Регулярное представительство

О регулярных неприводимых представлениях конечной группы см. представление Гельфанда – Граева .

В математике и, в частности, в теории представлений групп , регулярное представление группы G — это линейное представление, обеспечиваемое групповым действием группы G на себя посредством перевода .

Различают левое регулярное представление λ, заданное левым сдвигом, и правое регулярное представление ρ, заданное обратным правом сдвигу.

Конечные группы

Смотрите также: Теория представлений конечных групп § Лево- и право-регулярное представление

Для конечной группы G левое регулярное представление λ (над полем K ) является линейным представлением в - векторном пространстве V, порожденным элементами G , т.е. элементы G можно отождествить с базисом V. K свободно Учитывая g ∈ G , λ _g — линейное отображение, определяемое его действием на базисе левым сдвигом на g , т.е.

$\lambda _{g}:h\mapsto gh,{\text{ for all }}h\in G.$

Для правого регулярного представления ρ должна произойти инверсия, чтобы удовлетворить аксиомам представления. В частности, для данного g ∈ G ρ _g — линейное отображение на V, определяемое его действием на базисе правым сдвигом на g ⁻¹ , то есть

$\rho _{g}:h\mapsto hg^{-1},{\text{ for all }}h\in G.\$

Альтернативно, эти представления могут быть определены в K -векторном пространстве W всех функций G → K . Именно в этой форме регулярное представление обобщается на топологические группы, такие как группы Ли .

Конкретное определение в терминах W заключается в следующем. Учитывая функцию f : G → K и элемент g ∈ G ,

$(\lambda _{g}f)(x)=f(\lambda _{g}^{-1}(x))=f({g}^{-1}x)$

и

$(\rho _{g}f)(x)=f(\rho _{g}^{-1}(x))=f(xg).$

группы

Каждая группа G действует сама на себя трансляциями. Если мы рассматриваем это действие как представление перестановки, характеризуется как имеющее одну орбиту и стабилизирующее единичную подгруппу { e } группы G. оно Регулярное представление G для данного поля K является линейным представлением, полученным путем принятия этого представления перестановки в качестве набора векторов векторного пространства над K. базисных Значение состоит в том, что, хотя представление перестановок не разлагается (оно транзитивно ), обычное представление в целом распадается на более мелкие представления. Например, если G — конечная группа, а K — поле комплексных чисел , регулярное представление разлагается как прямая сумма неприводимых представлений , причем каждое неприводимое представление появляется в разложении с кратностью своей размерности. равно числу классов сопряженности G Число этих неприводимых .

Вышеупомянутый факт можно объяснить с помощью теории характера . Напомним, что характер регулярного представления χ (g) — это количество неподвижных точек g , действующих на регулярное представление V . Это означает, что количество неподвижных точек χ (g) равно нулю, когда g не равен id и | г | в противном случае. Пусть V имеет разложение ⊕ a _i V _i , где V _i — неприводимые представления группы G , а a _i — соответствующие кратности. Согласно теории характеров , кратность a _i можно вычислить как

$a_{i}=\langle \chi ,\chi _{i}\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum {\overline {\chi (g)}}\chi _{i}(g)={\frac {1}{|G|}}\chi (1)\chi _{i}(1)=\operatorname {dim} V_{i},$что означает, что кратность каждого неприводимого представления является его размерностью.

В статье о групповых кольцах сформулировано регулярное представление конечных групп , а также показано, как регулярное представление можно рассматривать как модуль .

зрения

Говоря более абстрактно, групповое кольцо K [ G ] рассматривается как модуль над самим собой. (Здесь есть выбор между левым или правым действием, но это не имеет значения, за исключением обозначений.) Если G конечна и характеристика K не делит | G |, это полупростое кольцо и мы рассматриваем его левый (правый) кольцевой идеал . Эта теория изучена очень глубоко. Известно, в частности, что разложение регулярного представления в прямую сумму содержит представителя каждого класса изоморфизма неприводимых линейных представлений группы G над K . В этом случае можно сказать, что регулярное представление является всеобъемлющим для теории представлений. Модульный случай, когда характеристика K действительно делит | G |, сложнее главным образом потому, что, поскольку K [ G ] не является полупростым, представление может оказаться неприводимым без расщепления в прямую сумму.

