Озера Вада

Первые пять этапов озер Вада

В математике озера Вада ( 和田の湖 , Вада но мидзууми ) представляют собой три непересекающихся связанных открытых множества плоскости же или открытого единичного квадрата с тем нелогичным свойством, что все они имеют одну и ту границу . Другими словами, для любой точки, выбранной на границе одного из озер, границы двух других озер также содержат эту точку.

Говорят, что более двух множеств с одинаковой границей обладают свойством Вада ; примеры включают бассейны Вада в динамических системах . Это свойство редко встречается в реальных системах.

Озера Вада были представлены Кунизо Ёнеяма ( 1917 , стр. 60), который приписал открытие Такео Ваде . Его конструкция аналогична конструкции Брауэра (1910) неразложимого континуума , и на самом деле общая граница трех множеств может быть неразложимым континуумом.

Строительство озер Вада

Анимация рытья озер до 5 дня

Озера Вада формируются, начиная с закрытого квадрата суши, а затем выкапывая 3 озера в соответствии со следующим правилом:

• В день n = 1, 2, 3,... расширите озеро n по модулю 3 (= 0, 1, 2) так, чтобы оно было открытым и связанным и проходило на расстоянии 1/ n от всей оставшейся суши. Это нужно сделать для того, чтобы оставшаяся суша оставалась гомеоморфной замкнутой единице квадрата.

По прошествии бесконечного количества дней три озера по-прежнему представляют собой непересекающиеся соединенные открытые множества, а оставшаяся суша является границей каждого из трех озер.

Например, первые пять дней могут быть такими (см. изображение справа):

1. Выкопайте голубое озеро шириной 1/3, проходящее в пределах √ 2/3 всей суши.
2. Выкопайте красное озеро шириной 1/3. ² прохождение в √ 2/3 пределах ² всей суши.
3. Выкопайте зеленое озеро шириной 1/3. ³ прохождение в √ 2/3 пределах ³ всей суши.
4. Расширьте голубое озеро каналом шириной 1/3. ⁴ прохождение в √ 2/3 пределах ⁴ всей суши. (Маленький канал соединяет тонкое голубое озеро с толстым, около середины изображения.)
5. Расширьте красное озеро каналом шириной 1/3. ⁵ прохождение в √ 2/3 пределах ⁵ всей суши. (Крошечный канал соединяет тонкое красное озеро с толстым в левом верхнем углу изображения.)

Вариант этой конструкции может создавать счетное бесконечное количество связанных озер с одной и той же границей: вместо расширения озер в порядке 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ...., продлите их в порядке 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, ... и так далее.

Бассейны Вада

Фрактал Ньютона, образующий бассейны притяжения Вада для z ³ − 1 = 0; все три несвязанных открытых бассейна имеют одну и ту же границу

Бассейны Вада — это особые бассейны притяжения, изучаемые в математике нелинейных систем . Бассейн, обладающий свойством, что каждая окрестность каждой точки на границе этого бассейна пересекает по крайней мере три бассейна, называется бассейном Вада или, как говорят, обладает свойством Вада . В отличие от озер Вада, бассейны Вада часто разъединены.

Примером бассейнов Вада является фрактал Ньютона, описывающий бассейны притяжения метода Ньютона–Рафсона для поиска корней кубического многочлена с различными корнями, например z ³ − 1; см. картинку.

Бассейны Вада в теории хаоса

В теории хаоса бассейны Вада возникают очень часто. Обычно свойство Вада можно наблюдать в зоне притяжения диссипативных динамических систем. Но выходные бассейны гамильтоновых систем также могут проявлять свойство Вады. В контексте хаотического рассеяния систем с множеством выходов бассейны выходов демонстрируют свойство Вада. МАФ Санхуан и др. показал, что в системе Энона – Хейлеса выходные бассейны обладают этим свойством Вады.

См. также

• Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.

Ссылки

• Брауэр, LEJ (1910), «Об анализе ситуации» (PDF) , Mathematical Annals , 68 (3): 422–434, doi : 10.1007/BF01475781
• Ёнеяма, Кунизо (1917), «Теория непрерывного множества точек» , Tôhoku Mathematical Journal , 12 : 43–158

Дальнейшее чтение

• Бребан, Ромул; Нусс, HE. (2005), «О создании бассейнов Вада на картах интервалов посредством касательной бифуркации в фиксированной точке» , Physica D , 207 (1–2): 52–63, Bibcode : 2005PhyD..207...52B , doi : 10.1016/j.physd.2005.05.012
• Куден, Ив (2006), «Изображения гиперболических динамических систем» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 53 (1): 8–13, ISSN   0002-9920 , MR   2189945
• Гельбаум, Бернард Р.; Олмстед, Джон М.Х. (2003), Контрпримеры в анализе , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  0-486-42875-3 пример 10.13
• Хокинг, Дж. Г.; Янг, Г.С. (1988), Топология , Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 144 , ISBN  0-486-65676-4
• Кеннеди, Дж; Йорк, Дж. А. (1991), «Бассейны Вада», Physica D , 51 (1–3): 213–225, Бибкод : 1991PhyD...51..213K , doi : 10.1016/0167-2789(91)90234- З
• Свит, Д.; Отт, Э.; Йорк, Дж. А. (1999), «Сложная топология хаотического рассеяния: лабораторное наблюдение», Nature , 399 (6734): 315, Bibcode : 1999Natur.399..315S , doi : 10.1038/20573

Внешние ссылки

• Экспериментальная реализация бассейнов Вада (с фотографиями) , andamooka.org
• Знакомство с бассейнами ВАДА и собственностью ВАДА www-chaos.umd.edu
• Отражающие сферы бесконечности: фракталы бассейна Вада , miqel.com
• Бассейны Вада: визуализация хаотического рассеяния , astronomy.swin.edu.au