Прямой продукт групп

В математике , особенно в теории групп , прямое произведение — это операция, которая берет две группы $G$ и $H$ и создает новую группу, обычно $G \times H.$ обозначаемую операция является теоретико-групповым аналогом декартова произведения множеств Эта и одним из нескольких важных понятий прямого произведения в математике.

В контексте абелевых групп прямое произведение иногда называют прямой суммой и обозначается $G\oplus H$ . Прямые суммы играют важную роль в классификации абелевых групп: согласно фундаментальной теореме о конечных абелевых группах , каждая конечная абелева группа может быть выражена как прямая сумма циклических групп .

Определение

Учитывая группы $G$ (с операцией $*$ ) и $H$ (с операцией $∆$ ), прямое произведение $G \times H$ определяется следующим образом:

Базовым набором является декартово произведение $G \times H$ . есть упорядоченные пары $(g, h)$ , где $g \in G$ и $h \in H.$ То
Бинарная операция над $G \times H$ определяется покомпонентно:
$(г 1, час 1) \cdot (г 2, час 2) знак равно (г 1 * г 2, час 1 ∆ час 2)$

Полученный алгебраический объект удовлетворяет аксиомам группы. Конкретно:

Ассоциативность: Бинарная операция $G \times H$ ассоциативна . над
Личность: Прямое произведение имеет единичный элемент , а именно $(1 G, 1 H)$ где $1 G$ — единичный элемент $G$ , а $1 H$ — единичный элемент $H.$ ,
Реверсы: Обратным к элементу $(g, h)$ группы $G \times H$ является пара $(g -1, ч -1)$ , где $g -1$ является обратным $g$ в $G$ , а $h -1$ является обратным $h$ в $H$ .

Примеры

Пусть $R$ — группа действительных чисел при сложении . Тогда прямое произведение $R \times R$ — это группа всех двухкомпонентных векторов $(x, y)$ при операции сложения векторов :

(Икс 1, y 1) + (Икс 2, y 2) знак равно (Икс 1 + Икс 2, y 1 + y 2)

.

Пусть $Р +$ — группа положительных действительных чисел при умножении. Тогда прямое произведение $R + \times Р +$ - группа всех векторов в первом квадранте при операции покомпонентного умножения

(Икс 1, y 1) \times (Икс 2, y 2) знак равно (Икс 1 \times Икс 2, y 1 \times y 2)

.

Пусть $G$ и $H$ — циклические группы по два элемента каждая:

$G$
* 1 а
1 1 а
а а 1
$H$
* 1 б
1 1 б
б б 1

прямое произведение $G \times H$ изоморфно : четырехгруппе Клейна Тогда

$G\times H$
*	(1,1)	(а,1)	(1,б)	(а, б)
(1,1)	(1,1)	(а,1)	(1,б)	(а, б)
(а,1)	(а,1)	(1,1)	(а, б)	(1,б)
(1,б)	(1,б)	(а, б)	(1,1)	(а,1)
(а, б)	(а, б)	(1,б)	(а,1)	(1,1)

Элементарные свойства

Прямое произведение коммутативно и ассоциативно с точностью до изоморфизма. То есть $G \times H ≅ H \times G$ и $(G \times H) \times K ≅ G \times (H \times K)$ для любых групп $G$ , $H$ и $K$ .
Тривиальная группа является единицей прямого произведения с точностью до изоморфизма. Если $E$ обозначает тривиальную группу, $G ≅ G \times E ≅ E \times G$ для любых групп $G$ .
Порядок × прямого произведения $G и H$ это произведение порядков $G$ — $H$ :
$| Г \times Ч | = | г | | Ч |$ .
Это следует из формулы мощности декартова произведения множеств.
Порядок каждого элемента $(g, h)$ является наименьшим общим кратным порядков $g$ и $h$ : ^[1]
$| (г, час) | = lcm (| г |, | час |)$ .
В частности, если $| г |$ и $| ч |$ относительно просты , то порядок $(g, h)$ является произведением порядков $g$ и $h$ .
Как следствие, если $G$ и $H$ — циклические группы , порядки которых относительно просты, то $G \times H$ также является циклической. То есть, если $m$ и $n$ взаимно простые, то
$(Z / м Z) \times (Z / п Z) ≅ Z / мн Z$ .
Этот факт тесно связан с китайской теоремой об остатках .

