Теория хаоса

Чтобы узнать о других значениях, см. Теорию хаоса (значения) .

График аттрактора Лоренца для значений r = 28 , σ = 10 , b = 8 / 3

Анимация маятника с двумя стержнями при промежуточной энергии, демонстрирующая хаотическое поведение. Запуск маятника из немного других начальных условий приведет к совершенно другой траектории . Двухстержневой маятник — одна из простейших динамических систем с хаотическими решениями.

Теория хаоса — междисциплинарная область научных исследований и раздел математики . Основное внимание уделяется основным закономерностям и детерминированным законам динамических систем , которые очень чувствительны к начальным условиям . Когда-то считалось, что они имеют совершенно случайные состояния беспорядка и нарушений. Теория хаоса утверждает, что внутри кажущейся случайности хаотических сложных систем существуют основные закономерности, взаимосвязи, постоянные петли обратной связи , повторение, самоподобие , фракталы и самоорганизация . Эффект бабочки , основополагающий принцип хаоса, описывает, как небольшое изменение в одном состоянии детерминированной нелинейной системы может привести к большим различиям в более позднем состоянии (это означает, что существует чувствительная зависимость от начальных условий). Метафорой такого поведения является то, что взмах крыльев бабочки в Бразилии может вызвать торнадо в Техасе .

Небольшие различия в начальных условиях, например, из-за ошибок в измерениях или из-за ошибок округления в числовых вычислениях , могут привести к сильно различающимся результатам для таких динамических систем, что в целом делает невозможным долгосрочное прогнозирование их поведения. Это может произойти, даже если эти системы детерминированы , а это означает, что их будущее поведение следует за уникальной эволюцией. и полностью определяется их начальными условиями, без участия случайных элементов. Другими словами, детерминированная природа этих систем не делает их предсказуемыми. Такое поведение известно как детерминированный хаос или просто хаос . Теорию резюмировал Эдвард Лоренц так:

Хаос: Когда настоящее определяет будущее, но приблизительное настоящее не определяет будущее приблизительно.

Хаотическое поведение существует во многих природных системах, включая поток жидкости, нарушения сердцебиения, погоду и климат. It also occurs spontaneously in some systems with artificial components, such as road traffic. This behavior can be studied through the analysis of a chaotic mathematical model or through analytical techniques such as recurrence plots and Poincaré maps. Chaos theory has applications in a variety of disciplines, including meteorology, anthropology, sociology, environmental science, computer science, engineering, economics, ecology, and pandemic crisis management. Теория легла в основу таких областей исследования, как сложные динамические системы , теория края хаоса и самосборки процессы .

Introduction

Chaos theory concerns deterministic systems whose behavior can, in principle, be predicted. Chaotic systems are predictable for a while and then 'appear' to become random. The amount of time for which the behavior of a chaotic system can be effectively predicted depends on three things: how much uncertainty can be tolerated in the forecast, how accurately its current state can be measured, and a time scale depending on the dynamics of the system, called the Lyapunov time. Some examples of Lyapunov times are: chaotic electrical circuits, about 1 millisecond; weather systems, a few days (unproven); the inner solar system, 4 to 5 million years. In chaotic systems, the uncertainty in a forecast increases exponentially with elapsed time. Hence, mathematically, doubling the forecast time more than squares the proportional uncertainty in the forecast. This means, in practice, a meaningful prediction cannot be made over an interval of more than two or three times the Lyapunov time. When meaningful predictions cannot be made, the system appears random.

Chaos theory is a method of qualitative and quantitative analysis to investigate the behavior of dynamic systems that cannot be explained and predicted by single data relationships, but must be explained and predicted by whole, continuous data relationships.

Chaotic dynamics

The map defined by x → 4 x (1 – x) and y → (x + y) mod 1 displays sensitivity to initial x positions. Here, two series of x and y values diverge markedly over time from a tiny initial difference.

In common usage, "chaos" means "a state of disorder". However, in chaos theory, the term is defined more precisely. Although no universally accepted mathematical definition of chaos exists, a commonly used definition, originally formulated by Robert L. Devaney, says that to classify a dynamical system as chaotic, it must have these properties:

1. it must be sensitive to initial conditions,
2. it must be topologically transitive,
3. it must have dense periodic orbits.

In some cases, the last two properties above have been shown to actually imply sensitivity to initial conditions. In the discrete-time case, this is true for all continuous maps on metric spaces. In these cases, while it is often the most practically significant property, "sensitivity to initial conditions" need not be stated in the definition.

If attention is restricted to intervals, the second property implies the other two. An alternative and a generally weaker definition of chaos uses only the first two properties in the above list.

