Группа (математика)

Эта статья об основных понятиях групп в математике. Более подробную информацию см. в разделе «Теория групп» .

Манипуляции с кубиком Рубика образуют группу «Кубик Рубика» .

В математике группа , — это набор с операцией , которая связывает элемент набора с каждой парой элементов набора (как и каждая бинарная операция) и удовлетворяет следующим ограничениям: операция ассоциативна она имеет единичный элемент , и каждый элемент множества имеет обратный элемент .

Многие математические структуры представляют собой группы, наделенные другими свойствами. Например, целые числа с помощью операции сложения образуют бесконечную группу, которая генерируется одним элементом, называемым ⁠. $1$⁠ (эти свойства уникальным образом характеризуют целые числа).

Концепция группы была разработана для унифицированной обработки многих математических структур, таких как числа, геометрические фигуры и корни многочленов . Поскольку концепция групп широко распространена во многих областях как внутри, так и за пределами математики, некоторые авторы считают ее центральным организующим принципом современной математики.

В геометрии группы естественным образом возникают при изучении симметрий и геометрических преобразований : симметрии объекта образуют группу, называемую группой симметрии объекта, а преобразования данного типа образуют общую группу. Группы Ли появляются в группах симметрии в геометрии, а также в Стандартной модели физики элементарных частиц . Группа Пуанкаре — это группа Ли, состоящая из симметрий пространства-времени в специальной теории относительности . Точечные группы описывают симметрию в молекулярной химии .

Понятие группы возникло при изучении полиномиальных уравнений , начиная с Эвариста Галуа в 1830-х годах, который ввел термин группа (французский: groupe ) для группы симметрии корней уравнения , теперь называемой группой Галуа . После вклада других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и прочно утвердилось примерно в 1870 году. Современная теория групп — активная математическая дисциплина — изучает группы сами по себе. Чтобы исследовать группы, математики разработали различные понятия, позволяющие разбить группы на более мелкие, более понятные части, такие как подгруппы , факторгруппы и простые группы . В дополнение к их абстрактным свойствам теоретики групп также изучают различные способы, которыми группа может быть выражена конкретно, как с точки зрения теории представлений (то есть через представления группы ), так и с точки зрения вычислительной теории групп . Была развита теория конечных групп , кульминацией которой стала классификация конечных простых групп. , завершенный в 2004 году. С середины 1980-х годов геометрическая теория групп , изучающая конечно порожденные группы как геометрические объекты, стала активной областью теории групп.

Определение и иллюстрация

Первый пример: целые числа

Одна из наиболее знакомых групп — это набор целых чисел. $$\mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}$$вместе с дополнением . Для любых двух целых чисел $a$ и ⁠ $b$⁠ , сумма $a+b$ также является целым числом; это свойство замыкания говорит, что $+$ это бинарная операция над ⁠ $\mathbb {Z}$⁠ . Следующие свойства сложения целых чисел служат моделью для аксиом группы в приведенном ниже определении.

• Для всех целых чисел ⁠ $a$⁠ , $b$ и ⁠ $c$⁠ , есть ⁠ $(a+b)+c=a+(b+c)$⁠ . Выразить словами, добавив $a$ к $b$ сначала, а затем добавить результат в $c$ дает тот же окончательный результат, что и добавление $a$ на сумму $b$ и ⁠ $c$⁠ . Это свойство известно как ассоциативность .
• Если $a$ любое целое число, тогда $0+a=a$ и ⁠ $a+0=a$⁠ . Ноль называется единичным элементом сложения, поскольку добавление его к любому целому числу возвращает то же самое целое число.
• Для каждого целого числа ⁠ $a$⁠ , существует целое число $b$ такой, что $a+b=0$ и ⁠ $b+a=0$⁠ . Целое число $b$ называется обратным элементом целого числа $a$ и обозначается ⁠ $-a$⁠ .

Целые числа вместе с операцией ⁠ $+$⁠ образуют математический объект, принадлежащий к широкому классу, имеющему схожие структурные аспекты. Чтобы правильно понять эти структуры как коллектив, разработано следующее определение.

Определение

Аксиомы группы кратки и естественны... Однако за этими аксиомами каким-то образом скрывается чудовищная простая группа , огромный и необычный математический объект, существование которого, по-видимому, основано на многочисленных причудливых совпадениях. Аксиомы групп не дают очевидного намека на существование чего-либо подобного.

Ричард Борчердс , Математики: внешний взгляд на внутренний мир

Группа – это непустое множество $G$ вместе с бинарной операцией над ⁠ $G$⁠ , здесь обозначено " ⁠ $\cdot$⁠ ", сочетающий в себе два любых элемента $a$ и $b$ из $G$ чтобы сформировать элемент ⁠ $G$⁠ , обозначается ⁠ $a\cdot b$⁠ следующие три требования, известные как аксиомы группы : , такие, что выполняются

Ассоциативность

Для всех ⁠ $a$⁠ , ⁠ $b$⁠ , ⁠ $c$⁠ в ⁠ $G$⁠ , есть ⁠ $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$⁠ .

Элемент идентификации

Существует элемент $e$ в $G$ такой, что для каждого $a$ в ⁠ $G$⁠ , есть ⁠ $e\cdot a=a$⁠ и ⁠ $a\cdot e=a$⁠ .

Такой элемент уникален ( см. ниже ). Его называют идентификационным элементом (или иногда нейтральным элементом ) группы.

Обратный элемент

Для каждого $a$ в ⁠ $G$⁠ существует элемент $b$ в $G$ такой, что $a\cdot b=e$ и ⁠ $b\cdot a=e$⁠ , где $e$ является элементом идентичности.

Для каждого ⁠ $a$⁠ , элемент $b$ уникален ( см. ниже ); называется обратным это $a$ и обычно обозначается ⁠ $a^{-1}$⁠ .

Обозначения и терминология

Формально группа — это упорядоченная пара множества и бинарной операции над этим множеством, удовлетворяющая аксиомам группы . Набор называется базовым набором группы, а операция называется групповой операцией или групповым законом .

Таким образом, группа и ее базовое множество представляют собой два разных математических объекта . Чтобы избежать громоздких обозначений, часто злоупотребляют обозначениями , используя один и тот же символ для обозначения обоих. Это также отражает неформальный образ мышления: группа аналогична набору, за исключением того, что она обогащена дополнительной структурой, обеспечиваемой операцией.

Например, рассмотрим набор действительных чисел ⁠ $\mathbb {R}$⁠ , который имеет операции сложения $a+b$ и умножение ⁠ $ab$⁠ . Формально, $\mathbb {R}$ это набор, $(\mathbb {R} ,+)$ это группа, и $(\mathbb {R} ,+,\cdot )$ это поле . Но принято писать $\mathbb {R}$ для обозначения любого из этих трех объектов.

Аддитивная группа поля $\mathbb {R}$ это группа, базовым набором которой является $\mathbb {R}$ и чьим действием является сложение. Мультипликативная группа поля $\mathbb {R}$ это группа $\mathbb {R} ^{\times }$ базовым набором которого является набор ненулевых действительных чисел $\mathbb {R} \smallsetminus \{0\}$ и чьим действием является умножение.

В более общем смысле, говорят об аддитивной группе всякий раз, когда групповая операция обозначается как сложение; в этом случае тождество обычно обозначается ⁠ $0$⁠ и обратный элемент $x$ обозначается ⁠ $-x$⁠ . Точно так же говорят о мультипликативной группе всякий раз, когда групповая операция обозначается как умножение; в этом случае тождество обычно обозначается ⁠ $1$⁠ и обратный элемент $x$ обозначается ⁠ $x^{-1}$⁠ . В мультипликативной группе символ операции обычно полностью опускается, так что операция обозначается сопоставлением, $ab$ вместо ⁠ $a\cdot b$⁠ .

Определение группы не требует, чтобы $a\cdot b=b\cdot a$ для всех элементов $a$ и $b$ в ⁠ $G$⁠ . Если это дополнительное условие выполнено, то операция называется коммутативной , а группа называется абелевой группой . Общепринято считать, что для абелевой группы можно использовать аддитивную или мультипликативную запись, но для неабелевой группы используется только мультипликативная запись.

Для групп, элементы которых не являются числами, обычно используются несколько других обозначений. Для группы, элементы которой являются функциями , операция часто представляет собой композицию функций ⁠ $f\circ g$⁠ ; тогда личность может обозначаться id. В более конкретных случаях групп геометрических преобразований , симметрии групп , групп перестановок и групп автоморфизмов символ $\circ$ часто опускается, как и для мультипликативных групп. Можно встретить множество других вариантов обозначений.

Второй пример: группа симметрии

Две фигуры на плоскости конгруэнтны , если одну можно превратить в другую, используя комбинацию вращений , отражений и перемещений . Любая фигура конгруэнтна сама себе. Однако некоторые фигуры конгруэнтны сами себе более чем в одном смысле, и эти дополнительные конгруэнтности называются симметриями . Квадрат . имеет восемь симметрий Это:

Элементы группы симметрии квадрата ⁠ $\mathrm {D} _{4}$⁠ . Вершины идентифицируются по цвету или номеру.

