Соленоид (математика)

На этой странице обсуждается класс топологических групп. Информацию о намотанной петле из провода см. в разделе «Соленоид» .

В математике соленоид — это компактное связное топологическое пространство (т.е. континуум ), которое можно получить как обратный предел обратной системы топологических групп и непрерывных гомоморфизмов.

f_{i}:S_{i+1}\to S_{i}\quad \forall i\geq 0

где каждый $S_{i}$ — круг , а f _i — карта, равномерно обертывающая круг. $S_{i+1}$ для $n_{i+1}$ раз ( $n_{i+1}\geq 2$ ) по кругу $S_{i}$ . ^[1]^{: Ч. 2 Защ. (10.12)}Это построение можно провести геометрически в трехмерном евклидовом пространстве R ³. Соленоид — одномерный однородный неразложимый континуум , имеющий структуру абелевой компактной топологической группы .

Соленоиды были впервые представлены компанией Vietoris для $n_{i}=2$ случай, ^[2] и Данциг Ван $n_{i}=n$ случай, когда $n\geq 2$ фиксировано. ^[3] Такой соленоид возникает как одномерный расширяющийся аттрактор или аттрактор Смейла-Вильямса и образует важный пример в теории гиперболических динамических систем .

Строительство [ править ]

Смейла – аттрактор Геометрическая конструкция и Вильямса

Первые шесть шагов построения аттрактора Смейла-Вильямса.

Каждый соленоид может быть построен как пересечение вложенной системы вложенных полноторий в R. ³.

Зафиксируем последовательность натуральных чисел { n _i }, n _i ≥ 2. Пусть T ₀ = S ¹ × D — полноторий . Для каждого i ≥ 0 выберите полноторие Ti _{+1 ,} раз обернуто в продольном направлении которое n _i полнотория Ti _. внутри Тогда их пересечение

\Lambda =\bigcap _{i\geq 0}T_{i}

гомеоморфен соленоиду , построенному как обратный предел системы окружностей с отображениями, определяемыми последовательностью { n _i }.

Вот вариант этой конструкции, выделенный Стивеном Смейлом как пример расширяющегося аттрактора в теории гладких динамических систем. Обозначим угловую координату на окружности S ¹ по t (она определена по модулю 2π) и рассмотрим комплексную координату z на двумерном единичном круге D . Пусть f — отображение полнотора T = S ¹ × D в себя, заданную явной формулой

f(t,z)=\left(2t,{\tfrac {1}{4}}z+{\tfrac {1}{2}}e^{it}\right).

Это отображение представляет собой гладкое вложение T / в себя, сохраняющее слоение меридиональными дисками (константы 1/2 и 1/4 несколько произвольны, но существенно, что 1/4 < 1/2 и 1/4 + 1 2 < 1). Если Т представить в виде резиновой трубки, то отображение f растягивает ее в продольном направлении, сжимает каждый меридиональный диск и дважды оборачивает деформированную трубку внутри Т с закручиванием, но без самопересечений. Гиперболическое множество Λ дискретной динамической системы ( T , f ) является пересечением описанной выше последовательности вложенных полноторий, где T _i — образ T при i-й итерации отображения f . Это множество является одномерным (в смысле топологической размерности ) аттрактором , а динамика f на Λ обладает следующими интересными свойствами:

меридиональные диски — это устойчивые многообразия , каждое из которых пересекает Λ по канторову множеству.
периодические f плотны Λ в точки
отображение f транзитивно топологически на Λ

Общая теория соленоидов и расширяющихся аттракторов, не обязательно одномерная, была разработана Р.Ф. Уильямсом и включает проективную систему из бесконечного числа копий компактного разветвленного многообразия вместо круга вместе с расширяющимся самопогружением .

Построение в тороидальных координатах [ править ]

В тороидальных координатах с радиусом $R$ , соленоид можно параметризовать с помощью $t\in \mathbb {R}$ как

\zeta =2\pi t,\quad re^{i\theta }=\sum _{k=1}^{\infty }r_{k}e^{2\pi i\omega _{k}t}

где

$\omega _{k}={\frac {1}{n_{1}\cdots n_{k}}},\quad r_{k}=R\delta _{1}\cdots \delta _{k}$

Здесь, $\delta _{k}$ являются настраиваемыми параметрами формы с ограничением $0<\delta <1-{\frac {1}{1+\sin {\frac {\pi }{n_{k}}}}}$ . В частности, $\delta ={\frac {1}{2n_{k}}}$ работает.

Позволять $S\subset \mathbb {R} ^{3}$ Если соленоид построен таким образом, то топология соленоида представляет собой просто топологию подмножества, индуцированную евклидовой топологией на $\mathbb {R} ^{3}$ .