Sensitivity to initial conditions

Main article: Butterfly effect

Lorenz equations used to generate plots for the y variable. The initial conditions for x and z were kept the same but those for y were changed between 1.001, 1.0001 and 1.00001. The values for $\rho$, $\sigma$ and $\beta$ were 45.91, 16 and 4 respectively. As can be seen from the graph, even the slightest difference in initial values causes significant changes after about 12 seconds of evolution in the three cases. This is an example of sensitive dependence on initial conditions.

Sensitivity to initial conditions means that each point in a chaotic system is arbitrarily closely approximated by other points that have significantly different future paths or trajectories. Thus, an arbitrarily small change or perturbation of the current trajectory may lead to significantly different future behavior.

Sensitivity to initial conditions is popularly known as the "butterfly effect", so-called because of the title of a paper given by Edward Lorenz in 1972 to the American Association for the Advancement of Science in Washington, D.C., entitled Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?. The flapping wing represents a small change in the initial condition of the system, which causes a chain of events that prevents the predictability of large-scale phenomena. Had the butterfly not flapped its wings, the trajectory of the overall system could have been vastly different.

As suggested in Lorenz's book entitled The Essence of Chaos, published in 1993, "sensitive dependence can serve as an acceptable definition of chaos". In the same book, Lorenz defined the butterfly effect as: "The phenomenon that a small alteration in the state of a dynamical system will cause subsequent states to differ greatly from the states that would have followed without the alteration." The above definition is consistent with the sensitive dependence of solutions on initial conditions (SDIC). An idealized skiing model was developed to illustrate the sensitivity of time-varying paths to initial positions. A predictability horizon can be determined before the onset of SDIC (i.e., prior to significant separations of initial nearby trajectories).

A consequence of sensitivity to initial conditions is that if we start with a limited amount of information about the system (as is usually the case in practice), then beyond a certain time, the system would no longer be predictable. This is most prevalent in the case of weather, which is generally predictable only about a week ahead. This does not mean that one cannot assert anything about events far in the future—only that some restrictions on the system are present. For example, we know that the temperature of the surface of the earth will not naturally reach 100 °C (212 °F) or fall below −130 °C (−202 °F) on earth (during the current geologic era), but we cannot predict exactly which day will have the hottest temperature of the year.

In more mathematical terms, the Lyapunov exponent measures the sensitivity to initial conditions, in the form of rate of exponential divergence from the perturbed initial conditions. More specifically, given two starting trajectories in the phase space that are infinitesimally close, with initial separation $\delta \mathbf {Z} _{0}$, the two trajectories end up diverging at a rate given by

$|\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,$

where $t$ is the time and $\lambda$ is the Lyapunov exponent. The rate of separation depends on the orientation of the initial separation vector, so a whole spectrum of Lyapunov exponents can exist. The number of Lyapunov exponents is equal to the number of dimensions of the phase space, though it is common to just refer to the largest one. For example, the maximal Lyapunov exponent (MLE) is most often used, because it determines the overall predictability of the system. A positive MLE is usually taken as an indication that the system is chaotic.

In addition to the above property, other properties related to sensitivity of initial conditions also exist. These include, for example, measure-theoretical mixing (as discussed in ergodic theory) and properties of a K-system.

Non-periodicity

A chaotic system may have sequences of values for the evolving variable that exactly repeat themselves, giving periodic behavior starting from any point in that sequence. However, such periodic sequences are repelling rather than attracting, meaning that if the evolving variable is outside the sequence, however close, it will not enter the sequence and in fact, will diverge from it. Thus for almost all initial conditions, the variable evolves chaotically with non-periodic behavior.

Topological mixing

Six iterations of a set of states $[x,y]$ passed through the logistic map. The first iterate (blue) is the initial condition, which essentially forms a circle. Animation shows the first to the sixth iteration of the circular initial conditions. It can be seen that mixing occurs as we progress in iterations. The sixth iteration shows that the points are almost completely scattered in the phase space. Had we progressed further in iterations, the mixing would have been homogeneous and irreversible. The logistic map has equation $x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})$. To expand the state-space of the logistic map into two dimensions, a second state, $y$, was created as $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}$, if $x_{k}+y_{k}<1$ and $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1$ otherwise.

The map defined by x → 4 x (1 – x) and y → (x + y) mod 1 also displays topological mixing. Here, the blue region is transformed by the dynamics first to the purple region, then to the pink and red regions, and eventually to a cloud of vertical lines scattered across the space.

Topological mixing (or the weaker condition of topological transitivity) means that the system evolves over time so that any given region or open set of its phase space eventually overlaps with any other given region. This mathematical concept of "mixing" corresponds to the standard intuition, and the mixing of colored dyes or fluids is an example of a chaotic system.

