Неразложимый континуум

Первые четыре этапа построения ручки ковша как предел ряда вложенных пересечений.

В топологии точечного множества — неразложимый континуум это континуум , который неразложим, т. е. который не может быть выражен как объединение любых двух его собственных подконтинуумов. В 1910 году Л. Дж. Брауэр первым описал неразложимую континуум.

Неразложимые континуумы использовались топологами как источник контрпримеров . Они также встречаются в динамических системах .

Определения

Континуум $C$ — непустое компактное связное метрическое пространство . Дуга континуумов , n -сфера и куб Гильберта являются примерами , связанных путями ; является Синусоидальная кривая тополога примером континуума, не связанного по путям. Варшавский круг представляет собой континуум, связанный путями, который не является локально путевым. Субконтинуум $C'$ континуума $C$ является замкнутым связным подмножеством $C$ . Пространство невырождено, если оно не равно ни одной точке. Континуум $C$ разложимо , если существуют два подконтинуума $A$ и $B$ из $C$ такой, что $A\neq C$ и $B\neq C$ но $A\cup B=C$ . Отсюда следует, что $A$ и $B$ невырождены. Континуум, который не является разложимым, является неразложимым континуумом . Континуум $C$ В котором каждый субконтинуум неразложим, называется наследственно неразложимым . Составляющая неразложимого континуума $C$ — максимальное множество, в котором любые две точки лежат внутри некоторого собственного подконтинуума $C$ . Континуум $C$ неприводимо между $c$ и $c'$ если $c,c'\in C$ и ни один собственный субконтинуум не содержит обеих точек. Для невырожденного неразложимого метрического континуума $X$ , существует несчетное подмножество $J$ такой, что $X$ неприводимо между любыми двумя точками $J$ . ^[1]

История

В 1910 году Л. Дж. Брауэр описал неразложимый континуум, что опровергло гипотезу Артура Морица Шенфлиса о том, что, если $X_{1}$ и $X_{2}$ являются открытыми, связными, непересекающимися множествами в $\mathbb {R} ^{2}$ такой, что $\partial X_{1}=\partial X_{2}$ , затем $\partial X_{1}=\partial X_{2}$ должно быть объединением двух замкнутых связных собственных подмножеств. ^[2] Зигмунт Янишевский описал и другие подобные неразложимые континуумы, включая версию ручки ведра. Янишевский, однако, сосредоточил внимание на неприводимости этих континуумов. В 1917 году Кунизо Ёнеяма описал озера Вада (названные в честь Такео Вада ), общая граница которых неразрывна. В 1920-е годы неразложимые континуумы начали изучаться Варшавской математической школой в Fundamenta Mathematicae ради самих себя, а не как патологические контрпримеры. Стефан Мазуркевич был первым, кто дал определение неразложимости. В 1922 году Бронислав Кнастер описал псевдодугу — первый обнаруженный пример наследственно неразложимого континуума. ^[3]

Пример ручки ковша

Неразложимые континуумы часто строятся как предел последовательности вложенных пересечений или (в более общем плане) как обратный предел последовательности континуумов. Ручка ведра, или континуум Брауэра-Янишевского-Кнастера, часто считается простейшим примером неразложимого континуума и может быть построена таким образом (см. Вверху справа). В качестве альтернативы возьмите тройное множество Кантора ${\mathcal {C}}$ спроецировано на интервал $[0,1]$ принадлежащий $x$ -ось в плоскости. Позволять ${\mathcal {C}}_{0}$ быть семейством полукругов над $x$ -ось с центром $(1/2,0)$ и с конечными точками на ${\mathcal {C}}$ (которая симметрична относительно этой точки). Позволять ${\mathcal {C}}_{1}$ быть семейством полукругов ниже $x$ -ось с центром в середине интервала $[2/3,1]$ и с конечными точками в ${\mathcal {C}}\cap [2/3,1]$ . Позволять ${\mathcal {C}}_{i}$ быть семейством полукругов ниже $x$ -ось с центром в середине интервала $[2/3^{i},3/3^{i}]$ и с конечными точками в ${\mathcal {C}}\cap [2/3^{i},3/3^{i}]$ . Тогда объединение всех таких ${\mathcal {C}}_{i}$ это ручка ведра. ^[4]

Ручка ведра не допускает борелевской трансверсали, то есть не существует борелевского множества, содержащего ровно одну точку от каждой компоненты.