$\mathrm {id}$ (оставив всё как есть)	$r_{1}$ (поворот на 90° по часовой стрелке)	$r_{2}$ (поворот на 180°)	$r_{3}$ (поворот на 270° по часовой стрелке)
$f_{\mathrm {v} }$ (вертикальное отражение)	$f_{\mathrm {h} }$ (горизонтальное отражение)	$f_{\mathrm {d} }$ (диагональное отражение)	$f_{\mathrm {c} }$ (противодиагональное отражение)

• операция идентификации, оставляющая все без изменений, обозначаемая id;
• повороты квадрата вокруг его центра на 90°, 180° и 270° по часовой стрелке, обозначаемые ⁠ $r_{1}$⁠ , $r_{2}$ и ⁠ $r_{3}$⁠ соответственно;
• размышления о горизонтальной и вертикальной средней линии ( ⁠ $f_{\mathrm {v} }$⁠ и ⁠ $f_{\mathrm {h} }$⁠ ), или через две диагонали ( ⁠ $f_{\mathrm {d} }$⁠ и ⁠ $f_{\mathrm {c} }$⁠ ).

Эти симметрии являются функциями. Каждый отправляет точку квадрата в соответствующую точку симметрии. Например, $r_{1}$ отправляет точку на поворот на 90° по часовой стрелке вокруг центра квадрата, и $f_{\mathrm {h} }$ отправляет точку на свое отражение через вертикальную среднюю линию квадрата. Соединение двух из этих симметрий дает еще одну симметрию. Эти симметрии определяют группу, называемую группой диэдра четвертой степени, обозначаемую ⁠ $\mathrm {D} _{4}$⁠ . Базовым набором группы является вышеуказанный набор симметрий, а групповая операция — это композиция функций. Две симметрии объединяются путем составления их как функций, то есть применения первой к квадрату, а второй – к результату первого применения. Результат выполнения в первую очередь $a$ а потом $b$ записывается символически справа налево как $b\circ a$ («применить симметрию $b$ после выполнения симметрии ⁠ $a$⁠ "). Это обычное обозначение композиции функций.

В таблице Кэли перечислены результаты всех возможных таких композиций. Например, повернув на 270° по часовой стрелке ( ⁠ $r_{3}$⁠ ), а затем отражая горизонтально ( ⁠ $f_{\mathrm {h} }$⁠ ) ​​аналогично выполнению отражения по диагонали ( ⁠ $f_{\mathrm {d} }$⁠ ). Используя приведенные выше символы, выделенные синим цветом в таблице Кэли: $$f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.$$

Кэли Таблица $\mathrm {D} _{4}$

$\circ$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {c} }$
$\mathrm {id}$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {c} }$
$r_{1}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$\mathrm {id}$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {h} }$
$r_{2}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {d} }$
$r_{3}$	$r_{3}$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {v} }$
$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$\mathrm {id}$	$r_{2}$	$r_{1}$	$r_{3}$
$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$r_{2}$	$\mathrm {id}$	$r_{3}$	$r_{1}$
$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$r_{3}$	$r_{1}$	$\mathrm {id}$	$r_{2}$
$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$r_{1}$	$r_{3}$	$r_{2}$	$\mathrm {id}$
Элементы ⁠ $\mathrm {id}$⁠ , ⁠ $r_{1}$⁠ , ⁠ $r_{2}$⁠ и ⁠ $r_{3}$⁠ образуют подгруппу , таблица Кэли которой выделена на   красный (верхняя левая область). Левый и правый смежный класс этой подгруппы выделены на рисунке.   зеленый (в последнем ряду) и   желтый (последний столбец) соответственно. Результат композиции ⁠ $f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}$⁠ , симметрия ⁠ $f_{\mathrm {d} }$⁠ , выделено   синий (ниже центра таблицы).

Учитывая этот набор симметрий и описанную операцию, аксиомы группы можно понять следующим образом.

Бинарная операция : композиция — это бинарная операция. То есть, $a\circ b$ является симметрией для любых двух симметрий $a$ и ⁠ $b$⁠ . Например, $$r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} },$$то есть поворот на 270 ° по часовой стрелке после отражения по горизонтали равен отражению по противодиагонали ( ⁠ $f_{\mathrm {c} }$⁠ ). Действительно, любая другая комбинация двух симметрий по-прежнему дает симметрию, что можно проверить с помощью таблицы Кэли.

Ассоциативность : аксиома ассоциативности касается составления более чем двух симметрий: начиная с трех элементов ⁠ $a$⁠ , ⁠ $b$⁠ и ⁠ $c$⁠ из ⁠ $\mathrm {D} _{4}$⁠ , есть два возможных способа использования этих трех симметрий в этом порядке для определения симметрии квадрата. Один из таких способов — сначала составить $a$ и $b$ в единую симметрию, а затем составить эту симметрию с помощью ⁠ $c$⁠ . Другой способ — сначала составить $b$ и ⁠ $c$⁠ , затем скомпоновать полученную симметрию с ⁠ $a$⁠ . Эти два пути должны всегда давать один и тот же результат, т. е. $$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),$$Например, $(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})$ можно проверить с помощью таблицы Кэли: $${\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}$$

Элемент идентификации : Элемент идентификации — ⁠ $\mathrm {id}$⁠ , поскольку это не меняет никакой симметрии $a$ при составлении с ним либо слева, либо справа.

Обратный элемент : Каждая симметрия имеет обратный элемент: ⁠ $\mathrm {id}$⁠ , отражения ⁠ $f_{\mathrm {h} }$⁠ , ⁠ $f_{\mathrm {v} }$⁠ , ⁠ $f_{\mathrm {d} }$⁠ , ⁠ $f_{\mathrm {c} }$⁠ и поворот на 180° $r_{2}$ являются их собственными обратными, поскольку выполнение их дважды возвращает квадрат в исходную ориентацию. Ротации $r_{3}$ и $r_{1}$ являются обратными друг другу, поскольку поворот на 90°, а затем поворот на 270° (или наоборот) приводит к повороту более чем на 360°, что оставляет квадрат неизменным. Это легко проверить по таблице.

В отличие от группы целых чисел, приведенной выше, где порядок операции неважен, в ⁠ он имеет значение. $\mathrm {D} _{4}$⁠ , как, например, $f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }$ но ⁠ $r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }$⁠ . Другими словами, $\mathrm {D} _{4}$ не является абелевым.

История

Основная статья: История теории групп

Современная концепция абстрактной группы развилась на основе нескольких областей математики. Первоначальной мотивацией для теории групп был поиск решений полиномиальных уравнений степени выше 4. Французский математик XIX века Эварист Галуа , расширяя предыдущие работы Паоло Руффини и Жозефа-Луи Лагранжа , дал критерий разрешимости конкретного уравнения. полиномиальное уравнение в терминах группы симметрии его корней (решений). Элементы такой группы Галуа соответствуют определенным перестановкам корней. Поначалу идеи Галуа были отвергнуты его современниками и опубликованы лишь посмертно. Более общие группы перестановок исследовались, в частности, Огюстеном Луи Коши . Артур Кэли « К теории групп в зависимости от символического уравнения». $\theta ^{n}=1$ (1854) дает первое абстрактное определение конечной группы .

Геометрия была второй областью, в которой группы использовались систематически, особенно группы симметрии как часть Феликса Кляйна 1872 года Эрлангенской программы . После того, как появились новые геометрии, такие как гиперболическая и проективная геометрия , Кляйн использовал теорию групп, чтобы организовать их более последовательным образом. Продолжая развивать эти идеи, Софус Ли в 1884 году основал исследование групп Ли .

Третьей областью, внесшей вклад в теорию групп, была теория чисел . Определенные абелевы групповые структуры неявно использовались в Карла Фридриха Гаусса теоретико-числовой работе Disquisitiones Arithmeticae (1798) и более явно Леопольдом Кронекером . В 1847 году Эрнст Куммер предпринял первые попытки доказать Великую теорему Ферма , разработав группы, описывающие факторизацию в простые числа .

Объединение этих различных источников в единую теорию групп началось с Камиллы Джордана ( «Трактата о подстановках и алгебраических уравнениях» 1870 г.). Вальтер фон Дейк (1882) ввел идею определения группы посредством образующих и отношений, а также первым дал аксиоматическое определение «абстрактной группы» в терминологии того времени. В 20-м веке группы получили широкое признание благодаря новаторским работам Фердинанда Георга Фробениуса и Уильяма Бернсайда (которые работали над теорией представлений конечных групп), Рихарда Брауэра и модульной теории представлений статьям . Иссая Шура Теорию групп Ли и, в более общем плане, локально компактных групп изучали Герман Вейль , Эли Картан и многие другие. Ее алгебраический аналог, теория алгебраических групп , была сначала сформирована Клодом Шевалле (с конца 1930-х годов), а затем работами Армана Бореля и Жака Титса .

