Пучок на алгебраическом стеке

В алгебраической геометрии — квазикогерентный пучок на алгебраическом стеке. ${\mathfrak {X}}$ является обобщением квазикогерентного пучка на схеме. Наиболее конкретное описание состоит в том, что это данные, которые для каждой состоят из схемы S в базовой категории и $\xi$ в ${\mathfrak {X}}(S)$, квазикогерентный пучок $F_{\xi }$ на S вместе с отображениями, реализующими условия совместимости между $F_{\xi }$х.

Для стека Делиня–Мамфорда существует более простое описание в терминах представления $U\to {\mathfrak {X}}$: квазикогерентный пучок на ${\mathfrak {X}}$ получается спуском квазикогерентного пучка на U . Квазикогерентный пучок на стеке Делиня–Мамфорда обобщает орбирасслоение (в некотором смысле).

Конструктивные пучки (например, как ℓ-адические пучки ) также могут быть определены в алгебраическом стеке, и они появляются как коэффициенты когомологий стека .

Определение

Следующее определение ( Арбарелло, Корнальба и Гриффитс 2011 , глава XIII, определение 2.1.)

Позволять ${\mathfrak {X}}$ — категория, расслоенная в группоиды над категорией схем конечного типа над полем со структурным функтором p . Тогда квазикогерентный пучок на ${\mathfrak {X}}$ это данные, состоящие из:

1. для каждого объекта $\xi$, квазикогерентный пучок $F_{\xi }$ на схеме $p(\xi )$,
2. для каждого морфизма $H:\xi \to \eta$ в ${\mathfrak {X}}$ и $h=p(H):p(\xi )\to p(\eta )$ в базовой категории изоморфизм

   $\rho _{H}:h^{*}(F_{\eta }){\overset {\simeq }{\to }}F_{\xi }$

удовлетворяющее условию коцикла: для каждой пары $H_{1}:\xi _{1}\to \xi _{2},H_{2}:\xi _{2}\to \xi _{3}$,

$h_{1}^{*}h_{2}^{*}F_{\xi _{3}}{\overset {h_{1}^{*}(\rho _{H_{2}})}{\to }}h_{1}^{*}F_{\xi _{2}}{\overset {\rho _{H_{1}}}{\to }}F_{\xi _{1}}$ равно $h_{1}^{*}h_{2}^{*}F_{\xi _{3}}{\overset {\sim }{=}}(h_{2}\circ h_{1})^{*}F_{\xi _{3}}{\overset {\rho _{H_{2}\circ H_{1}}}{\to }}F_{\xi _{1}}$.

(ср. эквивариантный пучок .)

Примеры

• на Расслоение Ходжа стеке модулей алгебраических кривых фиксированного рода.

ℓ-адический формализм

ℓ -адический формализм (теория ℓ-адических пучков) распространяется на алгебраические стопки.

См. также

• Алгеброид Хопфа - кодирует данные квазикогерентных пучков на предварительном суммировании, которое можно представить как группоид, внутренний для аффинных схем (или проективных схем с использованием градуированных алгеброидов Хопфа).

Ссылки

• Арбарелло, Энрико; Гриффитс, Филипп (2011). Геометрия алгебраических кривых. Том II, при участии Джозефа Дэниела Харриса . Основные принципы математических наук. Том 268. doi : 10.1007/978-3-540-69392-5 . ISBN  978-3-540-42688-2 . МР   2807457 .
• Беренд, Кай А. (2003). «Производные 𝑙-адические категории для алгебраических стеков» . Мемуары Американского математического общества . 163 (774). дои : 10.1090/memo/0774 .
• Лаумон, Жерар ; Море-Байи, Лоран (2000). Алгебрические поля . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике. Том 39. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-24899-6 . ISBN  978-3-540-65761-3 . МР   1771927 .
• Олссон, Мартин (2007). «Снопы на стогах Артина». Журнал чистой и прикладной математики (Crelle's Journal) . 2007 (603): 55-112. дои : 10.1515/CRELLE.2007.012 . S2CID   15445962 . Примечание редакции : В данной статье исправлена ​​ошибка в «Алгебрических полях» Ломона и Море-Байи .
• Рид, Дэвид (2016). «Аппроксимация пучков на алгебраических стеках». Уведомления о международных математических исследованиях . 2016 (3): 717–737. arXiv : 1408.6698 . дои : 10.1093/imrn/rnv142 .

Внешние ссылки

• https://mathoverflow.net/questions/69035/the-category-of-l-adic-sheaves
• http://math.stanford.edu/~conrad/Weil2seminar/Notes/L16.pdf Адический формализм, часть 2 Брайан Лоуренс 1 марта 2017 г.