Эквивариантный пучок

В математике дано действие $\sigma :G\times _{S}X\to X$ групповой схемы G на схеме X над базовой схемой S эквивариантный пучок F на X является пучком ${\mathcal {O}}_{X}$-модулей вместе с изоморфизмом ${\mathcal {O}}_{G\times _{S}X}$-модули

$\phi :\sigma ^{*}F\xrightarrow {\simeq } p_{2}^{*}F$  

который удовлетворяет условию коцикла: написав m для умножения,

$p_{23}^{*}\phi \circ (1_{G}\times \sigma )^{*}\phi =(m\times 1_{X})^{*}\phi$.

Примечания к определению

На уровне стебля условие коцикла говорит, что изоморфизм $F_{gh\cdot x}\simeq F_{x}$ такой же, как и состав $F_{g\cdot h\cdot x}\simeq F_{h\cdot x}\simeq F_{x}$; т. е. ассоциативность группового действия. Условие того, что единица группы выступает в качестве тождества, также является следствием: применить $(e\times e\times 1)^{*},e:S\to G$ обеим сторонам, чтобы получить $(e\times 1)^{*}\phi \circ (e\times 1)^{*}\phi =(e\times 1)^{*}\phi$ и так $(e\times 1)^{*}\phi$ это личность.

Обратите внимание, что $\phi$ это дополнительные данные; это «подъем» действия G на X на пучок F . Более того, когда G — связная алгебраическая группа, F — обратимый пучок и X приведено, условие коцикла является автоматическим: любой изоморфизм $\sigma ^{*}F\simeq p_{2}^{*}F$ автоматически удовлетворяет условию коцикла (этот факт отмечен в конце доказательства гл. 1, § 3, предложения 1.5 «геометрической теории инвариантов» Мамфорда).

Если действие G свободно, то понятие эквивариантного пучка упрощается до пучка на факторе X / G из-за спуска по торсорам .

По лемме Йонеды , чтобы придать структуру эквивариантного пучка ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль F — это то же самое, что задать групповые гомоморфизмы для колец R над $S$,

$G(R)\to \operatorname {Aut} (X\times _{S}\operatorname {Spec} R,F\otimes _{S}R)$.

Существует также определение эквивариантных пучков в терминах симплициальных пучков . В качестве альтернативы можно определить эквивариантный пучок как эквивариантный объект в категории, скажем, когерентных пучков.

Линеаризованные линейные пучки

Структура эквивариантного пучка на обратимом пучке или линейном расслоении называется также линеаризацией .

Пусть X — полное многообразие над алгебраически замкнутым полем, на которое действует связная редуктивная группа G , а L — обратимый пучок на нем. Если X нормально, то некоторая тензорная степень $L^{n}$ L . линеаризуемо

Кроме того, если L очень обилен и линеаризован, то существует G -линейное замкнутое погружение из X в $\mathbf {P} ^{N}$ такой, что ${\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)$ линеаризована, а линеаризация на L индуцирована линеаризацией ${\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)$.

Тензорные произведения и обратные линеаризованным обратимым пучкам снова линеаризуются естественным образом. Таким образом, классы изоморфизма линеаризованных обратимых пучков на схеме X образуют абелеву группу. Существует гомоморфизм группы Пикара X , который забывает линеаризацию; этот гомоморфизм, вообще говоря, не является ни инъективным, ни сюръективным, и его ядро ​​можно отождествить с классами изоморфизма линеаризации тривиального линейного расслоения.

См. пример 2.16 из [1] для примера многообразия, для которого большинство линейных расслоений не линеаризуемы.

Двойное действие на сечениях эквивариантных пучков.