Алгебраическая структура

Пусть $G$ и $H$ — группы, пусть $= G \times H и$ рассмотрим следующие два подмножества P $P$ :

грамм' знак равно { (грамм, 1) : грамм \in G}

и

ЧАС' знак равно { (1, час) : час \in ЧАС}

.

Обе они на самом деле являются подгруппами P $,$ , первая из которых изоморфна $а$ вторая изоморфна $H.$ G Если мы отождествим их с $G$ и $H$ соответственно, то мы сможем думать о прямом произведении $P$ как о содержащем исходные группы $G$ и $H$ как подгруппы.

Эти подгруппы $P$ обладают следующими тремя важными свойствами:(Еще раз говорим, что мы отождествляем $G'$ и $H'$ с $G$ и $H$ соответственно.)

Пересечение $G \cap H$ тривиально .
Каждый элемент $P$ может быть однозначно выражен как произведение элемента $G$ и элемента $H$ .
Каждый элемент $G$ коммутирует с каждым элементом $H$ .

Вместе эти три свойства полностью определяют алгебраическую структуру прямого $P.$ произведения То есть, если $P$ — любая группа, имеющая подгруппы $G$ и $H$ , которые удовлетворяют указанным выше свойствам, то $P$ обязательно изоморфна прямому произведению $G$ и $H$ . В этой ситуации $P$ иногда называют внутренним прямым произведением своих $G$ и $H.$ подгрупп

В некоторых контекстах третье свойство выше заменяется следующим:

3'. И

G

и

H

нормальны для

P.

,

Это свойство эквивалентно свойству 3, поскольку элементы двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением обязательно коммутируют, и этот факт можно вывести, коммутатор $[g, h]$ любых $g$ в $G$ , $h$ в $H.$ рассматривая

Примеры

Пусть $V$ — четверка Клейна :
$V$
∙ $1$ $а$ $б$ $с$
$1$ $1$ $а$ $б$ $с$
$а$ $а$ $1$ $с$ $б$
$б$ $б$ $с$ $1$ $а$
$с$ $с$ $б$ $а$ $1$
Тогда $V$ — внутреннее прямое произведение двухэлементных подгрупп {1, a } и {1, b }.
Позволять $\langle a\rangle$ — циклическая группа порядка mn , где m и n взаимно просты. Затем $\langle a^{n}\rangle$ и $\langle a^{m}\rangle$ — циклические подгруппы порядков m и n соответственно, и $\langle a\rangle$ является внутренним прямым продуктом этих подгрупп.
Пусть $С \times$ — группа ненулевых комплексных чисел при умножении . Тогда $С \times$ является внутренним прямым произведением круговой группы $T$ единичных комплексных чисел и группы $R +$ положительных действительных чисел при умножении.
Если n нечетно, то общая линейная группа $GL(n, R)$ является внутренним прямым произведением специальной линейной группы $SL(n, R)$ и подгруппы, состоящей из всех скалярных матриц .
Аналогично, когда n нечетно, ортогональная группа $O(n, R)$ является внутренним прямым произведением специальной ортогональной группы $SO(n, R)$ и двухэлементной подгруппы ${- I, I},$ где $I$ обозначает единичную матрицу .
Группа симметрии куба — единичный — это внутреннее прямое произведение подгруппы вращений и двухэлементной группы ${- I, I},$ где $I$ элемент, а $— I$ — точечное отражение через центр куба. Аналогичный факт справедлив и для группы симметрии икосаэдра .
Пусть n нечетно, и пусть D _{4 n} — группа диэдра порядка 4 n :
$D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .$
Тогда D _{4 n} — внутреннее прямое произведение подгруппы $\langle r^{2},s\rangle$ (которая изоморфна D _{2 n} ) и двухэлементную подгруппу {1, r ^н}.