Характеристики

В некотором смысле «большинство» континуумов неразложимы. Позволять $M$ быть $n$ -ячейка с метрикой $d$ , $2^{M}$ множество всех непустых замкнутых подмножеств $M$ , и $C(M)$ гиперпространство членов всех связанных $2^{M}$ оснащен метрикой Хаусдорфа $H_{d}$ определяется $H_{d}(A,B)=\max\{\sup\{d(a,B):a\in A\},\sup\{d(b,A):b\in B\}\}$ . Тогда множество невырожденных неразложимых подконтинуумов $M$ плотный в $C(M)$ .

В динамических системах

В 1932 году Джордж Биркгоф описал свою «замечательную замкнутую кривую» — гомеоморфизм кольца , содержащего инвариантный континуум. Мари Шарпантье показала, что этот континуум неразложим, что является первым звеном от неразложимых континуумов к динамическим системам. Инвариантным множеством некоторого Смейла отображения подковы является ручка ведра. Марси Бардж и другие тщательно изучали неразложимые континуумы в динамических системах. ^[5]

См. также

Неразложимость (конструктивная математика)
Озера Вада , три открытых подмножества плоскости, граница которых представляет собой неразложимый континуум.
Соленоид
Ковер Серпинского

Ссылки

^ Надлер, Сэм (2017). Теория континуума: Введение . ЦРК Пресс. ISBN 9781351990530 .
^ Брауэр, LEJ (1910), «Об анализе ситуации» , Mathematik Annalen , 68 (3): 422–434, doi : 10.1007/BF01475781 , S2CID 120836681
^ Кук, Ховард; Ингрэм, Уильям Т.; Куперберг, Кристина; Лелек, Андрей; Минц, Петр (1995). Продолжение: С Хьюстонским задачником . ЦРК Пресс. п. 103. ИСБН 9780824796501 .
^ Ингрэм, WT; Махавьер, Уильям С. (2011). Обратные пределы: от континуума к хаосу . Springer Science & Business Media. п. 16. ISBN 9781461417972 .
^ Кеннеди, Джуди (1 декабря 1993 г.). «Как возникают неразложимые континуумы в динамических системах». Анналы Нью-Йоркской академии наук . 704 (1): 180–201. Бибкод : 1993NYASA.704..180K . дои : 10.1111/j.1749-6632.1993.tb52522.x . ISSN 1749-6632 . S2CID 85143246 .

Внешние ссылки

Солецкий, С. (2002). «Описательная теория множеств в топологии». Ин Гушек, М.; Ван Милл, Дж. (ред.). Последние достижения в общей топологии II . Эльзевир. стр. 506–508. ISBN 978-0-444-50980-2 .
Кассельман, Билл (2014), «Об обложке» (PDF) , Уведомления AMS , 61 : 610, 676 объясняет картину Брауэра его неразложимого континуума, которая появляется на обложке журнала.

[1] Надлер, Сэм (2017). Теория континуума: Введение . ЦРК Пресс. ISBN 9781351990530 .

[2] Брауэр, LEJ (1910), «Об анализе ситуации» , Mathematik Annalen , 68 (3): 422–434, doi : 10.1007/BF01475781 , S2CID 120836681

[3] Кук, Ховард; Ингрэм, Уильям Т.; Куперберг, Кристина; Лелек, Андрей; Минц, Петр (1995). Продолжение: С Хьюстонским задачником . ЦРК Пресс. п. 103. ИСБН 9780824796501 .

[4] Ингрэм, WT; Махавьер, Уильям С. (2011). Обратные пределы: от континуума к хаосу . Springer Science & Business Media. п. 16. ISBN 9781461417972 .

[5] Кеннеди, Джуди (1 декабря 1993 г.). «Как возникают неразложимые континуумы в динамических системах». Анналы Нью-Йоркской академии наук . 704 (1): 180–201. Бибкод : 1993NYASA.704..180K . дои : 10.1111/j.1749-6632.1993.tb52522.x . ISSN 1749-6632 . S2CID 85143246 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]