в Год теории групп в Чикагском университете 1960–61 годах собрал таких теоретиков групп, как Дэниел Горенштейн , Джон Г. Томпсон и Уолтер Фейт , заложив основу сотрудничества, которое при участии многих других математиков привело к классификации конечных чисел. простые группы , а последний шаг был сделан Ашбахером и Смитом в 2004 году. Этот проект превзошел предыдущие математические начинания по своим размерам, как по длине доказательства, так и по количеству исследователей. Исследования, касающиеся этого доказательства классификации, продолжаются. Теория групп остается весьма активной математической отраслью. оказывая влияние на многие другие области, как иллюстрируют приведенные ниже примеры .

Элементарные следствия групповых аксиом

Основные факты обо всех группах, которые могут быть получены непосредственно из аксиом групп, обычно относят к элементарной теории групп . Например, неоднократное применение аксиомы ассоциативности показывает, что однозначность $$a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$$обобщается на более чем три фактора. Поскольку это подразумевает, что круглые скобки могут быть вставлены в любом месте такого ряда терминов, скобки обычно опускаются.

Уникальность элемента идентификации

Аксиомы группы подразумевают, что единичный элемент уникален; то есть существует только один идентификационный элемент: любые два идентификационных элемента $e$ и $f$ группы равны, потому что из аксиом группы следует ⁠ $e=e\cdot f=f$⁠ . Поэтому принято говорить об идентичном элементе группы.

Уникальность обратных чисел

Аксиомы группы также подразумевают, что обратный каждому элементу уникален: пусть элемент группы $a$ иметь оба $b$ и $c$ как инверсии. Затем

${\begin{aligned}b&=b\cdot e&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\\&=b\cdot (a\cdot c)&&{\text{(}}c{\text{ is an inverse)}}\\&=(b\cdot a)\cdot c&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot c&&{\text{(}}b{\text{ is an inverse)}}\\&=c&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\end{aligned}}$

Поэтому принято говорить об обратном элементе.

Разделение

Данные элементы $a$ и $b$ группы ⁠ $G$⁠ , существует единственное решение $x$ в $G$ к уравнению ⁠ $a\cdot x=b$⁠ , а именно ⁠ $a^{-1}\cdot b$⁠ . Отсюда следует, что для каждого $a$ в $G$, функция $G\to G$ который отображает каждый $x$ к $a\cdot x$ является биекцией ; это называется левым умножением на $a$ или левый перевод с помощью ⁠ $a$⁠ .

Аналогично, учитывая $a$ и ⁠ $b$⁠ , уникальное решение $x\cdot a=b$ это ⁠ $b\cdot a^{-1}$⁠ . Для каждого ⁠ $a$⁠ , функция $G\to G$ который отображает каждый $x$ к $x\cdot a$ является биекцией, называемой правым умножением на $a$ или перевод правильный ⁠ $a$⁠ .

Эквивалентное определение с ослабленными аксиомами

Групповые аксиомы для тождества и инверсий могут быть «ослаблены», чтобы утверждать только существование левой идентичности и левых инверсий . Из этих односторонних аксиом можно доказать, что левое тождество также является правым тождеством, а левое обратное также является правым обратным для одного и того же элемента. Поскольку они определяют точно такие же структуры, что и группы, в совокупности аксиомы не слабее.

В частности, предполагая ассоциативность и существование левого тождества $e$ (то есть ⁠ $e\cdot f=f$⁠ ) ​​и левый обратный $f^{-1}$ для каждого элемента $f$ (то есть ⁠ $f^{-1}\cdot f=e$⁠ ), можно показать, что каждый левый обратный элемент также является правым обратным того же элемента следующим образом. Действительно, у человека есть

${\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left identity)}}\\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&&{\text{(associativity)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&&{\text{(left identity)}}\\&=e&&{\text{(left inverse)}}\end{aligned}}$

Точно так же левое тождество также является правым тождеством:

${\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot f&&{\text{(right inverse)}}\\&=f&&{\text{(left identity)}}\end{aligned}}$

Эти доказательства требуют всех трех аксиом (ассоциативности, существования левой единицы и существования левой обратной). для структуры с более свободным определением (например, полугруппы Например, ) левая идентичность не обязательно является правой идентичностью.

Тот же результат можно получить, только предположив существование правого тождества и правого обратного.

Однако только предположение о существовании левой идентичности и правой обратной (или наоборот) недостаточно для определения группы. Например, рассмотрим набор $G=\{e,f\}$ с оператором $\cdot$ удовлетворяющий $e\cdot e=f\cdot e=e$ и ⁠ $e\cdot f=f\cdot f=f$⁠ . Эта структура имеет левое тождество (а именно, ⁠ $e$⁠ ), и каждый элемент имеет правый обратный (то есть $e$ для обоих элементов). Более того, эта операция ассоциативна (поскольку произведение любого количества элементов всегда равно самому правому элементу этого произведения, независимо от порядка выполнения этих операций). Однако, $(G,\cdot )$ не является группой, поскольку у нее отсутствует правильная идентичность.

Основные понятия

В следующих разделах используются математические символы, такие как $X=\{x,y,z\}$ для обозначения набора $X$ содержащие элементы ⁠ $x$⁠ , ⁠ $y$⁠ и ⁠ $z$⁠ , или $x\in X$ заявить, что $x$ является элементом ⁠ $X$⁠ . Обозначения $f:X\to Y$ означает $f$ это функция, связывающая каждый элемент $X$ элемент ⁠ $Y$⁠ .

При изучении множеств используются такие понятия, как подмножество , функция и фактор по отношению эквивалентности . При изучении групп вместо этого используются подгруппы , гомоморфизмы и факторгруппы . Это аналоги, учитывающие групповую структуру.

Групповые гомоморфизмы

Основная статья: Групповой гомоморфизм

Групповые гомоморфизмы являются функциями, которые учитывают структуру группы; их можно использовать для связи двух групп. Гомоморфизм ​ группы $(G,\cdot )$ в группу $(H,*)$ это функция $\varphi :G\to H$ такой, что

$\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)$ для всех элементов $a$ и $b$ в ⁠ $G$⁠ .

Было бы естественно потребовать также, чтобы $\varphi$ уважать индивидуальность, ⁠ $\varphi (1_{G})=1_{H}$⁠ и обратные, $\varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}$ для всех $a$ в ⁠ $G$⁠ . Однако эти дополнительные требования не обязательно включать в определение гомоморфизмов, поскольку они уже вытекают из требования соблюдения групповой операции.

Тождественный гомоморфизм группы $G$ является гомоморфизмом $\iota _{G}:G\to G$ который отображает каждый элемент $G$ самому себе. Обратный гомоморфизм гомоморфизма $\varphi :G\to H$ является гомоморфизмом $\psi :H\to G$ такой, что $\psi \circ \varphi =\iota _{G}$ и ⁠ $\varphi \circ \psi =\iota _{H}$⁠ , то есть такой, что $\psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g$ для всех $g$ в $G$ и такое, что $\varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h$ для всех $h$ в ⁠ $H$⁠ . Изоморфизм ; — это гомоморфизм, имеющий обратный гомоморфизм эквивалентно, это биективный гомоморфизм. Группы $G$ and $H$ are called isomorphic if there exists an isomorphism ⁠$\varphi :G\to H$⁠. In this case, $H$ can be obtained from $G$ simply by renaming its elements according to the function ⁠$\varphi$⁠; then any statement true for $G$ is true for ⁠$H$⁠ , при условии, что любые конкретные элементы, упомянутые в операторе, также будут переименованы.

The collection of all groups, together with the homomorphisms between them, form a category, the category of groups.

An injective homomorphism $\phi :G'\to G$ factors canonically as an isomorphism followed by an inclusion, $G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G$ for some subgroup ⁠$H$⁠ of ⁠$G$⁠.Injective homomorphisms are the monomorphisms in the category of groups.

Subgroups

Main article: Subgroup

Informally, a subgroup is a group $H$ contained within a bigger one, ⁠$G$⁠: it has a subset of the elements of ⁠$G$⁠, with the same operation. Concretely, this means that the identity element of $G$ must be contained in ⁠$H$⁠, and whenever $h_{1}$ and $h_{2}$ are both in ⁠$H$⁠, then so are $h_{1}\cdot h_{2}$ and ⁠$h_{1}^{-1}$⁠, so the elements of ⁠$H$⁠, equipped with the group operation on $G$ restricted to ⁠$H$⁠, indeed form a group. In this case, the inclusion map $H\to G$ is a homomorphism.

In the example of symmetries of a square, the identity and the rotations constitute a subgroup ⁠$R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}$⁠, highlighted in red in the Cayley table of the example: any two rotations composed are still a rotation, and a rotation can be undone by (i.e., is inverse to) the complementary rotations 270° for 90°, 180° for 180°, and 90° for 270°. The subgroup test provides a necessary and sufficient condition for a nonempty subset ⁠$H$⁠ of a group ⁠$G$⁠ to be a subgroup: it is sufficient to check that $g^{-1}\cdot h\in H$ for all elements $g$ and $h$ in ⁠$H$⁠. Knowing a group's subgroups is important in understanding the group as a whole.