Поскольку параметризация биективна, мы можем вернуть топологию на $S$ к $\mathbb {R}$ , что делает $\mathbb {R}$ сам соленоид. Это позволяет нам явно построить обратные предельные отображения:

g_{k}:\mathbb {R} \to S_{k},\quad g_{k}(t)=(r,\theta ,\zeta ){\text{ in toroidal coordinates, where }}\zeta =2\pi t,\quad re^{i\theta }=\sum _{k=1}^{k}r_{k}e^{2\pi i\omega _{k}t}

Построение посредством символической динамики [ править ]

Если рассматривать соленоид как совокупность, то он представляет собой просто канторовский континуум кругов, соединенных между собой определенным образом. Это подсказывает нам конструкцию символической динамики , где мы начинаем с круга как «гоночной дорожки» и добавляем «одометр», чтобы отслеживать, на каком круге мы находимся.

Определять $S=S^{1}\times \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}$ как соленоид. Далее определяем сложение на одометре $\mathbb {Z} \times \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}\to \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}$ , так же, как и p-адические числа. Далее определите сложение на соленоиде $+:\mathbb {R} \times S\to S$ к

r+(\theta ,n)=((r+\theta \mod 1),\lfloor r+\theta \rfloor +n)

Топология на соленоиде порождается базисом, содержащим подмножества

S'\times Z'_{(m_{1},...,m_{k})}

, где

S'

любой открытый интервал в

S^{1}

, и

Z'_{(m_{1},...,m_{k})}

представляет собой совокупность всех элементов

\prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}

начиная с начального сегмента

(m_{1},...,m_{k})

.

Патологические свойства

Соленоиды — это компактные метризуемые пространства , которые связны , но не являются локально связными или связными по путям . Это отражается на их патологическом поведении по отношению к различным теориям гомологии в отличие от стандартных свойств гомологии для симплициальных комплексов . В гомологиях Чеха можно построить неточную длинную последовательность гомологий, используя соленоид. В Стинрода теориях гомологии в стиле ^[4] 0-я группа гомологии соленоида может иметь достаточно сложную структуру, хотя соленоид является связным пространством.

См. также [ править ]

Протор — класс топологических групп, включающий соленоиды.
Двойственность Понтрягина
Обратный предел
p-адическое число
Проконечное целое число

Ссылки [ править ]

^ Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1979). Абстрактный гармонический анализ I: Структура топологических групп. Теория интеграции. Групповые представления . Основные принципы математических наук. Том 115. Берлин-Нью-Йорк: Springer. дои : 10.1007/978-1-4419-8638-2 . ISBN 978-0-387-94190-5 .
^ Виеторис, Л. (декабрь 1927 г.). «О высшей связи компактов и одного класса связных отображений» . Математические летописи . 97 (1): 454–472. дои : 10.1007/bf01447877 . ISSN 0025-5831 . S2CID 121172198 .
^ ван Данциг, Д. (1930). «Сверхтопологически однородные континуумы» . Основы математики . 15 : 102–125. дои : 10.4064/fm-15-1-102-125 . ISSN 0016-2736 .
^ «Гомологии Стинрода-Ситникова — Математическая энциклопедия» .

Д. ван Данциг, Топологически однородные среды Уэбера , Fund. Математика. 15 (1930), с. 102–125
«Соленоид» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Кларк Робинсон, Динамические системы: стабильность, символическая динамика и хаос , 2-е издание, CRC Press, 1998 г. ISBN 978-0-8493-8495-0
С. Смейл, Дифференцируемые динамические системы , Бюлл. AMS , 73 (1967), 747–817.
Л. Виеторис, О высшей связности компактов и одном классе когерентных отображений , Матем. 97 (1927), стр. 454–472.
Роберт Ф. Уильямс, Расширяющиеся аттракторы , Опубл. Математика. ИХЭС, т. 1, с. 43 (1974), с. 169–203

Дальнейшее чтение [ править ]

Семмес, Стивен (12 января 2012 г.), Некоторые замечания о соленоидах , arXiv : 1201.2647 , Бибкод : 2012arXiv1201.2647S

[1] Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1979). Абстрактный гармонический анализ I: Структура топологических групп. Теория интеграции. Групповые представления . Основные принципы математических наук. Том 115. Берлин-Нью-Йорк: Springer. дои : 10.1007/978-1-4419-8638-2 . ISBN 978-0-387-94190-5 .

[2] Виеторис, Л. (декабрь 1927 г.). «О высшей связи компактов и одного класса связных отображений» . Математические летописи . 97 (1): 454–472. дои : 10.1007/bf01447877 . ISSN 0025-5831 . S2CID 121172198 .

[3] ван Данциг, Д. (1930). «Сверхтопологически однородные континуумы» . Основы математики . 15 : 102–125. дои : 10.4064/fm-15-1-102-125 . ISSN 0016-2736 .

[4] «Гомологии Стинрода-Ситникова — Математическая энциклопедия» .

[1]

[2]

[3]

[4]