Компактный объект (математика)

В математике компактные объекты , также называемые конечно представленными объектами или объектами конечного представления , — это объекты в категории, удовлетворяющие определенному условию конечности.

Определение

Объект X в категории C , который допускает все фильтруемые копределы (также известные как прямые пределы ), называется компактным , если функтор

$\operatorname {Hom} _{C}(X,\cdot ):C\to \mathrm {Sets} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)$

коммутирует с фильтрованными копределами, т. е. если естественное отображение

$\operatorname {colim} \operatorname {Hom} _{C}(X,Y_{i})\to \operatorname {Hom} _{C}(X,\operatorname {colim} _{i}Y_{i})$

является биекцией для любой фильтрованной системы объектов $Y_{i}$ в С. ​ Поскольку элементы в отфильтрованном копределе слева представлены картами $X\to Y_{i}$, для некоторого i сюръективность приведенного выше отображения сводится к требованию, чтобы отображение $X\to \operatorname {colim} _{i}Y_{i}$ факторы по некоторым $Y_{i}$.

Терминология мотивирована примером, возникающим из топологии, упомянутой ниже. Некоторые авторы также используют терминологию, которая более тесно связана с алгебраическими категориями: Адамек и Росицки (1994) используют терминологию конечно представленного объекта вместо компактного объекта. Кашивара и Шапира (2006) называют их объектами конечного представления .

Компактность в ∞-категориях

То же определение применимо и в том случае, если C является ∞-категорией , при условии, что указанный выше набор морфизмов заменяется пространством отображений в C (а фильтрованные копределы понимаются в ∞-категорическом смысле, иногда также называемые фильтрованными гомотопическими копределами ).

в

Для триангулированной категории C , которая допускает все копроизведения , Ниман (2001) определяет объект как компактный, если

$\operatorname {Hom} _{C}(X,\cdot ):C\to \mathrm {Ab} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)$

коммутирует с копроизведениями. Связь этого понятия со сказанным выше такова: предположим, что C возникает как гомотопическая категория стабильной ∞-категории, допускающей все фильтруемые копределы. (Это условие во многих случаях выполняется, но не автоматически.) Тогда объект в C компактен в смысле Неемана тогда и только тогда, когда он компактен в ∞-категорическом смысле. Причина в том, что в устойчивой ∞-категории $\operatorname {Hom} _{C}(X,-)$ всегда коммутирует с конечными копределами, поскольку это пределы. Затем используется представление отфильтрованных копределов как соэквалайзера (который является конечным копределом) бесконечного копроизведения.

Примеры

Компактные объекты в категории множеств — это в точности конечные множества.

Для кольца R компактными объектами в категории R -модулей являются в точности конечно определенные R -модули. В частности, если R — поле, то компактные объекты — это конечномерные векторные пространства.

Аналогичные результаты справедливы для любой категории алгебраических структур, заданных операциями над множеством, подчиняющимся эквациональным законам. Такие категории, называемые многообразиями , можно систематически изучать с помощью теории Лоувера . Для любой теории Лоувера T существует категория Mod( T ) моделей T , а компактные объекты в Mod( T ) являются в точности конечно представленными моделями. Например: предположим, что T — это теория групп. Тогда Mod( T ) — это категория групп, а компактные объекты в Mod( T ) — это конечно представимые группы.

Компактные объекты в производной категории $D(R-{\text{Mod}})$ - модулей R являются в точности совершенными комплексами .

Компактные топологические пространства являются не компактными объектами в категории топологических пространств . Напротив, это именно конечные множества, наделенные дискретной топологией . Связь компактности в топологии с приведенным выше категоричным понятием компактности такова: для фиксированного топологического пространства $X$, есть категория ${\text{Open}}(X)$ чьи объекты являются открытыми подмножествами $X$ (и включения как морфизмы). Затем, $X$ является компактным топологическим пространством тогда и только тогда, когда $X$ компактен как объект в ${\text{Open}}(X)$.

Если $C$ любая категория, категория предшкивов ${\text{PreShv}}(C)$ (т.е. категория функторов из $C^{op}$ к множествам) имеет все копределы. Исходная категория $C$ подключен к ${\text{PreShv}}(C)$ по вложению Йонеды $h_{(-)}:C\to {\text{PreShv}}(C),X\mapsto h_{X}:=\operatorname {Hom} (-,X)$. Для любого объекта $X$ из $C$, $h_{X}$ представляет собой компактный объект (из ${\text{PreShv}}(C)$).

Аналогично, любая категория $C$ можно рассматривать как полную подкатегорию категории ${\text{Ind}}(C)$ инд -объектов в $C$. Рассматриваемый как объект этой более широкой категории, любой объект $C$ компактен. Фактически, компактные объекты ${\text{Ind}}(C)$ именно являются объектами $C$ (точнее, их изображения в ${\text{Ind}}(C)$).