Given any subset $S$ of a group ⁠$G$⁠, the subgroup generated by $S$ consists of all products of elements of $S$ and their inverses. It is the smallest subgroup of $G$ containing ⁠$S$⁠. In the example of symmetries of a square, the subgroup generated by $r_{2}$ and $f_{\mathrm {v} }$ consists of these two elements, the identity element ⁠$\mathrm {id}$⁠, and the element ⁠$f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {v} }\cdot r_{2}$⁠. Again, this is a subgroup, because combining any two of these four elements or their inverses (which are, in this particular case, these same elements) yields an element of this subgroup.

Cosets

Main article: Coset

In many situations it is desirable to consider two group elements the same if they differ by an element of a given subgroup. For example, in the symmetry group of a square, once any reflection is performed, rotations alone cannot return the square to its original position, so one can think of the reflected positions of the square as all being equivalent to each other, and as inequivalent to the unreflected positions; the rotation operations are irrelevant to the question whether a reflection has been performed. Cosets are used to formalize this insight: a subgroup $H$ determines left and right cosets, which can be thought of as translations of $H$ by an arbitrary group element ⁠$g$⁠. In symbolic terms, the left and right cosets of ⁠$H$⁠, containing an element ⁠$g$⁠, are

$gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}$ and ⁠$Hg=\{h\cdot g\mid h\in H\}$⁠, respectively.

The left cosets of any subgroup $H$ form a partition of ⁠$G$⁠; that is, the union of all left cosets is equal to $G$ and two left cosets are either equal or have an empty intersection. The first case $g_{1}H=g_{2}H$ happens precisely when ⁠$g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H$⁠, i.e., when the two elements differ by an element of ⁠$H$⁠. Similar considerations apply to the right cosets of ⁠$H$⁠. The left cosets of $H$ may or may not be the same as its right cosets. If they are (that is, if all $g$ in $G$ satisfy ⁠$gH=Hg$⁠), then $H$ is said to be a normal subgroup.

In ⁠$\mathrm {D} _{4}$⁠, the group of symmetries of a square, with its subgroup $R$ of rotations, the left cosets $gR$ are either equal to ⁠$R$⁠, if $g$ is an element of $R$ itself, or otherwise equal to $U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h} }\}$ (highlighted in green in the Cayley table of ⁠$\mathrm {D} _{4}$⁠). The subgroup $R$ is normal, because $f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }$ and similarly for the other elements of the group. (In fact, in the case of ⁠$\mathrm {D} _{4}$⁠, the cosets generated by reflections are all equal: ⁠$f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R$⁠.)

Quotient groups

Main article: Quotient group

Suppose that $N$ is a normal subgroup of a group ⁠$G$⁠, and$$G/N=\{gN\mid g\in G\}$$denotes its set of cosets.Then there is a unique group law on $G/N$ for which the map $G\to G/N$ sending each element $g$ to $gN$ is a homomorphism.Explicitly, the product of two cosets $gN$ and $hN$ is ⁠$(gh)N$⁠, the coset $eN=N$ serves as the identity of ⁠$G/N$⁠, and the inverse of $gN$ in the quotient group is ⁠$(gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)N$⁠.The group ⁠$G/N$⁠, read as "⁠$G$⁠ modulo ⁠$N$⁠", is called a quotient group or factor group.The quotient group can alternatively be characterized by a universal property.

Cayley table of the quotient group $\mathrm {D} _{4}/R$

$\cdot$	$R$	$U$
$R$	$R$	$U$
$U$	$U$	$R$

The elements of the quotient group $\mathrm {D} _{4}/R$ are $R$ and ⁠$U=f_{\mathrm {v} }R$⁠. The group operation on the quotient is shown in the table. For example, ⁠$U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} })R=R$⁠. Both the subgroup $R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}$ and the quotient $\mathrm {D} _{4}/R$ are abelian, but $\mathrm {D} _{4}$ is not. Sometimes a group can be reconstructed from a subgroup and quotient (plus some additional data), by the semidirect product construction; $\mathrm {D} _{4}$ is an example.

The first isomorphism theorem implies that any surjective homomorphism $\phi :G\to H$ factors canonically as a quotient homomorphism followed by an isomorphism: ⁠$G\to G/\ker \phi \;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H$⁠.Surjective homomorphisms are the epimorphisms in the category of groups.

Presentations

Main article: Presentation of a group

Every group is isomorphic to a quotient of a free group, in many ways.

For example, the dihedral group $\mathrm {D} _{4}$ is generated by the right rotation $r_{1}$ and the reflection $f_{\mathrm {v} }$ in a vertical line (every element of $\mathrm {D} _{4}$ is a finite product of copies of these and their inverses).Hence there is a surjective homomorphism ⁠$\phi$⁠ from the free group $\langle r,f\rangle$ on two generators to $\mathrm {D} _{4}$ sending $r$ to $r_{1}$ and $f$ to ⁠$f_{1}$⁠.Elements in $\ker \phi$ are called relations; examples include ⁠$r^{4},f^{2},(r\cdot f)^{2}$⁠.In fact, it turns out that $\ker \phi$ is the smallest normal subgroup of $\langle r,f\rangle$ containing these three elements; in other words, all relations are consequences of these three.The quotient of the free group by this normal subgroup is denoted ⁠$\langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle$⁠.This is called a presentation of $\mathrm {D} _{4}$ by generators and relations, because the first isomorphism theorem for ⁠$\phi$⁠ yields an isomorphism ⁠$\langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle \to \mathrm {D} _{4}$⁠.

A presentation of a group can be used to construct the Cayley graph, a graphical depiction of a discrete group.

Examples and applications

Main article: Examples of groups

A periodic wallpaper pattern gives rise to a wallpaper group.

Examples and applications of groups abound. A starting point is the group $\mathbb {Z}$ of integers with addition as group operation, introduced above. If instead of addition multiplication is considered, one obtains multiplicative groups. These groups are predecessors of important constructions in abstract algebra.

Groups are also applied in many other mathematical areas. Mathematical objects are often examined by associating groups to them and studying the properties of the corresponding groups. For example, Henri Poincaré founded what is now called algebraic topology by introducing the fundamental group. By means of this connection, topological properties such as proximity and continuity translate into properties of groups.

Основная группа плоскости минус точка (жирный шрифт) состоит из петель вокруг недостающей точки. Эта группа изоморфна сложенным целым числам.

Элементами фундаментальной группы топологического пространства являются классы эквивалентности петель, где петли считаются эквивалентными, если одну можно плавно деформировать в другую, а групповая операция - это «конкатенация» (отслеживание одной петли, а затем другой). Например, как показано на рисунке, если топологическое пространство представляет собой плоскость с удаленной одной точкой, то петли, которые не охватывают недостающую точку (синий), могут плавно сжиматься до одной точки и являются единичным элементом фундаментального элемента. группа. Цикл, охватывающий недостающую точку $k$ времена не могут быть деформированы в цикл, который заворачивает $m$ раз (с ⁠ $m\neq k$⁠ ), поскольку петля не может плавно деформироваться поперек отверстия, поэтому каждый класс петель характеризуется своим номером намотки вокруг недостающей точки. Полученная группа изоморфна суммируемым целым числам.

В более поздних приложениях влияние также было обращено вспять, чтобы мотивировать геометрические конструкции теоретико-групповым фоном. Подобным же образом геометрическая теория групп использует геометрические концепции, например, при изучении гиперболических групп . Другие отрасли, критически применяющие группы, включают алгебраическую геометрию и теорию чисел.

Помимо вышеупомянутых теоретических приложений, существует множество практических приложений групп. Криптография опирается на сочетание подхода абстрактной теории групп с алгоритмическими знаниями, полученными в вычислительной теории групп , особенно при реализации для конечных групп. Приложения теории групп не ограничиваются математикой; Такие науки, как физика , химия и информатика, извлекают выгоду из этой концепции.

Числа

Многие системы счисления, такие как целые и рациональные числа , имеют естественно заданную групповую структуру. В некоторых случаях, например, в случае с рациональными числами, операции сложения и умножения приводят к групповым структурам. Такие системы счисления являются предшественниками более общих алгебраических структур, известных как кольца и поля. Другие абстрактные алгебраические понятия, такие как модули , векторные пространства и алгебры, также образуют группы.

Целые числа

Группа целых чисел $\mathbb {Z}$ при дополнении обозначается ⁠ $\left(\mathbb {Z} ,+\right)$⁠ , было описано выше. Целые числа, в которых вместо сложения используется операция умножения, $\left(\mathbb {Z} ,\cdot \right)$ не формируйте группу. Аксиомы ассоциативности и тождественности выполняются, но обратные не существуют: например, $a=2$ целое число, но единственное решение уравнения $a\cdot b=1$ в данном случае это ⁠ $b={\tfrac {1}{2}}$⁠ , которое является рациональным числом, но не целым. Следовательно, не каждый элемент $\mathbb {Z}$ имеет (мультипликативную) обратную.

Рациональное мышление

Стремление к существованию мультипликативных обратных наводит на мысль рассматривать дроби $${\frac {a}{b}}.$$

Дроби целых чисел (с $b$ ненулевые) известны как рациональные числа . Множество всех таких несократимых дробей обычно обозначается ⁠ $\mathbb {Q}$⁠ . все еще есть небольшое препятствие Для ⁠ $\left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)$⁠ рациональные числа с умножением являются группой: поскольку ноль не имеет мультипликативного обратного (т. е. не существует $x$ такой, что ⁠ $x\cdot 0=1$⁠ ), $\left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)$ это еще не группа.

