Кодовая монада

В математике, особенно в теории категорий , кодовая монада — фундаментальная конструкция, связывающая монаду с широким классом функторов .

Определение

Монада кодовой плотности функтора $G:D\to C$ определяется как правое кановское расширение $G$ вдоль себя, при условии, что это расширение Кана существует. Таким образом, по определению это, в частности, функтор

$$T^{G}:C\to C.$$

Монадная структура на $T^{G}$ вытекает из универсального свойства правого кановского расширения.

Монада кодовой плотности существует всякий раз, когда $D$ — малая категория (имеет только набор, а не собственный класс морфизмов) и $C$ обладает всеми (маленькими, т. е. индексированными множествами) пределами. Он также существует всякий раз, когда $G$ имеет левый сопряженный.

По общей формуле вычисления правых Кановских расширений в терминах концов монада кодовой плотности задается следующей формулой:

$$T^{G}(c)=\int _{d\in D}G(d)^{C(c,G(d))},$$

где $C(c,G(d))$ обозначает множество морфизмов в $C$ между указанными объектами и интеграл обозначает конец. Таким образом, монада кодовой плотности сводится к рассмотрению карт из $c$ к объекту на изображении $G,$ и отображает множество таких морфизмов в $G(d),$ совместим со всеми возможными $d.$ Таким образом, как отмечает Эйвери, монады кодовой плотности имеют некоторое родство с концепцией интеграции и двойной дуализации.

Примеры

Кодовые монады правых сопряженных

Если функтор $G$ допускает левый сопряженный $F,$ монада кодовой плотности задается составным $G\circ F,$ вместе со стандартными единицами измерения и картами умножения.

Конкретные примеры функторов, не допускающих левого сопряженного

В ряде интересных случаев функтор $G$ является включением полной подкатегории, не допускающей левого сопряженного. Например, монада кодовой плотности включения FinSet в Set — это монада ультрафильтра, ассоциированная с любым множеством $M$ набор ультрафильтров на $M.$ Это было доказано Кеннисоном и Гилденхейсом. хотя и без использования термина «кодовая плотность». В этой формулировке заявление рассматривается Ленстером.

Похожий пример обсуждается Ленстером: монада кодовой плотности включения конечномерных векторных пространств (над фиксированным полем $k$) во все векторные пространства — это монада двойной дуализации, заданная отправкой векторного пространства $V$ к своему двойному дуалу

$$V^{**}=\operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (V,k),k).$$

Таким образом, в этом примере упомянутая выше конечная формула упрощается до рассмотрения (в приведенных выше обозначениях) только одного объекта. $d,$ а именно одномерное векторное пространство, в отличие от рассмотрения всех объектов в $D.$ Адамек и Соуза показывают, что в ряде ситуаций кодовая монада включения

$$D:=C^{fp}\subseteq C$$

конечно представленных объектов (также известных как компактные объекты ) является двойной монадой дуализации относительно достаточно хорошего копорождающего объекта . Это восстанавливает как включение конечных множеств в множества (где когенератором является множество двух элементов), так и включение конечномерных векторных пространств в векторные пространства (где когенератором является основное поле).

Сипош показал, что алгебры над монадой кодовой плотности включения конечных множеств (рассматриваемых как дискретные топологические пространства ) в топологические пространства эквивалентны пространствам Стоуна . Эйвери показывает, что монада Жири возникает как монада кодовой плотности естественных функторов забывания между определенными категориями выпуклых векторных пространств и измеримыми пространствами .

с

Из Либерти показывает, что монада кодовой плотности тесно связана с двойственностью Исбелла : для данной небольшой категории $C,$ Двойственность Исбелла относится к присоединению

$${\mathcal {O}}:Set^{C^{op}}\rightleftarrows (Set^{C})^{op}:Spec$$

между категорией предшкивов на $C$ (т.е. функторы из противоположной категории $C$ к множествам) и противоположную категорию коппучков на $C.$ Монада

$$Spec\circ {\mathcal {O}}$$

Показано, что индуцированный этим присоединением является монадой кодовой плотности вложения Йонеды

$$y:C\to Set^{C^{op}}.$$

И наоборот, монада кодовой плотности полной малой плотной подкатегории $K$ в полной категории $C$ показано, что оно индуцировано дуальностью Исбелла.

См. также

• Монадический функтор — операции в алгебре и математике. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Ссылки

• Ди Либерти, Иван (2019), Кодовая плотность: двойственность Исбелла, прообъекты, компактность и доступность , arXiv : 1910.01014
• Ленстер, Том (2013). «Коплотность и монада ультрафильтра» (PDF) . Теория и приложения категорий . 28 : 332–370. arXiv : 1209.3606 . Бибкод : 2012arXiv1209.3606L .

Сноски