Презентации

Алгебраическую структуру $G \times H$ можно использовать для представления прямого произведения в терминах представлений $G$ и $H$ . В частности, предположим, что

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \

и

\ \ H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,

где $S_{G}$ и $S_{H}$ являются (непересекающимися) генераторами и $R_{G}$ и $R_{H}$ являются определяющими отношениями. Затем

G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle

где $R_{P}$ представляет собой набор отношений, определяющих, что каждый элемент $S_{G}$ коммутирует с каждым элементом $S_{H}$ .

Например, если

G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \

и

\ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle

затем

G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .

Нормальная структура

Как упоминалось выше, подгруппы $G$ и $H$ нормальны в $G \times H$ . В частности, определим функции $π G : G \times H \to G$ и $π H : G \times H \to H$ формулами

π грамм (грамм, час) знак равно грамм

и

π ЧАС (грамм, час) знак равно час

.

Тогда $π G$ и $π H$ — гомоморфизмы , известные как проекционные гомоморфизмы , ядрами которых являются $H$ и $G$ соответственно.

Отсюда следует, что $\times H является$ расширением G посредством $G$ H $($ или наоборот). В случае, когда $G \times H$ — конечная группа , отсюда следует, что G факторы $\times H представляют$ собой в точности объединение композиционных факторов $G$ и композиционных факторов $H.$ композиционные

Дополнительные свойства

Универсальная собственность

Прямое произведение $G \times H$ можно охарактеризовать следующим универсальным свойством . Пусть $π G : G \times H \to G$ и $π H : G \times H \to H$ — гомоморфизмы проекций. Тогда для любой группы $P$ и любых гомоморфизмов $ƒ G : P \to G$ и $ƒ H : P \to H$ существует единственный гомоморфизм $ƒ: P \to G \times H,$ следующую диаграмму делающий коммутирующую :

В частности, гомоморфизм $ƒ$ задается формулой

ƒ(п) знак равно (ƒ г (п), ƒ ЧАС (п))

.

Это частный случай универсального свойства продуктов в теории категорий .

Подгруппы

Если $A$ — подгруппа группы $G$ а $B$ — подгруппа группы $H$ , то прямое произведение $A \times B$ является подгруппой группы $G \times H.$ , Например, изоморфная копия $G$ в $G \times H$ — это произведение $G \times {1}$ где ${1}$ — тривиальная подгруппа $H.$ ,

Если $A$ и $B$ нормальны, то $A \times B$ — нормальная подгруппа группы $G \times H$ . Более того, фактор прямых произведений изоморфен прямому произведению частных:

(грамм \times ЧАС) / (А \times B) ≅ (грамм / А) \times (ЧАС / B)

.

Обратите внимание, что в общем случае неверно, что каждая подгруппа $G \times H$ является произведением подгруппы $G$ с подгруппой $H$ . Например, если $G$ — любая нетривиальная группа, то произведение $G \times G$ имеет диагональную подгруппу

Δ = { (g, g) : g \in G}

которая не является прямым произведением двух подгрупп $G$ .

Подгруппы прямых произведений описываются леммой Гурса . подгруппы включают продукты G $волокнистые$ и $H.$ Другие

Сопряженность и централизаторы

Два элемента $(g 1, h 1)$ и $(g 2, h 2)$ сопряжены тогда и в $G \times H$ только тогда, когда $g 1$ и $g 2$ сопряжены в $G$ , а $h 1$ и $h 2$ сопряжены в $H$ . Отсюда следует, что каждый класс сопряженности в $G \times H$ является просто декартовым произведением класса сопряженности в $G$ и класса сопряженности в $H$ .

Аналогично, если $(g, h \in G \times H$ , централизатор ( $) g, h)$ является просто произведением централизаторов $g$ и $h$ :

C грамм \times ЧАС (грамм, час)

равно

C грамм (грамм) \times CH час (знак)

.

