелки и естественному преобразованию. $\epsilon$ на следующей схеме:

Формально правое кановское расширение $X$ вдоль $F$ состоит из функтора $R:\mathbf {B} \to \mathbf {C}$ и естественная трансформация $\epsilon :RF\to X$ коуниверсален по отношению к спецификации в том смысле, что для любого функтора $M:\mathbf {B} \to \mathbf {C}$ и естественная трансформация $\mu :MF\to X$, уникальное природное преобразование $\delta :M\to R$ определен и укладывается в коммутативную диаграмму:

где $\delta _{F}$ это естественная трансформация с $\delta _{F}(a)=\delta (Fa):MF(a)\to RF(a)$ для любого объекта $a$ из $\mathbf {A} .$

Функтор R часто пишется $\operatorname {Ran} _{F}X$.

Как и другие универсальные конструкции теории категорий , «левая» версия расширения Кана двойственна «правой» и получается заменой всех категорий их противоположностями .

Влияние этого на приведенное выше описание заключается лишь в изменении направления естественных преобразований.

(Напомним, что естественное преобразование $\tau$ между функторами $F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {D}$ состоит из наличия стрелки $\tau (a):F(a)\to G(a)$ для каждого объекта $a$ из $\mathbf {C}$, удовлетворяющий свойству «естественности». Когда мы переходим к противоположным категориям, источник и цель $\tau (a)$ меняются местами, вызывая $\tau$ действовать в противоположном направлении).

Это приводит к альтернативному описанию: левое кановское расширение $X$ вдоль $F$ состоит из функтора $L:\mathbf {B} \to \mathbf {C}$ и естественная трансформация $\eta :X\to LF$ универсальны по отношению к этой спецификации в том смысле, что для любого другого функтора $M:\mathbf {B} \to \mathbf {C}$ и естественная трансформация $\alpha :X\to MF$, уникальное природное преобразование $\sigma :L\to M$ существует и укладывается в коммутативную диаграмму:

где $\sigma _{F}$ это естественная трансформация с $\sigma _{F}(a)=\sigma (Fa):LF(a)\to MF(a)$ для любого объекта $a$ из $\mathbf {A}$.

Функтор L часто пишется $\operatorname {Lan} _{F}X$.

Использование слова «the» (как в «левом расширении Кана») оправдано тем фактом, что, как и все универсальные конструкции, если определяемый объект существует, то он уникален с точностью до единственного изоморфизма . В данном случае это означает, что (для левых Кановских расширений) если $L,M$ являются двумя левыми кановскими расширениями $X$ вдоль $F$, и $\eta ,\alpha$ являются соответствующими преобразованиями, то существует единственный изоморфизм функторов $\sigma :L\to M$ так что вторая диаграмма выше коммутирует. Аналогично и для правых расширений Кана.

Свойства

Расширения Кан как (совместные) ограничения

Дополнительная информация: предел (теория категорий)

Предполагать $X:\mathbf {A} \to \mathbf {C}$ и $F:\mathbf {A} \to \mathbf {B}$ два функтора. Если A мало кополно и C , то существует левое кановское расширение $\operatorname {Lan} _{F}X$ из $X$ вдоль $F$, определенный для каждого объекта b из B выражением

$(\operatorname {Lan} _{F}X)(b)=\varinjlim _{f:Fa\to b}X(a)$

где копредел берется по категории запятой $(F\downarrow \operatorname {const} _{b})$, где $\operatorname {const} _{b}\colon \ast \to \mathbf {B} ,\ast \mapsto b$ — постоянный функтор. Двойственным образом, если A мало, а C полно, то правые расширения Кана вдоль $F$ существуют и могут быть вычислены как предел

$(\operatorname {Ran} _{F}X)(b)=\varprojlim _{Fa\leftarrow b}X(a)$

над категорией запятой $(\operatorname {const} _{b}\downarrow F)$.

Расширения Кана как (со)оканчивающиеся

Дополнительная информация: coend (теория категорий)

Предполагать $X:\mathbf {A} \to \mathbf {C}$ и $F:\mathbf {A} \to \mathbf {B}$ — два функтора такие, что для всех объектов и a ′ из A и всех объектов b из B костепни a $\mathbf {B} (Fa',b)\cdot Xa$ в C. существуют Тогда функтор X имеет левое кановское расширение $\operatorname {Lan} _{F}X$ вдоль F , что таково, что для каждого b из B объекта

$(\operatorname {Lan} _{F}X)b=\int ^{a}\mathbf {B} (Fa,b)\cdot Xa$

когда указанный выше коэнд существует для каждого объекта b из B .

Двойственным образом правые расширения Кана можно вычислить по конечной формуле

$(\operatorname {Ran} _{F}X)b=\int _{a}Xa^{\mathbf {B} (b,Fa)}.$

Ограничения как расширения Кана

Предел ​ функтора $F:\mathbf {C} \to \mathbf {D}$ может быть выражено как расширение Кана с помощью

$\lim F=\operatorname {Ran} _{E}F$

где $E$ единственный функтор из $\mathbf {C}$ к $\mathbf {1}$ ( категория с одним объектом и одной стрелкой, терминальный объект в $\mathbf {Cat}$). Копредел $F$ может быть выражено аналогичным образом

$\operatorname {colim} F=\operatorname {Lan} _{E}F.$

Сопряжения как расширения Кана

Функтор $F:\mathbf {C} \to \mathbf {D}$ обладает левым сопряженным тогда и только тогда, когда правое кановское расширение $\operatorname {Id} :\mathbf {C} \to \mathbf {C}$ вдоль $F$ существует и сохраняется $F$. В этом случае левый сопряженный определяется выражением $\operatorname {Ran} _{F}\operatorname {Id}$ и это расширение Кана сохраняется даже любым функтором $\mathbf {C} \to \mathbf {E}$ что бы то ни было, т.е. является абсолютным расширением Кана.

Двойственно правый сопряженный существует тогда и только тогда, когда левое кановское расширение тождества вдоль $F$ существует и сохраняется $F$.

Приложения

Монада кодовой плотности функтора $G:\mathbf {D} \to \mathbf {C}$ является правым кановским расширением G вдоль себя.

Ссылки

• Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1956). Гомологическая алгебра . Принстонская математическая серия. Том. 19. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . Збл   0075.24305 .
• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  0-387-98403-8 . Збл   0906.18001 .

Внешние ссылки

• Модельно-независимое доказательство формулы копредела для левых кановских расширений
• Расширение Кана в n Lab
• Расширение Кана как ограничение: пример