Непримеры

Производная категория пучков абелевых групп на некомпактном X

В неограниченной производной категории пучков абелевых групп $D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}}))$ для некомпактного топологического пространства $X$, это, как правило, не компактно сгенерированная категория. Некоторые доказательства этого можно найти, рассмотрев открытую крышку. ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ (которое никогда нельзя уточнить до конечного подпокрытия, используя некомпактность $X$) и беру карту

$\phi \in {\text{Hom}}({\mathcal {F}}^{\bullet },{\underset {i\in I}{\text{colim}}}\mathbb {Z} _{U_{i}})$

для некоторых ${\mathcal {F}}^{\bullet }\in {\text{Ob}}(D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}})))$. Тогда для этой карты $\phi$ поднять на элемент

$\psi \in {\underset {i\in I}{\text{colim}}}{\text{ Hom}}({\mathcal {F}}^{\bullet },\mathbb {Z} _{U_{i}})$

придется учитывать некоторые $\mathbb {Z} _{U_{i}}$, что не гарантируется. Чтобы доказать это, необходимо показать, что любой компактный объект имеет поддержку в некотором компактном подмножестве. $X$, а затем отображение этого подмножества должно быть пустым.

квазикогерентных пучков в стеке

Для алгебраических стеков ${\mathfrak {X}}$ над положительной характеристикой, неограниченная производная категория $D_{qc}({\mathfrak {X}})$ квазикогерентных пучков, вообще говоря, не компактно порождается, даже если ${\mathfrak {X}}$ является квазикомпактным и квазиразделенным . Фактически, для алгебраического стека $B\mathbb {G} _{a}$, нет никаких компактных объектов, кроме нулевого объекта. Это наблюдение можно обобщить до следующей теоремы: если стек ${\mathfrak {X}}$ есть группа стабилизаторов $G$ такой, что

1. $G$ определяется над полем $k$ положительной характеристики
2. ${\overline {G}}=G\otimes _{k}{\overline {k}}$ имеет подгруппу, изоморфную $\mathbb {G} _{a}$

тогда единственный компактный объект в $D_{qc}({\mathfrak {X}})$ это нулевой объект. В частности, категория не является компактно порожденной.

Эта теорема применима, например, к $G=GL_{n}$ с помощью вложения $\mathbb {G} _{a}\to GL_{n}$ отправка точки $x\in \mathbb {G} _{a}(S)$ к единичной матрице плюс $x$ в $n$-й столбец в первой строке.

Компактно сгенерированные категории

В большинстве категорий условие компактности является достаточно строгим, поэтому большинство объектов не являются компактными. Категория $C$ если компактно генерируется, любой объект может быть выражен как отфильтрованный копредел компактных объектов в $C$. Например, любое векторное пространство V является фильтрованным копределом своих конечномерных (т. е. компактных) подпространств. Следовательно, категория векторных пространств (над фиксированным полем) компактно порождена.

Категории, которые компактно порождены и допускают все копределы, называются доступными категориями .

Отношение к дуализируемым объектам

Для категорий C с корректным тензорным произведением (более формально, C должна быть моноидальной категорией ) существует еще одно условие, налагающее некоторую конечность, а именно условие дуализуемости объекта . Если моноидальная единица в C компактна, то компактен и любой дуализируемый объект. Например, R компактен как R -модуль, поэтому это наблюдение можно применить. Действительно, в категории R -модулей дуализируемыми объектами являются конечно определенные проективные модули , в частности компактные. В контексте ∞-категорий дуализируемые и компактные объекты имеют тенденцию быть более тесно связанными, например, в ∞-категории комплексов R -модулей компактные и дуализируемые объекты совпадают. Этот и более общий пример согласования дуализируемых и компактных объектов обсуждается в работе Бен-Цви, Фрэнсиса и Надлера (2010) .

Ссылки

• Адамек, Иржи; Росицки, Иржи (1994), Локально презентабельные и доступные категории , Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511600579 , ISBN  0-521-42261-2 , МР   1294136
• Бен-Цви, Дэвид; Фрэнсис, Джон; Надлер, Дэвид (2010), «Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии», Журнал Американского математического общества , 23 (4): 909–966, arXiv : 0805.0157 , doi : 10.1090/S0894-0347-10-00669 -7 , МР   2669705 , С2КИД   2202294
• Касивара, Масаки; Шапира, Пьер (2006), Категории и пучки , Springer Verlag, doi : 10.1007/3-540-27950-4 , ISBN  978-3-540-27949-5 , МР   2182076
• Лурье, Джейкоб (2009), Высшая теория топоса , Анналы математических исследований, том. 170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , ISBN  978-0-691-14049-0 , МР   2522659
• Ниман, Амнон (2001), Триангулированные категории , Анналы математических исследований, том. 148, Издательство Принстонского университета