Аналогично, центр G $и \times H$ произведением центров $G$ H $является$ :

Z (г \times ЧАС)

знак равно

Z (г) \times Z (ЧАС)

.

Нормализаторы ведут себя более сложным образом, поскольку не все подгруппы прямых произведений сами разлагаются как прямые произведения.

Автоморфизмы и эндоморфизмы

Если $α$ — автоморфизм группы G $,$ а $β$ — автоморфизм группы $H$ , то функция произведения $α \times β : G \times H \to G \times H$ , определенная формулой

(α \times β)(грамм, час) знак равно (α (грамм), β (час))

является автоморфизмом $G \times H$ . Отсюда следует, что $Aut(G \times H)$ имеет подгруппу, изоморфнуюк прямому произведению $Aut(G) \times Aut(H)$ .

Вообще говоря, неверно, что каждый автоморфизм группы $G \times H$ имеет указанную выше форму. (То есть $Aut(G) \times Aut(H)$ часто является собственной подгруппой $Aut(G \times H)$ .) Например, если $G$ — любая группа, то существует автоморфизм $σ$ группы $G \times G$ , который меняет местами две группы. факторы, т.е.

σ (г 1, г 2) знак равно (г 2, г 1)

.

Другой пример, группа автоморфизмов $Z \times Z$ — это $GL (2, Z)$ , группа всех $2 \times 2$ матриц с целыми элементами и ± определителем $1$ . Эта группа автоморфизмов бесконечна, но лишь конечное число автоморфизмов имеют приведенный выше вид.

В общем, каждый эндоморфизм G $размера \times H$ можно записать как $2 \times 2.$ матрицу

{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

где $α$ — эндоморфизм $G$ , $δ$ — эндоморфизм $H$ , а $β : H \to G$ и $γ : G \to H$ — гомоморфизмы. Такая матрица должна обладать тем свойством, что каждый элемент образа α коммутирует $β$ элементом образа $γ$ , а каждый элемент образа $δ$ коммутирует с каждым элементом образа $с каждым$ .

Когда G и H — неразложимые бесцентровые группы, тогда группа автоморфизмов относительно проста: Aut( G ) × Aut( H ), если G и H не изоморфны, и Aut( G ) wr 2, если G ≅ H , wr обозначает изделие венок . Это часть теоремы Крулля – Шмидта и в более общем смысле справедлива для конечных прямых произведений.

Обобщения

Конечные прямые произведения

Можно взять прямое произведение более чем двух групп одновременно. Для конечной последовательности $G 1, ..., G n$ групп прямое произведение

\prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}

определяется следующим образом:

Элементами $G 1 \times \dots \times n являются$ кортежи ( $g 1, ..., g n)$ , где $gi G \in G i$ для каждого $i$ .
Операция над $G 1 \times \dots \times G n$ определяется покомпонентно:
$(грамм 1, ..., грамм п)(грамм 1', ..., грамм п')$ знак равно $(грамм 1 грамм 1', ..., грамм п грамм п')$ .

Он обладает многими из тех же свойств, что и прямое произведение двух групп, и может быть охарактеризован алгебраически аналогичным образом.

Бесконечные прямые продукты

Также возможно взять прямое произведение бесконечного числа групп. Для бесконечной последовательности $групп G 1, G 2, ...$ это можно определить так же, как и конечное прямое произведение, описанное выше, при этом элементы бесконечного прямого произведения представляют собой бесконечные кортежи.

В более общем смысле, для индексированного семейства { $G i$ } $i \in I$ групп прямое произведение $Π i \in I G i$ определяется следующим образом:

Элементы $Π i \in I G i$ являются элементами бесконечного декартова множеств $Gi;$ произведения т. е. функции $ƒ: I \to ⋃ i \in I G i$ со свойством, что $ƒ(i) \in G i$ для каждого $i$ .
Произведение двух элементов $ƒ, g$ определяется покомпонентно:
$(ƒ • грамм)(я)$ знак равно $ƒ (я) • грамм (я)$ .