Topological mixing is often omitted from popular accounts of chaos, which equate chaos with only sensitivity to initial conditions. However, sensitive dependence on initial conditions alone does not give chaos. For example, consider the simple dynamical system produced by repeatedly doubling an initial value. This system has sensitive dependence on initial conditions everywhere, since any pair of nearby points eventually becomes widely separated. However, this example has no topological mixing, and therefore has no chaos. Indeed, it has extremely simple behavior: all points except 0 tend to positive or negative infinity.

Topological transitivity

A map $f:X\to X$ is said to be topologically transitive if for any pair of non-empty open sets $U,V\subset X$, there exists $k>0$ such that $f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset$. Topological transitivity is a weaker version of topological mixing. Intuitively, if a map is topologically transitive then given a point x and a region V, there exists a point y near x whose orbit passes through V. This implies that it is impossible to decompose the system into two open sets.

An important related theorem is the Birkhoff Transitivity Theorem. It is easy to see that the existence of a dense orbit implies topological transitivity. The Birkhoff Transitivity Theorem states that if X is a second countable, complete metric space, then topological transitivity implies the existence of a dense set of points in X that have dense orbits.

Density of periodic orbits

For a chaotic system to have dense periodic orbits means that every point in the space is approached arbitrarily closely by periodic orbits. The one-dimensional logistic map defined by x → 4 x (1 – x) is one of the simplest systems with density of periodic orbits. For example, ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ → ${\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}$ → ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ (or approximately 0.3454915 → 0.9045085 → 0.3454915) is an (unstable) orbit of period 2, and similar orbits exist for periods 4, 8, 16, etc. (indeed, for all the periods specified by Sharkovskii's theorem).

Sharkovskii's theorem is the basis of the Li and Yorke (1975) proof that any continuous one-dimensional system that exhibits a regular cycle of period three will also display regular cycles of every other length, as well as completely chaotic orbits.

Strange attractors

The Lorenz attractor displays chaotic behavior. These two plots demonstrate sensitive dependence on initial conditions within the region of phase space occupied by the attractor.

Some dynamical systems, like the one-dimensional logistic map defined by x → 4 x (1 – x), are chaotic everywhere, but in many cases chaotic behavior is found only in a subset of phase space. The cases of most interest arise when the chaotic behavior takes place on an attractor, since then a large set of initial conditions leads to orbits that converge to this chaotic region.

An easy way to visualize a chaotic attractor is to start with a point in the basin of attraction of the attractor, and then simply plot its subsequent orbit. Because of the topological transitivity condition, this is likely to produce a picture of the entire final attractor, and indeed both orbits shown in the figure on the right give a picture of the general shape of the Lorenz attractor. This attractor results from a simple three-dimensional model of the Lorenz weather system. The Lorenz attractor is perhaps one of the best-known chaotic system diagrams, probably because it is not only one of the first, but it is also one of the most complex, and as such gives rise to a very interesting pattern that, with a little imagination, looks like the wings of a butterfly.

Unlike fixed-point attractors and limit cycles, the attractors that arise from chaotic systems, known as strange attractors, have great detail and complexity. Strange attractors occur in both continuous dynamical systems (such as the Lorenz system) and in some discrete systems (such as the Hénon map). Other discrete dynamical systems have a repelling structure called a Julia set, which forms at the boundary between basins of attraction of fixed points. Julia sets can be thought of as strange repellers. Both strange attractors and Julia sets typically have a fractal structure, and the fractal dimension can be calculated for them.

Coexisting attractors

Coexisting chaotic and non-chaotic attractors within the generalized Lorenz model. There are 128 orbits in different colors, beginning with different initial conditions for dimensionless time between 0.625 and 5 and a heating parameter r = 680. Chaotic orbits recurrently return close to the saddle point at the origin. Nonchaotic orbits eventually approach one of two stable critical points, as shown with large blue dots. Chaotic and nonchaotic orbits occupy different regions of attraction within the phase space.

In contrast to single type chaotic solutions, recent studies using Lorenz models have emphasized the importance of considering various types of solutions. For example, coexisting chaotic and non-chaotic may appear within the same model (e.g., the double pendulum system) using the same modeling configurations but different initial conditions. The findings of attractor coexistence, obtained from classical and generalized Lorenz models, suggested a revised view that "the entirety of weather possesses a dual nature of chaos and order with distinct predictability", in contrast to the conventional view of "weather is chaotic".

Minimum complexity of a chaotic system

Bifurcation diagram of the logistic map x → r x (1 – x). Each vertical slice shows the attractor for a specific value of r. The diagram displays period-doubling as r increases, eventually producing chaos. Darker points are visited more frequently.