Структура конечных циклических групп

Для циклической группы C, порожденной g порядка n , матричная форма элемента K [ C ], действующего на K [ C ] путем умножения, принимает особую форму, известную как циркулянтная матрица , в которой каждая строка представляет собой сдвиг к справа от приведенного выше (в циклическом порядке , т. е. с самым правым элементом, появляющимся слева), когда речь идет о естественном базисе

1, g , g ² , ..., г ^{п -1} .

Когда поле K содержит примитивный корень n-й степени из единицы , можно диагонализировать представление C, выписав n линейно независимых одновременных собственных векторов для всех циркулянтов n × n . Фактически, если ζ — любой корень n-й степени из единицы, элемент

1 + ζ г + ζ ² г ² + ... + г ^{п -1} г ^{п -1}

является собственным вектором действия g путем умножения с собственным значением

г ⁻¹

а также собственный вектор всех степеней g и их линейных комбинаций.

В данном случае это явная форма абстрактного результата о том, что над алгебраически замкнутым полем K (таким как комплексные числа ) регулярное представление G при полностью приводимо условии, что характеристика K (если это простое число p ) не делит порядок G . Это называется теоремой Машке . В этом случае условие на характеристику подразумевает наличие примитивного корня n-й степени из единицы, чего не может быть в случае простой характеристики p, делящей n .

Циркулярные определители впервые были встречены в математике девятнадцатого века, и были выявлены последствия их диагонализации. А именно, определитель циркулянта является произведением n собственных значений для n собственных векторов, описанных выше. Основная работа Фробениуса по представлениям групп началась с мотивации найти аналогичные факторизации определителей группы для любого конечного G ; то есть определители произвольных матриц, представляющих элементы K [ G действующие путем умножения на базисные элементы, заданные g в G. ] , Если G не абелева , факторизация должна содержать нелинейные факторы, соответствующие неприводимым представлениям степени G > 1.

топологической

Для топологической группы G регулярное представление в указанном выше смысле должно быть заменено подходящим пространством функций на G , при этом G действует сдвигом. См. теорему Петера – Вейля для компактного случая. Если G — группа Ли, но не компактная и не абелева , это трудный вопрос гармонического анализа . Локально компактный абелев случай является частью теории двойственности Понтрягина .

Нормальные базисы

В теории Галуа показано, что для поля конечной группы G автоморфизмов L L L фиксированное поле K группы G имеет [ и : K ] = | Г |. На самом деле мы можем сказать больше: L, рассматриваемый как K [ G ]-модуль, является регулярным представлением. Это содержание теоремы о нормальном базисе , где нормальный базис представляет собой элемент x из L такой, что ( x ) для g в G является базисом векторного пространства для L над K. g Такие x существуют, и каждый из них дает K [ G ]-изоморфизм из L в K [ G ]. С точки зрения теории алгебраических чисел представляет интерес изучение нормальных целых базисов , где мы пытаемся заменить L и K кольцами целых алгебраических чисел, которые они содержат. Уже на примере гауссовских целых чисел можно видеть , что такие базы могут не существовать: a + bi и a - bi никогда не могут образовывать базис Z -модуля Z [ i ], потому что 1 не может быть целочисленной комбинацией. Причины подробно изучаются в теории модулей Галуа .

алгебры

Регулярное представление группового кольца таково, что левые и правые регулярные представления задают изоморфные модули (и нам часто не нужно различать эти случаи). Учитывая алгебру над полем A , не имеет смысла сразу спрашивать об отношении между A как левым модулем над собой и правым модулем. В групповом случае отображение базисных элементов g группы K [ G ], определенное взятием обратного элемента, дает изоморфизм K [ G ] его противоположному кольцу. В общем случае такая структура называется алгеброй Фробениуса . Как следует из названия, они были введены Фробениусом в девятнадцатом веке. Было показано, что они связаны с топологической квантовой теорией поля в измерениях 1 + 1 с помощью частного случая гипотезы кобордизма .

См. также

• Фундаментальное представление
• Представление перестановок
• Квазирегулярное представление

Ссылки

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .