Алгебраический стек

В математике алгебраический стек — это обширное обобщение алгебраических пространств или схем , которые являются основой для изучения теории модулей . Многие пространства модулей строятся с использованием методов, специфичных для алгебраических стеков, таких как теорема о представимости Артина , которая используется для построения пространства модулей заостренных алгебраических кривых. ${\mathcal {M}}_{g,n}$ и набор модулей эллиптических кривых . Первоначально их представил Александр Гротендик. отслеживать автоморфизмы в пространствах модулей - метод, который позволяет рассматривать эти пространства модулей так, как если бы их основные схемы или алгебраические пространства были гладкими . После того как Гротендик разработал общую теорию происхождения, и Жиро - общая теория стопок, Понятие алгебраических стеков было определено Майклом Артином .

Определение

Мотивация

Одним из мотивирующих примеров алгебраического стека является рассмотрение группоидной схемы. $(R,U,s,t,m)$ по фиксированной схеме $S$. Например, если $R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}$ (где $\mu _{n}$ – групповая схема корней из единицы), $U=\mathbb {A} _{S}^{n}$, $s={\text{pr}}_{U}$ это карта проекции, $t$ это групповое действие

$\zeta _{n}\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(\zeta _{n}x_{1},\ldots ,\zeta _{n}x_{n})$

и $m$ это карта умножения

$m:(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\times _{\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\to \mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}$

на $\mu _{n}$. Затем, учитывая $S$-схема $\pi :X\to S$, группоидная схема $(R(X),U(X),s,t,m)$ образует группоид (где $R,U$ являются их ассоциированными функторами). Более того, эта конструкция функториальна относительно $(\mathrm {Sch} /S)$ образующий контравариантный 2-функтор

$(R(-),U(-),s,t,m):(\mathrm {Sch} /S)^{\mathrm {op} }\to {\text{Cat}}$

где ${\text{Cat}}$ это 2-категория категорий малых . Другой способ рассматривать это как расслоенную категорию. $[U/R]\to (\mathrm {Sch} /S)$ посредством строительства Гротендика . Получение правильных технических условий, таких как топология Гротендика на $(\mathrm {Sch} /S)$, дает определение алгебраического стека. Например, в связанном группоиде $k$-очки за поле $k$, над исходным объектом $0\in \mathbb {A} _{S}^{n}(k)$ существует группоид автоморфизмов $\mu _{n}(k)$. Однако, чтобы получить алгебраический стек из $[U/R]$, а не просто стек, необходимы дополнительные технические гипотезы для $[U/R]$.

Алгебраические стеки

Получается с использованием fppf-топологии (точно плоский и локально конечного представления) на $(\mathrm {Sch} /S)$, обозначенный $(\mathrm {Sch} /S)_{fppf}$, формирует основу для определения алгебраических стеков. Тогда алгебраический стек это расслоенная категория

$p:{\mathcal {X}}\to (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}$

такой, что

1. ${\mathcal {X}}$ категория, расслоенная на группоиды , что означает надкатегорию для некоторых $\pi :X\to S$ является группоидом
2. Диагональная карта $\Delta :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}\times _{S}{\mathcal {X}}$ расслоенных категорий представимо в виде алгебраических пространств
3. Существует $fppf$ схема $U\to S$ и связанный с ним 1-морфизм расслоенных категорий ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ который является сюръективным и гладким и называется атласом .

Разъяснение технических условий

Использование топологии fppf

Прежде всего, используется fppf-топология, потому что она хорошо ведет себя по отношению к спуску . Например, если есть схемы $X,Y\in \operatorname {Ob} (\mathrm {Sch} /S)$ и $X\to Y$может быть уточнено до fppf-покрытия $Y$, если $X$ является плоским, локально конечным типом или локально конечного представления, то $Y$ имеет это свойство. идею такого рода можно расширить, рассматривая свойства, локальные как в цели, так и в источнике морфизма. $f:X\to Y$. Для обложки $\{X_{i}\to X\}_{i\in I}$ мы говорим собственность ${\mathcal {P}}$ является локальным в источнике, если

$f:X\to Y$ имеет ${\mathcal {P}}$ тогда и только тогда, когда каждый $X_{i}\to Y$ имеет ${\mathcal {P}}$.

Существует аналогичное понятие о цели, называемое локальным на цели . Это значит, что дано прикрытие $\{Y_{i}\to Y\}_{i\in I}$

$f:X\to Y$ имеет ${\mathcal {P}}$ тогда и только тогда, когда каждый $X\times _{Y}Y_{i}\to Y_{i}$ имеет ${\mathcal {P}}$.

Для топологии fppf погружение является локальным на цели. В дополнение к предыдущим свойствам, локальным в источнике топологии fppf, $f$ универсальность открытости также локальна в источнике. Кроме того, будучи локально нётеровскими, Якобсон является локальным для источника и цели для топологии fppf. Этого не касается топология fpqc, что делает ее не такой «хорошей» с точки зрения технических свойств. Несмотря на то, что это правда, использование алгебраических стеков в топологии fpqc все еще имеет свое применение, например, в теории хроматической гомотопии . Это связано с тем, что набор формальных групповых законов Moduli ${\mathcal {M}}_{fg}$ это fpqc-алгебраический стек ^{стр. 40} .

Представительная диагональ

По определению, 1-морфизм $f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ категорий, расслоенных на группоиды, представимы алгебраическими пространствами если для любого морфизма fppf $U\to S$ схем и любого 1-морфизма $y:(Sch/U)_{fppf}\to {\mathcal {Y}}$, соответствующая категория, расслоенная на группоиды

$(Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}$

представимо в виде алгебраического пространства , означает, что существует алгебраическое пространство

$F:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets$

такая, что соответствующая расслоенная категория ${\mathcal {S}}_{F}\to (Sch/S)_{fppf}$ эквивалентно $(Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}$. Имеется ряд эквивалентных условий представимости диагонали. которые помогают дать представление об этом техническом состоянии, но одна из основных мотиваций следующая: для схемы $U$ и объекты $x,y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {X}}_{U})$ сноп $\operatorname {Isom} (x,y)$ представимо в виде алгебраического пространства. В частности, группа стабилизаторов для любой точки стека $x:\operatorname {Spec} (k)\to {\mathcal {X}}_{\operatorname {Spec} (k)}$ представимо в виде алгебраического пространства.Другой важной эквивалентностью представимой диагонали является техническое условие, согласно которому пересечение любых двух алгебраических пространств в алгебраическом стеке является алгебраическим пространством. Изменена формула с использованием волокнистых продуктов

${\begin{matrix}Y\times _{\mathcal {X}}Z&\to &Y\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\to &{\mathcal {X}}\end{matrix}}$

представимость диагонали эквивалентна $Y\to {\mathcal {X}}$ представим в алгебраическом пространстве $Y$. Это связано с тем, что данные морфизмы $Y\to {\mathcal {X}},Z\to {\mathcal {X}}$ из алгебраических пространств они распространяются на отображения ${\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}$ по диагональной карте. Аналогичное утверждение существует для алгебраических пространств, которое дает представимость пучка на $(F/S)_{fppf}$ как алгебраическое пространство.

Заметим, что аналогичное условие представимости диагонали выполняется для некоторых формулировок высших стеков где волокнистый продукт представляет собой $(n-1)$-стек для $n$-куча ${\mathcal {X}}$.

Сюръективный и гладкий атлас

2-лемма Йонеды

Существование $fppf$ схема $U\to S$ и 1-морфизм расслоенных категорий ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ который является сюръективным и гладким, зависит от определения гладких и сюръективных морфизмов расслоенных категорий. Здесь ${\mathcal {U}}$ — алгебраический стек представимого функтора $h_{U}$ на $h_{U}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets$ повышен до категории, расслоенной на группоиды, где категории имеют только тривиальные морфизмы. Это означает набор

$h_{U}(T)={\text{Hom}}_{(Sch/S)_{fppf}}(T,U)$

рассматривается как категория, обозначаемая $h_{\mathcal {U}}(T)$, с объектами в $h_{U}(T)$ как $fppf$ морфизмы

$f:T\to U$

а морфизмы — это тождественный морфизм. Следовательно

$h_{\mathcal {U}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Groupoids$

является 2-функтором группоидов. Доказательство того, что этот 2-функтор является пучком, является содержанием леммы 2-Йонеды . Используя конструкцию Гротендика, существует ассоциированная категория, расслоенная на группоиды, обозначаемая ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$.