Discrete chaotic systems, such as the logistic map, can exhibit strange attractors whatever their dimensionality. In contrast, for continuous dynamical systems, the Poincaré–Bendixson theorem shows that a strange attractor can only arise in three or more dimensions. Finite-dimensional linear systems are never chaotic; for a dynamical system to display chaotic behavior, it must be either nonlinear or infinite-dimensional.

The Poincaré–Bendixson theorem states that a two-dimensional differential equation has very regular behavior. The Lorenz attractor discussed below is generated by a system of three differential equations such as:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}$

where $x$, $y$, and $z$ make up the system state, $t$ is time, and $\sigma$, $\rho$, $\beta$ are the system parameters. Five of the terms on the right hand side are linear, while two are quadratic; a total of seven terms. Another well-known chaotic attractor is generated by the Rössler equations, which have only one nonlinear term out of seven. Sprott found a three-dimensional system with just five terms, that had only one nonlinear term, which exhibits chaos for certain parameter values. Zhang and Heidel showed that, at least for dissipative and conservative quadratic systems, three-dimensional quadratic systems with only three or four terms on the right-hand side cannot exhibit chaotic behavior. The reason is, simply put, that solutions to such systems are asymptotic to a two-dimensional surface and therefore solutions are well behaved.

While the Poincaré–Bendixson theorem shows that a continuous dynamical system on the Euclidean plane cannot be chaotic, two-dimensional continuous systems with non-Euclidean geometry can still exhibit some chaotic properties. Perhaps surprisingly, chaos may occur also in linear systems, provided they are infinite dimensional. A theory of linear chaos is being developed in a branch of mathematical analysis known as functional analysis.

The above set of three ordinary differential equations has been referred to as the three-dimensional Lorenz model. Since 1963, higher-dimensional Lorenz models have been developed in numerous studies for examining the impact of an increased degree of nonlinearity, as well as its collective effect with heating and dissipations, on solution stability.

Infinite dimensional maps

The straightforward generalization of coupled discrete maps is based upon convolution integral which mediates interaction between spatially distributed maps:$\psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}$,

where kernel $K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)$ is propagator derived as Green function of a relevant physical system,$f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]$ might be logistic map alike $\psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]$ or complex map. For examples of complex maps the Julia set $f[\psi ]=\psi ^{2}$ or Ikeda map$\psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}$ may serve. When wave propagation problems at distance $L=ct$ with wavelength $\lambda =2\pi /k$ are considered the kernel $K$ may have a form of Green function for Schrödinger equation:.

$K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]$.

Джерковые системы

В физике . рывок — это третья производная положения по времени Таким образом, дифференциальные уравнения вида

$J\left({\overset {...}{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0$

иногда называют уравнениями рывка . Было показано, что уравнение рывка, которое эквивалентно системе трех обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, является в определенном смысле минимальной средой для решений, демонстрирующих хаотическое поведение. Это мотивирует математический интерес к джерк-системам. Системы, включающие четвертую и выше производную, называются соответственно системами гиперрывков.

Поведение системы рывка описывается уравнением рывка, а для некоторых уравнений рывка решения могут моделировать простые электронные схемы. Эти схемы известны как рывковые схемы.

Одним из наиболее интересных свойств рывковых схем является возможность хаотического поведения. Фактически, некоторые известные хаотические системы, такие как аттрактор Лоренца и отображение Ресслера , условно описываются как система трёх дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут объединяться в одно (хотя и довольно сложное) уравнение рывка. Другой пример уравнения рывка с нелинейностью по величине $x$ является:

${\frac {\mathrm {d} ^{3}x}{\mathrm {d} t^{3}}}+A{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}-|x|+1=0.$

Здесь A — регулируемый параметр. Это уравнение имеет хаотическое решение при A =3/5 и может быть реализовано с помощью следующей схемы рывка; требуемая нелинейность достигается за счет двух диодов:

В приведенной выше схеме все резисторы имеют одинаковую номинальную стоимость, кроме $R_{A}=R/A=5R/3$, и все конденсаторы имеют одинаковую емкость. Доминирующая частота $1/2\pi RC$. Выход операционного усилителя 0 будет соответствовать переменной x, выход 1 соответствует первой производной x, а выход 2 соответствует второй производной.

Подобные схемы требуют только одного диода. или вообще без диодов.

См. также известную схему Чуа , одну из основ хаотических генераторов истинных случайных чисел. Простота конструкции схемы сделала ее повсеместным реальным примером хаотической системы.

Спонтанный заказ

При правильных условиях хаос спонтанно превращается в паттерн. В модели Курамото четырех условий достаточно для синхронизации хаотической системы.Примеры включают связанные колебания маятников Христиана Гюйгенса , светлячков, нейронов , резонанс лондонского моста Миллениум и большие массивы джозефсоновских переходов .