Для алгебраической группы G и G -эквивариантного пучка F на X над полем k пусть $V=\Gamma (X,F)$ быть пространством глобальных разделов. Тогда он допускает структуру G -модуля; т. е. V является линейным представлением G . следующим образом Письмо $\sigma :G\times X\to X$ для группового действия для каждого g в G и v в V пусть

$\pi (g)v=(\varphi \circ \sigma ^{*})(v)(g^{-1})$

где $\sigma ^{*}:V\to \Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F)$ и $\varphi :\Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F){\overset {\sim }{\to }}\Gamma (G\times X,p_{2}^{*}F)=k[G]\otimes _{k}V$ — изоморфизм, заданный структурой эквивариантного пучка на F . Тогда условие коцикла гарантирует, что $\pi :G\to GL(V)$ является групповым гомоморфизмом (т. е. $\pi$ это представление.)

Пример : взять $X=G,F={\mathcal {O}}_{G}$ и $\sigma =$ действие G на себя. Затем $V=k[G]$, $(\varphi \circ \sigma ^{*})(f)(g,h)=f(gh)$ и

$(\pi (g)f)(h)=f(g^{-1}h)$,

значение $\pi$ является левым регулярным G . представлением

Представительство $\pi$ определенное выше, является рациональным представлением : для каждого вектора v в V существует конечномерный G -подмодуль V , который содержит v .

Эквивариантное векторное расслоение

Определение проще для векторного расслоения (т. е. многообразия, соответствующего локально свободному пучку постоянного ранга). Мы говорим, что векторное расслоение E на алгебраическом многообразии X, на котором действует алгебраическая группа G, является эквивариантным, если G действует послойно: т. е. $g:E_{x}\to E_{gx}$ является «линейным» изоморфизмом векторных пространств. Другими словами, эквивариантное векторное расслоение — это пара, состоящая из векторного расслоения и поднятия действия $G\times X\to X$ к тому из $G\times E\to E$ так что проекция $E\to X$ является эквивариантным.

Как и в неэквивариантной ситуации, можно определить эквивариантный характеристический класс эквивариантного векторного расслоения.

Примеры

• Касательное расслоение многообразия или гладкого многообразия является эквивариантным векторным расслоением.
• Пучок эквивариантных дифференциальных форм .
• Пусть G — полупростая алгебраическая группа и λ:H→ C — характер на максимальном торе H . Она продолжается до борелевской подгруппы λ:B→ , давая одномерное представление W _λ группы B. C Тогда GxW _λ — тривиальное векторное расслоение над G, на котором B. действует Фактор L _λ =Gx _B W _λ по действию B является линейным расслоением над многообразием флагов G/B . Обратите внимание, что G→G/B — это расслоение B , так что это всего лишь пример связанной конструкции расслоения. Теорема Бореля –Вейля–Ботта гласит, что все представления группы G возникают как когомологии таких линейных расслоений.
• Если X=Spec(A) — аффинная схема, G _m -действие на X — это то же самое, что Z -градуация на A . Аналогично, Gm _- эквивариантный квазикогерентный пучок на X — это то же самое, что и Z- градуированный A. модуль

См. также

• Эквивариантная алгебраическая K-теория
• Эквивариантный расслоение
• Эквивариантные когомологии
• Стек частных

Ссылки

• Дж. Бернштейн, В. Лунц, «Эквивариантные пучки и функторы», Конспекты лекций Springer по математике. 1578 (1994).
• Мамфорд, Дэвид; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис (1994). Геометрическая теория инвариантов . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-56963-3 . МР   1304906 .
• Гайцгори, Д. (2005). «Теория геометрического представления, Math 267y, осень 2005 г.» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 22 января 2015 года.
• Томпсон, RW (1987). «Алгебраическая К-теория действий групповой схемы». В браузере, Уильям (ред.). Алгебраическая топология и алгебраическая К-теория: материалы конференции 24–28 октября 1983 г. в Принстонском университете, посвященной Джону К. Муру в день его 60-летия . Том. 113. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. п. 539-563. ISBN  9780691084268 .

Внешние ссылки

• Эквивариантные пучки