Представимые морфизмы категорий,

Сказать этот морфизм ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ является гладким или сюръективным, нам необходимо ввести представимые морфизмы. Морфизм $p:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ категорий, расслоенных на группоиды по $(Sch/S)_{fppf}$ называется представимым, если дан объект $T\to S$ в $(Sch/S)_{fppf}$ и объект $t\in {\text{Ob}}({\mathcal {Y}}_{T})$ двухволоконный продукт

$(Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}$

представима схемой. Тогда можно сказать, что морфизм категорий, расслоенных на группоиды $p$ является гладким и сюръективным, если ассоциированный морфизм

$(Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}\to (Sch/T)_{fppf}$

схем является гладким и сюръективным.

-

Алгебраические стопки, также известные как стопки Артина , по определению оснащены гладким сюръективным атласом. ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$, где ${\mathcal {U}}$ это стек, связанный с некоторой схемой $U\to S$. Если атлас ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ кроме того, эталь, то ${\mathcal {X}}$ Говорят, что это стек Делиня-Мамфорда . Подкласс стеков Делиня-Мамфорда полезен, поскольку он обеспечивает правильную настройку для многих рассматриваемых естественных стеков, таких как стек модулей алгебраических кривых . Кроме того, они достаточно строги, чтобы объект, представленный точками в стеках Делиня-Мамфорда, не имел бесконечно малых автоморфизмов . Это очень важно, поскольку бесконечно малые автоморфизмы сильно затрудняют изучение теории деформации стопок Артина. Например, теория деформации стопки Артина $BGL_{n}=[*/GL_{n}]$, стек модулей ранга $n$ векторные расслоения, имеет бесконечно малые автоморфизмы, частично контролируемые алгеброй Ли ${\mathfrak {gl}}_{n}$. Это приводит к бесконечной последовательности деформаций и препятствий вообще, что является одной из мотиваций изучения модулей устойчивых расслоений . Только в частном случае теории деформации линейных расслоений $[*/GL_{1}]=[*/\mathbb {G} _{m}]$ является разрешимой теорией деформации, поскольку соответствующая алгебра Ли абелева .

Обратите внимание, что многие стопки невозможно естественным образом представить как стопки Делиня-Мамфорда, поскольку они допускают только конечные покрытия или алгебраические стопки с конечными покрытиями. Обратите внимание: поскольку каждое накрытие Этале плоское и локально конечного представления, алгебраические стеки, определенные с помощью fppf-топологии, включают эту теорию; но это все же полезно, поскольку многие стопки, встречающиеся в природе, имеют именно такую ​​форму, например, модули кривых ${\mathcal {M}}_{g}$. Также дифференциально-геометрический аналог таких стопок называется орбифолдами . Из условия Этале следует 2-функтор

$B\mu _{n}:(\mathrm {Sch} /S)^{\text{op}}\to {\text{Cat}}$

отправка схемы в свой группоид $\mu _{n}$- торсоры представимы в виде стека по топологии Этале, а стек Пикара $B\mathbb {G} _{m}$ из $\mathbb {G} _{m}$-торсоры (эквивалент категории линейных расслоений) не представимы. Стеки такого вида можно представить как стеки по топологии fppf.Другая причина для рассмотрения fppf-топологии по сравнению с этальной топологией — это чрезмерная характеристика. $p$ Куммера последовательность

$0\to \mu _{p}\to \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}\to 0$

является точным только как последовательность fppf-пучков, но не как последовательность этальных пучков.

Определение алгебраических стеков поверх других топологий

Использование других топологий Гротендика на $(F/S)$ дает альтернативные теории алгебраических стеков, которые либо недостаточно общие, либо плохо ведут себя в отношении обмена свойствами основания покрытия со всем пространством покрытия. Полезно напомнить, что существует следующая иерархия обобщений.