Более того, с точки зрения теоретической физики сам динамический хаос в самом общем проявлении представляет собой стихийный порядок. Суть здесь в том, что большинство порядков в природе возникает в результате спонтанного нарушения различных симметрий. В это большое семейство явлений входят упругость, сверхпроводимость, ферромагнетизм и многие другие. Согласно суперсимметричной теории стохастической динамики , хаос, точнее, его стохастическое обобщение, также является частью этого семейства. Соответствующая нарушенная симметрия представляет собой топологическую суперсимметрию , которая скрыта во всех стохастических (частных) дифференциальных уравнениях , а соответствующий параметр порядка представляет собой теоретико-полевое воплощение эффекта бабочки.

История

Папоротник Барнсли, созданный с помощью игры хаоса . Природные формы (папоротники, облака, горы и т. д.) можно воссоздать с помощью системы итеративных функций (IFS).

Джеймс Клерк Максвелл впервые подчеркнул « эффект бабочки » и считается одним из первых, кто обсуждал теорию хаоса, работая в 1860-х и 1870-х годах. Одним из первых сторонников теории хаоса был Анри Пуанкаре . В 1880-х годах, изучая проблему трёх тел , он обнаружил, что могут существовать непериодические орбиты, но при этом они не постоянно увеличиваются и не приближаются к фиксированной точке. В 1898 году Жак Адамар опубликовал влиятельное исследование хаотического движения свободной частицы, скользящей без трения по поверхности постоянной отрицательной кривизны, названное « бильярд Адамара ». Адамару удалось показать, что все траектории неустойчивы, поскольку все траектории частиц экспоненциально расходятся друг от друга с положительным показателем Ляпунова .

Теория хаоса зародилась в области эргодической теории . Более поздние исследования, также по теме нелинейных дифференциальных уравнений , были проведены Джорджем Дэвидом Биркгофом , Andrey Nikolaevich Kolmogorov , Мэри Люси Картрайт и Джон Эденсор Литтлвуд , и Стивен Смейл . За исключением Смейла, все эти исследования были непосредственно вдохновлены физикой: проблема трех тел в случае Биркгофа, турбулентность и астрономические проблемы в случае Колмогорова и радиотехника в случае Картрайта и Литтлвуда. Хотя хаотического движения планет не наблюдалось, экспериментаторы сталкивались с турбулентностью в движении жидкости и непериодическими колебаниями в радиосхемах, не имея теории, объясняющей то, что они видели.

Несмотря на первоначальные открытия, сделанные в первой половине двадцатого века, теория хаоса стала формализованной как таковая только после середины столетия, когда некоторым ученым впервые стало очевидно, что линейная теория , преобладающая в то время теория систем, просто не могла объяснить наблюдаемые явления. поведение некоторых экспериментов подобно поведению логистической карты . То, что приписывалось неточности измерения и простому « шуму », рассматривалось теоретиками хаоса как полноценный компонент изучаемых систем. В 1959 году Борис Валерианович Чириков предложил критерий возникновения классического хаоса в гамильтоновых системах ( критерий Чирикова ). Он применил этот критерий для объяснения некоторых экспериментальных результатов по удержанию плазмы в ловушках с открытыми пробками. Это считается самой первой физической теорией хаоса, сумевшей объяснить конкретный эксперимент. А самого Бориса Чирикова считают пионером в области классического и квантового хаоса.

Главным катализатором развития теории хаоса стал электронный компьютер. Большая часть математики теории хаоса включает в себя многократное повторение простых математических формул, которые было бы непрактично делать вручную. Электронные компьютеры сделали эти повторяющиеся расчеты практичными, а рисунки и изображения позволили визуализировать эти системы. Будучи аспирантом лаборатории Тихиро Хаяси в Киотском университете, Ёсисуке Уэда экспериментировал с аналоговыми компьютерами и 27 ноября 1961 года заметил то, что он назвал «случайным переходным явлением». Однако его советник в то время не согласился с его выводами и не позволял ему сообщать о своих выводах до 1970 года.

Турбулентность в концевом вихре крыла самолета . Исследования критической точки, за которой система создает турбулентность, были важны для теории хаоса, проанализированной, например, советским физиком Львом Ландау , который разработал теорию турбулентности Ландау-Хопфа . Дэвид Рюэль и Флорис Такенс позже предсказали, вопреки Ландау, что турбулентность жидкости может развиваться благодаря странному аттрактору — основной концепции теории хаоса.