Однако множество всех ненулевых рациональных чисел $\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\}=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\neq 0\right\}$ действительно образует абелеву группу при умножении, также обозначаемую ⁠ $\mathbb {Q} ^{\times }$⁠ . Аксиомы ассоциативности и единичного элемента следуют из свойств целых чисел. Требование замыкания остается в силе после удаления нуля, поскольку произведение двух ненулевых рациональных чисел никогда не равно нулю. Наконец, обратное $a/b$ это ⁠ $b/a$⁠ , следовательно, аксиома обратного элемента удовлетворена.

Рациональные числа (включая ноль) также образуют группу при сложении. Переплетение операций сложения и умножения приводит к более сложным структурам, называемым кольцами, и – если возможно деление на величину, отличную от нуля, например, в $\mathbb {Q}$ – поля, занимающие центральное место в абстрактной алгебре. Таким образом, аргументы теории групп лежат в основе некоторых частей теории этих сущностей.

Модульная арифметика

Основная статья: Модульная арифметика

Часы на часах образуют группу, в которой используется сложение по модулю 12. Здесь 9 + 4 ≡ 1 .

Модульная арифметика для модуля $n$ определяет любые два элемента $a$ и $b$ которые отличаются в несколько раз $n$ быть эквивалентным, обозначается ⁠ $a\equiv b{\pmod {n}}$⁠ . Каждое целое число эквивалентно одному из целых чисел из $0$ до ⁠ $n-1$⁠ , а операции модульной арифметики модифицируют обычную арифметику, заменяя результат любой операции ее эквивалентным представителем . Модульное сложение, определенное таким образом для целых чисел из $0$ до ⁠ $n-1$⁠ образует группу, обозначаемую как $\mathrm {Z} _{n}$ или ⁠ $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)$⁠ , с $0$ как элемент идентичности и $n-a$ как обратный элемент ⁠ $a$⁠ .

Знакомый пример — добавление часов на циферблате , где в качестве представителя идентичности выбрано 12, а не 0. Если часовая стрелка включена $9$ и является продвинутым $4$ часов, оно заканчивается на ⁠ $1$⁠ , как показано на рисунке. Это выражается в том, что $9+4$ соответствует $1$ "по модулю ⁠ $12$⁠ " или, в символах, $$9+4\equiv 1{\pmod {12}}.$$

Для любого простого числа ⁠ $p$⁠ , существует также мультипликативная группа целых чисел по модулю ⁠ $p$⁠ . Его элементы могут быть представлены $1$ до ⁠ $p-1$⁠ . Групповая операция, умножение по модулю ⁠ $p$⁠ , заменяет обычное произведение на его представителя, остаток от деления на ⁠ $p$⁠ . Например, для ⁠ $p=5$⁠ четыре элемента группы могут быть представлены как ⁠ $1,2,3,4$⁠ . В этой группе ⁠ $4\cdot 4\equiv 1{\bmod {5}}$⁠ , потому что обычный продукт $16$ эквивалентно ⁠ $1$⁠ : при делении на $5$ это дает остаток ⁠ $1$⁠ . Первичность $p$ гарантирует, что обычное произведение двух представителей не делится на ⁠ $p$⁠ и, следовательно, модульное произведение не равно нулю. Элемент идентификации представлен ⁠ $1$⁠ , а ассоциативность следует из соответствующего свойства целых чисел. Наконец, аксиома обратного элемента требует, чтобы данное целое число $a$ не делится на ⁠ $p$⁠ существует целое число $b$ такой, что $$a\cdot b\equiv 1{\pmod {p}},$$то есть такой, что $p$ поровну делит ⁠ $a\cdot b-1$⁠ . Обратное $b$ можно найти, используя тождество Безу и тот факт, что наибольший общий делитель $\gcd(a,p)$ равно ⁠ $1$⁠ . В случае $p=5$ выше, обратный элемент, представленный $4$ это то, что представлено ⁠ $4$⁠ и обратный элемент, представленный $3$ представлен ⁠ $2$⁠ , как ⁠ $3\cdot 2=6\equiv 1{\bmod {5}}$⁠ . Следовательно, все аксиомы группы выполнены. Этот пример похож на $\left(\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\},\cdot \right)$ выше: он состоит именно из тех элементов кольца $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ которые имеют мультипликативную обратную. Эти группы, обозначенные ⁠ $\mathbb {F} _{p}^{\times }$⁠ имеют решающее значение для криптографии с открытым ключом .

Циклические группы

Основная статья: Циклическая группа

Комплексные корни шестой степени из единицы образуют циклическую группу. $z$ является примитивным элементом, но $z^{2}$ нет, потому что нечетные степени $z$ не являются степенью ⁠ $z^{2}$⁠ .

Циклическая группа — это группа, все элементы которой являются степенями определенного элемента. $a$. В мультипликативной записи элементами группы являются $$\dots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},a^{0},a,a^{2},a^{3},\dots ,$$где $a^{2}$ означает ⁠ $a\cdot a$⁠ , $a^{-3}$ означает ⁠ $a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1}$⁠ и т. д. Такой элемент $a$ называется генератором или примитивным элементом группы. В аддитивной записи требование, чтобы элемент был примитивным, состоит в том, что каждый элемент группы может быть записан как $$\dots ,(-a)+(-a),-a,0,a,a+a,\dots .$$

В группах $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)$ введенный выше элемент $1$ примитивна, поэтому эти группы цикличны. Действительно, каждый элемент выражается в виде суммы, все члены которой равны ⁠ $1$⁠ . Любая циклическая группа с $n$ элементы изоморфны этой группе. Вторым примером циклических групп является группа ⁠ $n$⁠- ые комплексные корни из единицы , заданные комплексными числами $z$ удовлетворительно ⁠ $z^{n}=1$⁠ . Эти числа можно представить как вершины регулярного $n$-гон, как показано синим цветом на изображении ⁠ $n=6$⁠ . Групповая операция — умножение комплексных чисел. На картинке умножение на $z$ соответствует повороту против часовой стрелки на 60°. Из теории поля группа $\mathbb {F} _{p}^{\times }$ является циклическим для простого числа $p$: например, если ⁠ $p=5$⁠ , $3$ является генератором, поскольку ⁠ $3^{1}=3$⁠ , ⁠ $3^{2}=9\equiv 4$⁠ , ⁠ $3^{3}\equiv 2$⁠ и ⁠ $3^{4}\equiv 1$⁠ .

Некоторые циклические группы имеют бесконечное число элементов. В этих группах для каждого ненулевого элемента ⁠ $a$⁠ , все силы $a$ различимы; несмотря на название «циклическая группа», силы элементов не цикличны. Бесконечная циклическая группа изоморфна ⁠ $(\mathbb {Z} ,+)$⁠ , группа целых чисел при сложении, введенная выше. Поскольку оба этих прототипа абелевы, то и все циклические группы являются абелевыми.

Исследование конечно порожденных абелевых групп вполне зрело, включая фундаментальную теорему о конечно порожденных абелевых группах ; и, отражая такое положение дел, многие понятия, связанные с группой, такие как центр и коммутатор , описывают степень, в которой данная группа не является абелевой.

Группы симметрии

Основная статья: Группа симметрии

См. также: Молекулярная симметрия , Пространственная группа , Точечная группа и Симметрия в физике.

Группа треугольников (2,3,7), гиперболическая группа отражений, действует на этом мозаике гиперболической . плоскости

Группы симметрии — это группы, состоящие из симметрий данных математических объектов, в основном геометрических объектов, таких как группа симметрии квадрата, приведенная в качестве вводного примера выше, хотя они также возникают в алгебре, например, симметрии между корнями полиномиальных уравнений, рассматриваемых в Теория Галуа (см. ниже). Концептуально теорию групп можно рассматривать как исследование симметрии. Симметрии в математике значительно упрощают изучение геометрических или аналитических объектов. Говорят, что группа действует на другой математический объект ⁠ $X$⁠ если каждому элементу группы можно сопоставить некоторую операцию над ⁠ $X$⁠ и состав этих операций подчиняется групповому закону. Например, элемент группы треугольников (2,3,7) действует на треугольное замощение гиперболической плоскости, переставляя треугольники. При групповом действии групповой паттерн связан со структурой объекта, на который воздействуют.

В химии точечные группы описывают молекулярную симметрию , а пространственные группы описывают кристаллическую симметрию в кристаллографии . Эти симметрии лежат в основе химического и физического поведения этих систем, а теория групп позволяет упростить квантовомеханический анализ этих свойств. Например, теория групп используется, чтобы показать, что оптические переходы между определенными квантовыми уровнями не могут происходить просто из-за симметрии участвующих состояний.

Теория групп помогает предсказать изменения физических свойств, которые происходят, когда материал претерпевает фазовый переход , например, из кубической кристаллической формы в тетраэдрическую. Примером могут служить сегнетоэлектрические материалы, у которых переход из параэлектрического состояния в сегнетоэлектрическое состояние происходит при температуре Кюри и связан с переходом от высокосимметричного параэлектрического состояния к сегнетоэлектрическому состоянию с более низкой симметрией, сопровождаемому так называемой мягкой фононной модой. , колебательная мода решетки, которая при переходе переходит к нулевой частоте.