${\text{fpqc}}\supset {\text{fppf}}\supset {\text{smooth}}\supset {\text{etale}}\supset {\text{Zariski}}$

больших топологий на $(F/S)$.

Структурный пучок

Структурный пучок алгебраического стека — это объект, извлеченный из универсального структурного пучка. ${\mathcal {O}}$ на сайте $(Sch/S)_{fppf}$. Этот универсальный структурный пучок определяется как

${\mathcal {O}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Rings,{\text{ where }}U/X\mapsto \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})$

и связанный с ним структурный пучок в категории, расслоенной на группоиды

$p:{\mathcal {X}}\to (Sch/S)_{fppf}$

определяется как

${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}:=p^{-1}{\mathcal {O}}$

где $p^{-1}$ происходит из карты топологий Гротендика. В частности, это средство $x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}})$ лежит над $U$, так $p(x)=U$, затем ${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(x)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})$. Для проверки здравости стоит сравнить эту категорию с категорией, состоящей из группоидов, происходящих из $S$-схема $X$ для различных топологий. Например, если

$({\mathcal {X}}_{Zar},{\mathcal {O}}_{\mathcal {X}})=((Sch/X)_{Zar},{\mathcal {O}}_{X})$

— категория, расслоенная на группоиды над $(Sch/S)_{fppf}$, пучок структур открытой подсхемы $U\to X$ дает

${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)={\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$

таким образом, это определение восстанавливает классический пучок структур на схеме. Более того, для фактор-стека ${\mathcal {X}}=[X/G]$, пучок структур это просто дает $G$-инвариантные сечения

${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)=\Gamma (U,u^{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}$

для $u:U\to X$ в $(Sch/S)_{fppf}$.

Примеры

Классификация стопок

См. также: Стек коэффициентов

Многие классифицирующие стопки алгебраических групп являются алгебраическими стопками. Действительно, для алгебраического группового пространства $G$ по схеме $S$ который является плоским конечного представления, стек $BG$ является алгебраическим ^{Теорема 6.1} .

См. также

• Gerbe
• Группа Chow стека
• Когомологии стека
• Стек частных
• Пучок на алгебраическом стеке
• Торический стек
• критерий Артина
• Преследование стеков
• Производная алгебраическая геометрия

Внешние ссылки

Аксиомы Артина

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ — посмотрите «Аксиомы» и «Алгебраические стеки».
• Алгебраизация Артина и стеки факторов - Джарод Альпер

Документы

• Альпер, Джарод (2009). «Справочник по литературе по алгебраическим стекам» (PDF) . S2CID   51803452 . Архивировано из оригинала (PDF) 13 февраля 2020 г.
• Холл, Джек; Рид, Дэвид (2014). «Стек Гильберта» . Достижения в математике . 253 : 194–233. arXiv : 1011.5484 . дои : 10.1016/j.aim.2013.12.002 . S2CID   55936583 .
• Беренд, Кай А. (2003). «Производные ℓ-адические категории для алгебраических стеков» (PDF) . Мемуары Американского математического общества . 163 (774): 1–93. дои : 10.1090/memo/0774 . ISBN  978-1-4704-0372-0 .

Приложения

• Лафорг, Винсент (2014). «Введение в хтуки для редуктивных групп и в глобальную параметризацию Ленглендса». arXiv : 1404.6416 [ math.AG ].
• Делинь, П.; Рапопорт, М. (1973). «Схемы модулей эллиптических кривых». Модульные функции одной переменной II . Конспект лекций по математике. Полет. 349.стр. 143–316. дои : 10.1007/978-3-540-37855-6_4 . ISBN  978-3-540-06558-6 .
• Кнудсен, Финн Ф. (1983). «Проективность пространства модулей устойчивых кривых, II: Стеки ${\mathcal {M}}_{g,n}$" . Mathematica Scandinavica . 52 : 161. doi : 10.7146/math.scand.a-12001 .
• Цзян, Юньфэн (2019). «О построении стека модулей проективных расслоений Хиггса над поверхностями». arXiv : 1911.00250 [ math.AG ].

Другое

• Примеры стеков
• Заметки о топологиях Гротендика, расслоенных категориях и теории спуска
• Замечания об алгебраических стеках