Эдвард Лоренц был пионером этой теории. Его интерес к хаосу возник случайно во время его работы по предсказанию погоды в 1961 году. Лоренц и его соратница Эллен Феттер и Маргарет Гамильтон. мы использовали простой цифровой компьютер Royal McBee LGP-30 для моделирования погоды. Они хотели снова увидеть последовательность данных и, чтобы сэкономить время, начали моделирование в середине его процесса. Они сделали это, введя распечатку данных, которые соответствовали условиям в середине исходного моделирования. К их удивлению, погода, которую начала предсказывать машина, полностью отличалась от предыдущего расчета. Они отследили это по компьютерной распечатке. Компьютер работал с точностью до 6 цифр, но в распечатке переменные округлялись до трехзначного числа, поэтому значение типа 0,506127 печаталось как 0,506. Эта разница незначительна, и в то время было решено, что она не должна иметь практического эффекта. Однако Лоренц обнаружил, что небольшие изменения в начальных условиях приводят к большим изменениям в долгосрочных результатах. Открытие Лоренца, давшее название аттракторам Лоренца , показало, что даже детальное моделирование атмосферы, как правило, не может дать точных долгосрочных прогнозов погоды.

В 1963 году Бенуа Мандельброт , изучая теорию информации , обнаружил, что шум во многих явлениях (включая цены на акции и телефонные цепи) имеет структуру, подобную множеству Кантора — набору точек с бесконечной шероховатостью и детализацией. Мандельброт описал как «эффект Ноя» (при котором могут происходить внезапные прерывистые изменения), так и «эффект Йозефа» (при котором значение может сохраняться какое-то время, но впоследствии внезапно меняться). В 1967 году он опубликовал статью « Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность », показав, что длина береговой линии варьируется в зависимости от масштаба измерительного прибора, похожа на себя во всех масштабах и бесконечна по длине для бесконечно малый измерительный прибор. Утверждая, что клубок шпагата выглядит как точка, если смотреть издалека (0-мерный), клубок, если смотреть достаточно близко (3-мерный), или изогнутая прядь (1-мерный), он утверждал, что размеры объект относится к наблюдателю и может быть дробным. Объект, неравномерность которого постоянна в разных масштабах («самоподобие»), является фракталом (примеры включают губку Менгера , прокладку Серпинского и кривую Коха или снежинку , которая бесконечно длинна, но охватывает конечное пространство и имеет фрактальную структуру). размерность около 1,2619). В 1982 году Мандельброт опубликовал «Фрактальную геометрию природы» , ставшую классикой теории хаоса.

В декабре 1977 года Нью-Йоркская академия наук организовала первый симпозиум по хаосу, на котором присутствовали Дэвид Рюэль, Роберт Мэй , Джеймс А. Йорк (автор термина «хаос», используемого в математике), Роберт Шоу и метеоролог Эдвард Лоренц. В следующем году Пьер Кулле и Шарль Трессер опубликовали «Итерации эндоморфизмов и группы перенормировок», а статья Митчелла Фейгенбаума «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований» наконец появилась в журнале после трех лет отклонений рецензентов. Таким образом, Фейгенбаум (1975) и Кулле и Трессер (1978) открыли универсальность хаоса, что позволило применить теорию хаоса ко многим различным явлениям.

В 1979 году Альберт Дж. Либхабер во время симпозиума, организованного в Аспене Пьером Хоэнбергом , представил свое экспериментальное наблюдение бифуркационного каскада , который приводит к хаосу и турбулентности в Рэлея-Бенара конвекционных системах . Он был награжден премией Вольфа по физике в 1986 году вместе с Митчеллом Дж. Фейгенбаумом за их вдохновляющие достижения.

В 1986 году Нью-Йоркская академия наук совместно с Национальным институтом психического здоровья и Управлением военно-морских исследований организовала первую важную конференцию по хаосу в биологии и медицине. Там Бернардо Хуберман представил математическую модель дисфункции слежения за взглядом у людей, страдающих шизофренией . Это привело к обновлению физиологии в 1980-е годы за счет применения теории хаоса, например, при изучении патологических сердечных циклов .

В 1987 году Пер Бак , Чао Тан и Курт Визенфельд опубликовали статью в журнале Physical Review Letters. впервые описывающая самоорганизованную критичность (SOC), считающуюся одним из механизмов возникновения сложности в природе.

Наряду с в основном лабораторными подходами, такими как песчаная куча Бака-Танга-Визенфельда , многие другие исследования были сосредоточены на крупномасштабных природных или социальных системах, которые, как известно (или предположительно), демонстрируют масштабно-инвариантное поведение. Хотя эти подходы не всегда приветствовались (по крайней мере, первоначально) специалистами по изучаемым предметам, SOC, тем не менее, зарекомендовал себя как сильный кандидат для объяснения ряда природных явлений, включая землетрясения (которые задолго до открытия SOC были известны как источник масштабно-инвариантного поведения, такого как закон Гутенберга-Рихтера, описывающий статистическое распределение размеров землетрясений, и закон Омори. описание частоты афтершоков), солнечных вспышек , колебаний в экономических системах, таких как финансовые рынки (ссылки на SOC распространены в эконофизике ), формирование ландшафта, лесные пожары , оползни , эпидемии и биологическая эволюция (где SOC использовался, например, , как динамический механизм, лежащий в основе теории « прерывистого равновесия », выдвинутой Найлсом Элдриджем и Стивеном Джеем Гулдом ). Учитывая последствия безмасштабного распределения размеров событий, некоторые исследователи предположили, что еще одним явлением, которое следует рассматривать как пример SOC, является возникновение войн . Эти исследования SOC включали как попытки моделирования (либо разработку новых моделей, либо адаптацию существующих к специфике данной природной системы), так и обширный анализ данных для определения существования и/или характеристик естественных законов масштабирования.

Также в 1987 году Джеймс Глейк опубликовал книгу «Хаос: создание новой науки» , которая стала бестселлером и представила широкой публике общие принципы теории хаоса, а также ее историю. Первоначально теория хаоса была сферой деятельности нескольких изолированных людей, но постепенно превратилась в трансдисциплинарную и институциональную дисциплину, главным образом под названием анализа нелинейных систем . Ссылаясь на Томаса Куна концепцию о сдвиге парадигмы , изложенную в «Структуре научных революций» (1962), многие «хаологи» (как некоторые называли себя) утверждали, что эта новая теория является примером такого сдвига, и этот тезис поддержал Глейк. .

Доступность более дешевых и мощных компьютеров расширяет возможности применения теории хаоса. В настоящее время теория хаоса остается активной областью исследований. включая множество различных дисциплин, таких как математика , топология , физика , социальные системы , популяционное моделирование , биология , метеорология , астрофизика , теория информации , вычислительная нейробиология , пандемическими управление кризисами , и т. д.

Лоренца в

За свою карьеру профессор Лоренц написал в общей сложности 61 исследовательскую работу, из которых 58 были написаны им единолично. Начиная с конференции 1960 года в Японии, Лоренц отправился в путь разработки разнообразных моделей, направленных на раскрытие SDIC и хаотических особенностей. Недавний обзор модели Лоренца Прогресс, охватывающий период с 1960 по 2008 год, показал его умение использовать различные физические системы для иллюстрации хаотических явлений. Эти системы включали квазигеострофические системы, консервативное уравнение завихренности, уравнения конвекции Рэлея-Бенара и уравнения мелкой воды. Более того, Лоренцу можно приписать раннее применение логистической карты для исследования хаотических решений, и это веха, которую он достиг раньше своих коллег (например, Лоренц 1964). ).

В 1972 году Лоренц ввел термин «эффект бабочки» как метафору, чтобы обсудить, может ли небольшое возмущение в конечном итоге создать торнадо с трехмерной, организованной и последовательной структурой. Хотя его метафорический вариант связан с первоначальным эффектом бабочки, основанным на чувствительной зависимости от начальных условий, он несет в себе отчетливые нюансы. В ознаменование этой вехи в честь 50-летия метафорического эффекта бабочки была официально опубликована переизданная книга, содержащая приглашенные статьи, которые углубляют наше понимание обоих эффектов бабочки.

хаоса

Чувствительная зависимость от начальных условий (т. е. эффект бабочки) была проиллюстрирована с использованием следующего фольклора:

Из-за отсутствия гвоздя туфля потерялась.

Из-за отсутствия подковы лошадь потерялась.

Из-за отсутствия лошади погиб всадник.

Из-за отсутствия всадника битва была проиграна.

Из-за отсутствия битвы королевство было потеряно.

И все из-за отсутствия гвоздя для подковы.

Основываясь на вышеизложенном, многие люди ошибочно полагают, что влияние крошечного начального возмущения монотонно увеличивается со временем и что любое крошечное возмущение может в конечном итоге оказать большое влияние на численное интегрирование. Однако в 2008 году Лоренц заявил, что, по его мнению, этот стих не описывает настоящий хаос, а лучше иллюстрирует более простой феномен нестабильности и что этот стих неявно предполагает, что последующие небольшие события не изменят результат. Судя по анализу, этот стих указывает только на расхождение, а не на ограниченность. Ограниченность важна для конечного размера шаблона бабочки. В недавнем исследовании характеристика вышеупомянутого стиха недавно была обозначена как «зависимость, чувствительная к конечному времени».

Приложения

, Текстильная оболочка конуса внешне похожая на Правило 30 , клеточный автомат с хаотичным поведением.