Такое спонтанное нарушение симметрии нашло дальнейшее применение в физике элементарных частиц, где его появление связано с появлением голдстоуновских бозонов .

Бакминстерфуллереновые дисплеи икосаэдрическая симметрия	Аммиак , NH3 . Его группа симметрии имеет порядок 6 и возникает в результате поворота на 120 ° и отражения.	Cubane C 8 H 8 Особенности октаэдрическая симметрия .	Ион тетрахлорплатината (II) , [PtCl 4 ] 2− демонстрирует плоско-квадратную геометрию

Группы конечной симметрии, такие как группы Матье, используются в теории кодирования , которая, в свою очередь, применяется для исправления ошибок передаваемых данных, а также в проигрывателях компакт-дисков . Другое применение — дифференциальная теория Галуа , которая характеризует функции, имеющие первообразные заданной формы, давая теоретико-групповые критерии того, когда решения некоторых дифференциальных уравнений ведут себя хорошо. Геометрические свойства, сохраняющие устойчивость при групповых действиях, исследуются в (геометрической) теории инвариантов .

Общая линейная группа и теория представлений

Основные статьи: Общая линейная группа , Теория представлений и Теория характеров.

Два вектора (левая иллюстрация), умноженные на матрицы (средняя и правая иллюстрации). Средний рисунок представляет поворот по часовой стрелке на 90°, а самый правый — растягивает ⁠. $x$⁠ -координата с коэффициентом 2.

Группы матриц состоят из матриц вместе с умножением матриц . Общая линейная группа $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ состоит из всех обратимых ⁠ $n$⁠ - по- ⁠ $n$⁠ матрицы с действительными элементами. Ее подгруппы называются матричными группами или линейными группами . Упомянутый выше пример группы диэдра можно рассматривать как (очень маленькую) матричную группу. Другая важная группа матриц — специальная ортогональная группа ⁠ $\mathrm {SO} (n)$⁠ . Он описывает все возможные вращения в $n$ размеры. Матрицы вращения этой группы используются в компьютерной графике .

Теория представлений является одновременно применением концепции группы и важна для более глубокого понимания групп. Он изучает группу посредством ее групповых действий на других пространствах. Широкий класс представлений групп — это линейные представления, в которых группа действует в векторном пространстве, таком как трехмерное евклидово пространство ⁠ $\mathbb {R} ^{3}$⁠ . Представительство группы $G$ на $n$- размерное действительное векторное пространство - это просто групповой гомоморфизм $\rho :G\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$из группы в общую линейную группу. Таким образом, групповая операция, которая может быть задана абстрактно, преобразуется в умножение матриц, что делает ее доступной для явных вычислений.

Групповое действие дает дополнительные средства для изучения объекта, на который воздействуют. С другой стороны, это также дает информацию о группе. Представления групп являются организующим принципом в теории конечных групп, групп Ли, алгебраических групп и топологических групп , особенно (локально) компактных групп .

Группы Галуа

Основная статья: группа Галуа

Группы Галуа были разработаны для решения полиномиальных уравнений путем учета их особенностей симметрии. Например, решения квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ даны $$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$$Каждое решение можно получить заменой $\pm$ подписать $+$ или $-$; аналогичные формулы известны для кубической и уравнений четвертой степени , но не существуют вообще для степени 5 и выше. В квадратичной формуле смену знака (перестановку двух полученных решений) можно рассматривать как (очень простую) групповую операцию. Аналогичные группы Галуа действуют на решения полиномиальных уравнений более высокой степени и тесно связаны с существованием формул их решения. Абстрактные свойства этих групп (в частности, их разрешимость ) дают критерий возможности выражать решения этих многочленов, используя только сложение, умножение и корни, аналогичные приведенной выше формуле.

Современная теория Галуа обобщает вышеупомянутый тип групп Галуа, переходя к теории поля и рассматривая расширения полей, образуемые как поле расщепления многочлена. Эта теория устанавливает — посредством фундаментальной теоремы теории Галуа — точную связь между полями и группами, еще раз подчеркивая повсеместное распространение групп в математике.

Конечные группы

Основная статья: Конечная группа

Группа называется конечной, если она имеет конечное число элементов . Количество элементов называется порядком группы. Важным классом являются симметрические группы ⁠ $\mathrm {S} _{N}$⁠ , группы перестановок $N$ объекты. Например, симметричная группа из 3 букв. $\mathrm {S} _{3}$ — это группа всех возможных переупорядочений объектов. Три буквы ABC можно переупорядочить в ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, образуя в общей сложности 6 элементов ( факториал из 3). Групповая операция представляет собой композицию этих переупорядочений, а элемент идентификации — это операция переупорядочения, которая оставляет порядок неизменным. Этот класс является фундаментальным, поскольку любая конечная группа может быть выражена как подгруппа симметрической группы. $\mathrm {S} _{N}$ для подходящего целого числа ⁠ $N$⁠ , согласно теореме Кэли . Параллельно группе симметрий квадрата выше, $\mathrm {S} _{3}$ также можно интерпретировать как группу симметрий равностороннего треугольника .

Порядок элемента $a$ в группе $G$ наименьшее положительное целое число $n$ такой, что ⁠ $a^{n}=e$⁠ , где $a^{n}$ представляет $$\underbrace {a\cdots a} _{n{\text{ factors}}},$$то есть применение операции " ⁠ $\cdot$⁠ "чтобы $n$ копии ⁠ $a$⁠ . (Если " ⁠ $\cdot$⁠ " представляет собой умножение, тогда $a^{n}$ соответствует ⁠ $n$⁠- я степень ⁠ $a$⁠ .) В бесконечных группах такой $n$ может не существовать, и в этом случае порядок $a$ говорят, что это бесконечность. Порядок элемента равен порядку циклической подгруппы, порожденной этим элементом.

Более сложные методы подсчета, например подсчет смежных классов, дают более точные утверждения о конечных группах: теорема Лагранжа утверждает, что для конечной группы $G$ порядок любой конечной подгруппы $H$ делит порядок ⁠ $G$⁠ . Теоремы Силова дают частичное обратное.

Группа диэдра $\mathrm {D} _{4}$ симметрий квадрата является конечной группой порядка 8. В этой группе порядок $r_{1}$ равно 4, как и порядок подгруппы $R$ что этот элемент генерирует. Порядок отражающих элементов $f_{\mathrm {v} }$ и т. д. равно 2. Оба порядка делят 8, как и предсказывает теорема Лагранжа. Группы $\mathbb {F} _{p}^{\times }$ умножения по модулю простого числа $p$ есть заказ ⁠ $p-1$⁠ .

Конечные абелевы группы

Любая конечная абелева группа изоморфна произведению конечных циклических групп; это утверждение является частью фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах .

Любая группа простого порядка $p$ изоморфна циклической группе $\mathrm {Z} _{p}$ (следствие теоремы Лагранжа ). Любая группа заказа $p^{2}$ абелева, изоморфна $\mathrm {Z} _{p^{2}}$ или ⁠ $\mathrm {Z} _{p}\times \mathrm {Z} _{p}$⁠ .Но существуют неабелевы группы порядка $p^{3}$; группа диэдра $\mathrm {D} _{4}$ порядка $2^{3}$ выше приведен пример.

Простые группы

Когда группа $G$ есть нормальная подгруппа $N$ кроме $\{1\}$ и $G$ себя, вопросы о $G$ иногда можно свести к вопросам о $N$ и ⁠ $G/N$⁠ . Нетривиальная группа называется простой , если она не имеет такой нормальной подгруппы. Конечные простые группы относятся к конечным группам так же, как простые числа относятся к положительным целым числам: они служат строительными блоками в смысле, уточненном теоремой Джордана-Гёльдера .

Классификация конечных простых групп

Основная статья: Классификация конечных простых групп

Системы компьютерной алгебры использовались для перечисления всех групп порядка до 2000 . Но классификация всех конечных групп — это проблема, которая считается слишком сложной, чтобы ее можно было решить.

Классификация всех конечных простых групп стала крупным достижением современной теории групп. Существует несколько бесконечных семейств таких групп, а также 26 « спорадических групп », не принадлежащих ни одному из семейств. Самая крупная спорадическая группа называется группой монстров . Чудовищные самогонные гипотезы, доказанные Ричардом Борчердсом , связывают группу монстров с определенными модулярными функциями .

Разрыв между классификацией простых групп и классификацией всех групп лежит в проблеме расширения .

Группы с дополнительной структурой

Эквивалентное определение группы состоит в замене части аксиом группы «существует» операциями, результатом которых является элемент, который должен существовать. Итак, группа – это совокупность $G$ оснащен бинарной операцией $G\times G\rightarrow G$ (групповая операция), унарная операция $G\rightarrow G$ (которая обеспечивает обратную операцию) и нулевую операцию , которая не имеет операнда и приводит к созданию единичного элемента. В остальном аксиомы группы точно такие же. Этот вариант определения избегает кванторов существования и используется при групповых вычислениях и для компьютерных доказательств .

