Локально компактная группа

В математике — локально компактная группа это топологическая группа G, для которой основная топология локально компактна и хаусдорфова . Локально компактные группы важны, потому что многие примеры групп, встречающихся в математике, локально компактны и такие группы имеют естественную меру , называемую мерой Хаара . Это позволяет определить интегралы от измеримых по Борелю функций на G так, чтобы стандартные понятия анализа, такие как преобразование Фурье и $L^{p}$ пространства могут быть обобщены.

Многие результаты конечных групп теории представлений доказываются путем усреднения по группе. Для компактных групп модификации этих доказательств дают аналогичные результаты путем усреднения по нормированному интегралу Хаара . В общей локально компактной ситуации такие методы не обязательно справедливы. Полученная теория является центральной частью гармонического анализа . Теория представлений локально компактных абелевых групп описывается двойственностью Понтрягина .

Примеры и контрпримеры [ править ]

Любая компактная группа локально компактна.
- В частности, группа окружностей T комплексных чисел с единичным модулем при умножении компактна и, следовательно, локально компактна. Группа кругов исторически служила первой топологически нетривиальной группой, которая также обладала свойством локальной компактности, и как таковая мотивировала поиск более общей теории, представленной здесь.
Любая дискретная группа локально компактна. Таким образом, теория локально компактных групп включает в себя теорию обычных групп, поскольку любой группе можно придать дискретную топологию .
Группы Ли , которые являются локально евклидовыми, являются локально компактными группами.
Хаусдорфа Топологическое векторное пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно .
Аддитивная группа рациональных чисел Q не является локально компактной, если задана относительная топология как подмножество действительных чисел . Он локально компактен, если задан дискретная топология.
Аддитивная группа - адических чисел Qp _p локально компактна для любого простого числа p .

Свойства [ править ]

В силу однородности локальную компактность основного пространства топологической группы необходимо проверять только в единице. То есть группа G является локально компактным пространством тогда и только тогда, когда единичный элемент имеет компактную окрестность . Отсюда следует, что в каждой точке существует локальная база компактных окрестностей.

Любая замкнутая подгруппа локально компактной группы локально компактна. (Условие замыкания необходимо, как показывает группа рациональных чисел.) И наоборот, каждая локально компактная подгруппа хаусдорфовой группы замкнута. Любой фактор локально компактной группы локально компактен. Произведение . семейства локально компактных групп локально компактно тогда и только тогда, когда все факторы, кроме конечного числа, действительно компактны

Топологические группы всегда вполне регулярны как топологические пространства. Локально компактные группы обладают более сильным свойством нормальности .

Всякая локально компактная группа, которая является первой счетной, как метризуема топологическая группа (т. е. ей может быть задана левоинвариантная метрика, совместимая с топологией) и полна . Если, кроме того, пространство счетно по секундам , метрику можно выбрать собственной. (См. статью о топологических группах .)

В польской группе G σ-алгебра нуль-множеств Хаара удовлетворяет условию счетной цепи тогда и только тогда, когда G локально компактна. ^[1]

абелевы Локально компактные группы

Для любой локально компактной абелевой (LCA) группы A группа непрерывных гомоморфизмов

Мужчина ( А , С ¹)

из A в группу кругов снова локально компактна. Двойственность Понтрягина утверждает, что этот функтор индуцирует эквивалентность категорий

ДМС ^на → ДМС.

Этот функтор меняет некоторые свойства топологических групп. Например, конечные группы соответствуют конечным группам, компактные группы соответствуют дискретным группам, а метризуемые группы соответствуют счетным объединениям компактных групп (и наоборот во всех утверждениях).

Группы LCA образуют точную категорию , где допустимые мономорфизмы являются замкнутыми подгруппами, а допустимые эпиморфизмы являются топологическими фактор-отображениями. Поэтому можно рассмотреть К-теории спектр этой категории. Клаузен (2017) показал, что он измеряет разницу между K-теорией Z алгебраической и R , целыми и действительными числами соответственно в том смысле, что существует последовательность гомотопических слоев

К( Z ) → К( R ) → К(ДКА).

См. также [ править ]

Компактная группа - Топологическая группа с компактной топологией.
Полное поле — алгебраическая структура, полная относительно метрики.
Локально компактное поле
Локально компактное пространство - тип топологического пространства в математике.
Локально компактная квантовая группа – относительно новый C*-алгебраический подход к квантовым группам.
Упорядоченное топологическое векторное пространство
Топологическая абелева группа - понятие в математике.
Топологическое поле — алгебраическая структура со сложением, умножением и делением.
Топологическая группа - Группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
Топологический модуль
Топологическое кольцо – кольцо, в котором операции кольца непрерывны.
Топологическая полугруппа - полугруппа с непрерывной работой.
Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Ссылки [ править ]

^ Славомир Солецкий (1996) О нулевых множествах Хаара , Основы математики 149

Источники [ править ]

Клаузен, Дастин (2017), K-теоретический подход к картам Артина , arXiv : 1703.07842v2

Дальнейшее чтение [ править ]

Фолланд, Джеральд Б. (1995), Курс абстрактного гармонического анализа , CRC Press, ISBN 978-0-8493-8490-5 .
Понтришагин, Лев Семенович (1939). Топологические группы . Перевод Лемера, Эммы. Издательство Принстонского университета. ОСЛК 65707155 .
Вейль, Андре (1940). Интегрирование в топологических группах и его приложения [ Интегрирование в топологических группах и его приложения ] (на французском языке). Париж: Германн. OCLC 490312990 .
Монтгомери, Дин ; Зиппин, Лео (1955). Топологические группы преобразований . Издательство Интерсайенс. ISBN 978-0-486-82449-9 . OCLC 1019833944 .
Хьюитт, Эдвин ; Росс, Кеннет А. (1963). «Абстрактный гармонический анализ» . Основные принципы математических наук . Я (115). дои : 10.1007/978-3-662-26755-4 . ISBN 978-3-662-24595-8 . ISSN 0072-7830 .
Тао, Теренс (17 июля 2014 г.). Пятая проблема Гильберта и смежные темы . Аспирантура по математике. Том. 153. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/gsm/153 . ISBN 978-1-4704-1564-8 .
Тао, Теренс (17 августа 2011 г.). Заметки о локальных группах . Что нового.

[1] Славомир Солецкий (1996) О нулевых множествах Хаара , Основы математики 149

[1]