В отличие от конечного прямого произведения, бесконечное прямое произведение $Π i \in I G i$ не порождается элементами изоморфных подгрупп { $G i$ } $i \in I$ . Вместо этого эти подгруппы порождают подгруппу прямого произведения, известную как бесконечная прямая сумма , которая состоит из всех элементов, имеющих только конечное число неединичных компонентов.

Другие продукты

Полупрямые продукты

Напомним, что группа $P$ с подгруппами $G$ и $H$ изоморфна прямому произведению $G$ и $H,$ если она удовлетворяет следующим трем условиям:

Пересечение $G \cap H$ тривиально .
Каждый элемент $P$ может быть однозначно выражен как произведение элемента $G$ и элемента $H$ .
И $G$ и $H$ нормальны для $P.$ ,

Полупрямое произведение G $нормальной$ и $H$ получается ослаблением третьего условия, так что только одна из двух подгрупп $должна быть G, H$ . Результирующее произведение по-прежнему состоит из упорядоченных пар $(g, h)$ , но с немного более сложным правилом умножения.

Также возможно полностью ослабить третье условие, требуя, чтобы ни одна из двух подгрупп не была нормальной. В этом случае группа $P$ называется произведением Заппы– групп $G$ и $H.$ Сепа

Бесплатные продукты

Свободное произведение не обязаны $G$ и $H$ , обычно обозначаемое $G * H$ , аналогично прямому произведению, за исключением того, что подгруппы $G$ и $H$ группы $G * H$ коммутировать. То есть, если

г знак

равно

〈 S г

|

р G 〉

и

Ч

=

〈 S ЧАС

|

Р Ч 〉

,

являются представлениями для $G$ и $H$ , то

грамм * SH

равно

〈 S грамм \cup ЧАС знак

|

р грамм \cup р ЧАС 〉

.

В отличие от прямого произведения, элементы свободного произведения не могут быть представлены упорядоченными парами. Фактически свободное произведение любых двух нетривиальных групп бесконечно. Бесплатный продукт на самом деле является побочным продуктом в категории групп .

Субдиректные продукты

Если $G$ и $H$ — группы, то подпрямое произведение G $и$ H $—$ это любая подгруппа $G \times H$ отображается , которая сюръективно на $G$ и $H$ относительно гомоморфизмов проекции. По лемме Гурса любое подпрямое произведение является расслоенным произведением.

Волокнистые изделия

Пусть $G$ , $H$ и $Q$ — группы, и пусть $𝜑 : G \to Q$ и $χ : H \to Q$ — гомоморфизмы. Расслоенное произведение G $, также известное$ и $H$ над $Q$ как обратный образ , представляет собой следующую подгруппу $G \times H$ :

$G\times _{Q}H=\{\,(g,h)\in G\times H:\varphi (g)=\chi (h)\,\}{\text{.}}$ Если $𝜑 : G \to Q$ и $χ : H \to Q$ — эпиморфизмы , то это подпрямое произведение.

Ссылки

^ Галлиан, Джозеф А. (2010). Современная абстрактная алгебра (7-е изд.). Cengage Обучение. п. 157. ИСБН 9780547165097 .

Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис Холл , ISBN 978-0-89871-510-1
Херштейн, Израиль Натан (1996), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7 , МР 1375019 .
Херштейн, Израиль Натан (1975), Темы алгебры (2-е изд.), Лексингтон, Массачусетс: Xerox College Publishing, MR 0356988 .
Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556
Ланг, Серж (2005), Бакалавр алгебры (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-22025-3 .
Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), Курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6 .

[1] Галлиан, Джозеф А. (2010). Современная абстрактная алгебра (7-е изд.). Cengage Обучение. п. 157. ИСБН 9780547165097 .

[1]

$V$
∙	$1$	$а$	$б$	$с$
$1$	$1$	$а$	$б$	$с$
$а$	$а$	$1$	$с$	$б$
$б$	$б$	$с$	$1$	$а$
$с$	$с$	$б$	$а$	$1$