Этот способ определения групп допускает такие обобщения, как понятие группового объекта в категории. Короче говоря, это объект с морфизмами , имитирующими аксиомы группы.

Топологические группы

Единичная окружность на комплексной плоскости при комплексном умножении является группой Ли и, следовательно, топологической группой. Он топологический, поскольку комплексное умножение и деление непрерывны. Это многообразие и, следовательно, группа Ли, потому что каждая маленькая часть , такая как красная дуга на рисунке, выглядит как часть реальной линии (показана внизу).

Основная статья: Топологическая группа

Некоторые топологические пространства могут быть наделены групповым законом. Чтобы групповой закон и топология хорошо переплетались, групповые операции должны быть непрерывными функциями; неофициально, $g\cdot h$ и $g^{-1}$ не должен сильно различаться, если $g$ и $h$ варьироваться лишь немного. Такие группы называются топологическими группами и являются групповыми объектами в категории топологических пространств . Самыми простыми примерами являются группа действительных чисел при сложении и группа ненулевых действительных чисел при умножении. Подобные примеры можно составить из любого другого топологического поля , например поля комплексных чисел или поля p -адических чисел . Эти примеры локально компактны , поэтому имеют меры Хаара и могут быть изучены с помощью гармонического анализа . Другие локально компактные топологические группы включают группу точек алгебраической группы над локальным полем или кольцом аделей ; это основы теории чисел Группы Галуа бесконечных расширений алгебраических полей снабжены топологией Крулля , которая играет роль в бесконечной теории Галуа . Обобщением, используемым в алгебраической геометрии, является этальная фундаментальная группа .

Группы лжи

Основная статья: Группа Лия

Группа Ли — это группа, которая также имеет структуру дифференцируемого многообразия ; неформально это означает, что локально оно выглядит как евклидово пространство некоторой фиксированной размерности. Опять же, определение требует, чтобы дополнительная структура, в данном случае структура многообразия, была совместима: умножение и обратные отображения должны быть гладкими .

Стандартным примером является введенная выше общая линейная группа: это открытое подмножество пространства всех $n$-к- $n$ матриц, поскольку оно определяется неравенством $$\det(A)\neq 0,$$где $A$ обозначает $n$-к- $n$ матрица.

Группы Ли имеют фундаментальное значение в современной физике: теорема Нётер связывает непрерывные симметрии с сохраняющимися величинами . Вращение , как и перемещение в пространстве и времени , являются основными симметриями законов механики . Например, их можно использовать для построения простых моделей — наложение, скажем, осевой симметрии на ситуацию обычно приводит к значительному упрощению уравнений, которые необходимо решить, чтобы обеспечить физическое описание. Другим примером является группа преобразований Лоренца , которые связывают измерения времени и скорости двух наблюдателей, движущихся относительно друг друга. Их можно вывести чисто теоретико-групповым способом, выражая преобразования как вращательную симметрию пространства Минковского . Последнее служит — в отсутствие значительной гравитации — моделью пространства-времени в специальной теории относительности . Полная группа симметрии пространства Минковского, т. е. включая трансляции, известна как группа Пуанкаре . Согласно вышеизложенному, оно играет ключевую роль в специальной теории относительности и, как следствие, в квантовых теориях поля . Симметрии, меняющиеся в зависимости от местоположения, занимают центральное место в современном описании физических взаимодействий с помощью калибровочной теории . Важным примером калибровочной теории является Стандартная модель , которая описывает три из четырех известных фундаментальных сил и классифицирует все известные элементарные частицы .

Обобщения

Групповые структуры

	Закрытие	Ассоциативный	Личность	Отмена	коммутативный
Частичная магма	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Полугруппоид	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Малая категория	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Коммутативный группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Коммутативная магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Необходимый
Квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Коммутативная квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Необходимый
Ассоциативная квазигруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Коммутативно-ассоциативная квазигруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый
Единая магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативная унитарная магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Петля	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Коммутативный цикл	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Коммутативная полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый
Моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативный моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Абелева группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый

Более общие структуры могут быть определены путем смягчения некоторых аксиом, определяющих группу. В таблице приведен список нескольких структур, обобщающих группы.

Например, если исключить требование, чтобы каждый элемент имел обратный, полученная алгебраическая структура называется моноидом . Натуральные числа $\mathbb {N}$ (включая ноль) при сложении образуют моноид, как и ненулевые целые числа при умножении ⁠ $(\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )$⁠ . Присоединяющиеся инверсии всех элементов моноида $(\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )$ создает группу ⁠ $(\mathbb {Q} \smallsetminus \{0\},\cdot )$⁠ , а также присоединенные обратные к любому (абелеву) моноиду ⁠ $M$⁠ образует группу, известную как Гротендика группа ⁠ $M$⁠ .

Группу можно рассматривать как небольшую категорию с одним объектом ⁠ $x$⁠, в котором каждый морфизм является изоморфизмом: для такой категории множество $\operatorname {Hom} (x,x)$ это группа; и наоборот, учитывая группу ⁠ $G$⁠ , можно построить небольшую категорию из одного объекта ⁠ $x$⁠ в котором ⁠ $\operatorname {Hom} (x,x)\simeq G$⁠ .В более общем смысле, группоид — это любая небольшая категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом. В группоиде множество всех морфизмов категории обычно не является группой, поскольку композиция определена лишь частично: ⁠ $fg$⁠ определяется только тогда, когда источник ⁠ $f$⁠ соответствует цели ⁠ $g$⁠ .Группоиды возникают в топологии (например, фундаментальный группоид ) и в теории стопок .

Наконец, можно обобщить любую из этих концепций, заменив бинарную операцию n -арной операцией (т. е. операцией, принимающей n аргументов для некоторого неотрицательного целого числа n ). При правильном обобщении аксиом группы это дает понятие n -арной группы .

Примеры

Набор	Натуральные числа ⁠ $\mathbb {N}$⁠		Integers ⁠ $\mathbb {Z}$⁠		Рациональные числа   ⁠ $\mathbb {Q}$⁠ Действительные числа   ⁠ $\mathbb {R}$⁠ Комплексные числа   ⁠ $\mathbb {C}$⁠				Целые числа по модулю 3 ⁠ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0,1,2\}$⁠
Операция	+	×	+	×	+	−	×	÷	+	×
Закрыто	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Нет	Да	Да
Личность	0	1	0	1	0	Н/Д	1	Н/Д	0	1
Обратный	Н/Д	Н/Д	⁠ $-a$⁠	Н/Д	⁠ $-a$⁠	Н/Д	⁠ $1/a$⁠ ( ⁠ $a\neq 0$⁠ )	Н/Д	0, 2, 1 соответственно	Н/Д, 1, 2 соответственно
Ассоциативный	Да	Да	Да	Да	Да	Нет	Да	Нет	Да	Да
коммутативный	Да	Да	Да	Да	Да	Нет	Да	Нет	Да	Да
Структура	моноид	моноид	абелева группа	моноид	абелева группа	квазигруппа	моноид	квазигруппа	абелева группа	моноид

См. также

• Список тем теории групп

Ссылки

Общие ссылки

• Артин, Майкл (2018), Алгебра , Прентис Холл , ISBN  978-0-13-468960-9 Глава 2 содержит изложение понятий, рассматриваемых в этой статье, на уровне бакалавриата.
• Кук, Мариана Р. (2009), Математики: внешний взгляд на внутренний мир , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-13951-7
• Холл, Г.Г. (1967), Прикладная теория групп , American Elsevier Publishing Co., Inc., Нью-Йорк, MR   0219593 , элементарное введение.
• Херштейн, Израиль Натан (1996), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Аппер-Седл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall Inc., ISBN  978-0-13-374562-7 , МР   1375019 .
• Херштейн, Израиль Натан (1975), Темы алгебры (2-е изд.), Лексингтон, Массачусетс: Xerox College Publishing, MR   0356988 .
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556
• Ланг, Серж (2005), Бакалавр алгебры (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-22025-3 .
• Ледерманн, Уолтер (1953), Введение в теорию конечных групп , Оливер и Бойд, Эдинбург и Лондон, MR   0054593 .
• Ледерманн, Уолтер (1973), Введение в теорию групп , Нью-Йорк: Barnes and Noble, OCLC   795613 .
• Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), Курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94461-6 .

