Выпуклое пространство

В математике выпуклое пространство (или барицентрическая алгебра ) — это пространство, в котором можно брать выпуклые комбинации любых наборов точек.

определение

Выпуклое пространство можно определить как множество $X$ оснащен операцией двоичной выпуклой комбинации $c_{\lambda }:X\times X\rightarrow X$ для каждого $\lambda \in [0,1]$ удовлетворительно:

• $c_{0}(x,y)=x$
• $c_{1}(x,y)=y$
• $c_{\lambda }(x,x)=x$
• $c_{\lambda }(x,y)=c_{1-\lambda }(y,x)$
• $c_{\lambda }(x,c_{\mu }(y,z))=c_{\lambda \mu }\left(c_{\frac {\lambda (1-\mu )}{1-\lambda \mu }}(x,y),z\right)$ (для $\lambda \mu \neq 1$)

Отсюда можно определить n-арную операцию выпуклой комбинации, параметризованную n-кортежом $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$, где $\sum _{i}\lambda _{i}=1$.

Примеры

Любое реальное аффинное пространство является выпуклым. В более общем смысле любое выпуклое подмножество реального аффинного пространства является выпуклым пространством.

История

Выпуклые пространства изобретались независимо друг от друга много раз и получали разные названия, начиная, по крайней мере, со Стоуна (1949). Их также изучал Нейман (1970). и Свирщ (1974), среди других.