Специальные ссылки

• Артин, Эмиль (1998), Теория Галуа , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-62342-9 .
• Ашбахер, Майкл (2004), «Состояние классификации конечных простых групп» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 51 (7): 736–740 .
• Аводи, Стив (2010), Теория категорий , Oxford University Press, ISBN  978-0-19-958736-0
• Белер, Флориан; Викледер, Матиас С.; Кристоферс, Йенс (2014), «Бифенил и бимезитилтетрасульфоновая кислота – новые линкерные молекулы для координационных полимеров», Arkivoc , 2015 (2): 64–75, doi : 10.3998/ark.5550190.p008.911 , hdl : 2027/spo .5550190.p008.911
• Берсукер, Исаак (2006), Эффект Яна-Теллера , издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-82212-2 .
• Беше, Ганс Ульрих; Эйк, Беттина; О'Брайен, Э.А. (2001), «Группы порядка не более 2000» , Электронные объявления об исследованиях Американского математического общества , 7 : 1–4, doi : 10.1090/S1079-6762-01-00087-7 , MR   1826989 .
• Бишоп, Дэвид Х.Л. (1993), Теория групп и химия , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-67355-4 .
• Борель, Арманд (1991), Линейные алгебраические группы , Тексты для аспирантов по математике, том. 126 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-97370-8 , МР   1102012 .
• Картер, Роджер В. (1989), Простые группы типа лжи , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-50683-6 .
• Ченси, CC; О'Брайен, MCM (2021), Эффект Яна-Теллера в C60 и других икосаэдрических комплексах , Princeton University Press, ISBN  978-0-691-22534-0
• Конвей, Джон Хортон ; Дельгадо Фридрихс, Олаф; Хьюсон, Дэниел Х.; Терстон, Уильям П. (2001), «О трехмерных пространственных группах», Вклад в алгебру и геометрию , 42 (2): 475–507, arXiv : math.MG/9911185 , MR   1865535 .
• Коорнарт, М.; Дельзант, Т.; Пападопулос, А. (1990), Геометрия и теория групп , Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 1441, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-52977-4 , МР   1075994 .
• Денеке, Клаус; Висмат, Шелли Л. (2002), Универсальная алгебра и приложения в теоретической информатике , Лондон: CRC Press , ISBN  978-1-58488-254-1 .
• Дав, Мартин Т. (2003), Структура и динамика: атомарный взгляд на материалы , Oxford University Press, стр. 265, ISBN  0-19-850678-3 .
• Дудек, Веслав А. (2001), «О некоторых старых и новых проблемах в n -арных группах» (PDF) , Квазигруппы и родственные системы , 8 : 15–36, MR   1876783 .
• Элиэль, Эрнест; Вилен, Сэмюэл; Мандер, Льюис (1994), Стереохимия органических соединений , Wiley, ISBN  978-0-471-01670-0
• Эллис, Грэм (2019), «6.4 группы треугольников», Приглашение к вычислительной гомотопии , Oxford University Press, стр. 441–444, doi : 10.1093/oso/9780198832973.001.0001 , ISBN  978-0-19-883298-0 , МР   3971587 .
• Фрухт, Р. (1939), «Построение графов с заданной абстрактной группой» , Compositio Mathematica (на немецком языке), 6 : 239–50, заархивировано из оригинала 01 декабря 2008 г.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991), Теория представлений: первый курс , Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике , том. 129, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-97495-8 , МР   1153249
• Гольдштейн, Герберт (1980), Классическая механика (2-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing, стр. 588–596, ISBN  0-201-02918-9 .
• Голлманн, Дитер (2011), Компьютерная безопасность (2-е изд.), Западный Суссекс, Англия: John Wiley & Sons, Ltd., ISBN  978-0-470-74115-3
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-79540-1 .
• Хусейн, Такдир (1966), Введение в топологические группы , Филадельфия: WB Saunders Company, ISBN  978-0-89874-193-3
• Ян, Х .; Теллер, Э. (1937), «Стабильность многоатомных молекул в вырожденных электронных состояниях. I. Орбитальное вырождение», Proceedings of the Royal Society A , 161 (905): 220–235, Bibcode : 1937RSPSA.161..220J , doi : 10.1098/rspa.1937.0142 .
• Койперс, Джек Б. (1999), Кватернионы и последовательности вращения: учебник по применению к орбитам, аэрокосмической отрасли и виртуальной реальности , Princeton University Press , Bibcode : 1999qrsp.book.....K , ISBN  978-0-691-05872-6 , МР   1670862 .
• Куга, Мичио (1993), Мечта Галуа: теория групп и дифференциальные уравнения , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN  978-0-8176-3688-3 , МР   1199112 .
• Курцвейл, Ганс; Штелмахер, Бернд (2004), Теория конечных групп , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-40510-0 , МР   2014408 .
• Лэй, Дэвид (2003), Линейная алгебра и ее приложения , Аддисон-Уэсли , ISBN  978-0-201-70970-4 .
• Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98403-2 .
• Магнус, Вильгельм ; Каррасс, Авраам; Солитар, Дональд (2004) [1966], Комбинаторная теория групп: представления групп с точки зрения генераторов и отношений , Курьер, ISBN  978-0-486-43830-6
• MathSciNet (2021), Список рассмотренных на MathSciNet статей по «Теории групп и ее обобщениям» (код MSC 20), опубликованных в 2020 году , получено 14 мая 2021 года.
• Михлер, Герхард (2006), Теория конечных простых групп , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-86625-5 .
• Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии , Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08238-7
• Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. (1994), Геометрическая теория инвариантов , том. 34 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-56963-3 , МР   1304906 .
• Набер, Грегори Л. (2003), Геометрия пространства-времени Минковского , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-43235-9 , МР   2044239 .
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Основы математических наук , том. 322, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-65399-8 , МР   1697859 , Збл   0956.11021
• Романовска, AB ; Смит, JDH (2002), Modes , World Scientific , ISBN  978-981-02-4942-7 .
• Ронан, Марк (2007), Симметрия и чудовище: история одного из величайших поисков математики , Oxford University Press , ISBN  978-0-19-280723-6 .
• Розен, Кеннет Х. (2000), Элементарная теория чисел и ее приложения (4-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-87073-2 , МР   1739433 .
• Рудин, Уолтер (1990), Анализ Фурье групп , Wiley Classics, Wiley-Blackwell, ISBN  0-471-52364-Х .
• Сересс, Акос (1997), «Введение в вычислительную теорию групп» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 44 (6): 671–679, MR   1452069 .
• Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90190-9 , МР   0450380 .
• Шварцман, Стивен (1994), «Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке» , Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-511-9 .
• Шац, Стивен С. (1972), Проконечные группы, арифметика и геометрия , Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08017-8 , МР   0347778
• Саймонс, Джек (2003), Введение в теоретическую химию , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-53047-7
• Соломон, Рональд (2018), «Классификация конечных простых групп: отчет о ходе работы», Уведомления AMS , 65 (6): 1, doi : 10.1090/noti1689
• Стюарт, Ян (2015), Теория Галуа (4-е изд.), CRC Press, ISBN  978-1-4822-4582-0
• Судзуки, Мичио (1951), «О решетке подгрупп конечных групп», Труды Американского математического общества , 70 (2): 345–371, doi : 10.2307/1990375 , JSTOR   1990375 .
• Уорнер, Франк (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90894-6 .
• Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 38, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-55987-4 , МР   1269324 , OCLC   36131259
• Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN  0-471-92567-5 .
• Уэлш, Доминик (1989), Коды и криптография , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN  978-0-19-853287-3 .
• Вейль, Герман (1952), Симметрия , Princeton University Press, ISBN  978-0-691-02374-8 .
• Зи, А. (2010), Квантовая теория поля в двух словах (второе изд.), Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-14034-6 , OCLC   768477138

Исторические ссылки

Смотрите также: Исторически важные публикации по теории групп.

• Борель, Арманд (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-0288-5
• Кэли, Артур (1889), Сборник математических статей Артура Кэли , том. II (1851–1860), Издательство Кембриджского университета .
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Развитие теории групп» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Кертис, Чарльз В. (2003), Пионеры теории представлений: Фробениус, Бернсайд, Шур и Брауэр , История математики, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-2677-5 .
• фон Дейк, Вальтер (1882), «Теоретико-групповые исследования» , Mathematical Annals (на немецком языке), 20 (1): 1–44, doi : 10.1007/BF01443322 , S2CID   179178038 , заархивировано из оригинала 22 февраля 2014 г. .
• Галуа, Эварист (1908), Таннери, Жюль (редактор), Manuscrits de Évariste Galois [Рукописи Эвариста Галуа] (на французском языке), Париж: Готье-Виллар (работа Галуа была впервые опубликована Жозефом Лиувиллем в 1843 году).
• Джордан, Камилла (1870), Трактат о заменах и алгебраических уравнениях [Исследование замен и алгебраических уравнений] (на французском языке), Париж: Готье-Вилларс .
• Кляйнер, Израиль (1986), «Эволюция теории групп: краткий обзор», Mathematics Magazine , 59 (4): 195–215, doi : 10.2307/2690312 , JSTOR   2690312 , MR   0863090 .
• Ли, Софус (1973), Сборник трактатов. Том 1 [Сборник статей. Том 1] (на немецком языке), Нью-Йорк: Johnson Reprint Corp., MR   0392459 .
• Макки, Джордж Уайтлоу (1976), Теория представлений унитарных групп , University of Chicago Press , MR   0396826
• Смит, Дэвид Юджин (1906), История современной математики , Математические монографии, № 1 .
• Вейль, Герман (1950) [1931], Теория групп и квантовая механика , перевод Робертсона, HP, Дувр, ISBN  978-0-486-60269-1 .
• Вуссинг, Ханс (2007), Генезис концепции абстрактной группы: вклад в историю происхождения абстрактной теории групп , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-45868-7 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Группа» , MathWorld