Хотя теория хаоса родилась в результате наблюдений за погодными условиями, она стала применима и к множеству других ситуаций. Некоторые области, извлекающие выгоду из теории хаоса сегодня, - это геология , математика , биология , информатика , экономика , инженерия , финансы , метеорология , философия , антропология , физика , политика , динамика численности населения , и робототехника . Ниже перечислены несколько категорий с примерами, но это ни в коем случае не полный список, поскольку появляются новые приложения.

Криптография

Теория хаоса уже много лет используется в криптографии . За последние несколько десятилетий хаос и нелинейная динамика использовались при разработке сотен криптографических примитивов . Эти алгоритмы включают в себя алгоритмы шифрования изображений , хэш-функции , безопасные генераторы псевдослучайных чисел , поточные шифры , водяные знаки и стеганографию . Большинство этих алгоритмов основаны на унимодальных хаотических картах, и большая часть этих алгоритмов использует параметры управления и начальное состояние хаотических карт в качестве ключей. В более широкой перспективе, без потери общности, сходство между хаотическими картами и криптографическими системами является основной мотивацией для разработки криптографических алгоритмов, основанных на хаосе. Один тип шифрования, секретный ключ или симметричный ключ , основан на диффузии и путанице , которые хорошо моделируются теорией хаоса. Другой тип вычислений, ДНК-вычисления , в сочетании с теорией хаоса предлагают способ шифрования изображений и другой информации. Доказано, что многие криптографические алгоритмы ДНК-Хаоса либо небезопасны, либо применяемая техника неэффективна.

Робототехника

Робототехника — еще одна область, которая в последнее время получила выгоду от теории хаоса. использовалась теория хаоса Вместо того, чтобы роботы совершенствовали взаимодействие с окружающей средой методом проб и ошибок, для построения прогнозирующей модели . Хаотическую динамику демонстрируют пассивно идущие двуногие роботы.

Биология

Уже более ста лет биологи отслеживают популяции разных видов с помощью популяционных моделей . Большинство моделей являются непрерывными , но недавно учёным удалось реализовать хаотичные модели в определённых популяциях. Например, исследование моделей канадской рыси показало хаотичный характер роста популяции. Хаос также можно найти в экологических системах, таких как гидрология . Хотя хаотическая модель гидрологии имеет свои недостатки, ей еще предстоит многому научиться, рассматривая данные через призму теории хаоса. Другое биологическое применение находит кардиотокография . Наблюдение за плодом представляет собой тонкий баланс между получением точной информации и максимальной неинвазивностью. Лучшие модели признаков гипоксии плода можно получить путем хаотического моделирования.

Как указывает Перри, моделированию хаотических временных рядов в экологии помогают ограничения. Всегда существует потенциальная трудность отличить настоящий хаос от хаоса, который существует только в модели. Следовательно, как ограничения в модели, так и дублирование данных временных рядов для сравнения будут полезны для приведения модели к чему-то близкому к реальности, например, Perry & Wall 1984. ген за геном Коэволюция иногда демонстрирует хаотическую динамику частот аллелей . Добавление переменных преувеличивает это: хаос чаще встречается в моделях, включающих дополнительные переменные, отражающие дополнительные аспекты реальной популяции. Роберт М. Мэй сам провел некоторые из этих фундаментальных исследований коэволюции сельскохозяйственных культур, и это, в свою очередь, помогло сформировать всю эту область. Даже в стабильной среде простое сочетание одной культуры и одного патогена может привести к квазипериодическим или хаотическим патогенов колебаниям популяции .

Экономика

Вполне возможно, что экономические модели также можно улучшить за счет применения теории хаоса, но прогнозирование состояния экономической системы и того, какие факторы влияют на нее больше всего, является чрезвычайно сложной задачей. Экономические и финансовые системы фундаментально отличаются от систем классических естественных наук, поскольку первые по своей природе носят стохастический характер, поскольку являются результатом взаимодействия людей, и, следовательно, чисто детерминистские модели вряд ли обеспечат точное представление данных. Эмпирическая литература, посвященная проверке хаоса в экономике и финансах, дает очень неоднозначные результаты, отчасти из-за путаницы между конкретными тестами на хаос и более общими тестами на нелинейные отношения.

Хаос можно обнаружить в экономике с помощью количественного анализа повторяемости . Фактически, Орландо и др. с помощью так называемого индекса корреляции количественного повторения удалось обнаружить скрытые изменения во временных рядах. Затем тот же метод был использован для обнаружения переходов от ламинарной (регулярной) к турбулентной (хаотической) фазе, а также различий между макроэкономическими переменными и выявления скрытых особенностей экономической динамики. Наконец, теория хаоса может помочь в моделировании того, как работает экономика, а также во внедрении шоков, вызванных внешними событиями, такими как COVID-19.

Платформа расширенного моделирования искусственного интеллекта

В моделях большого языка, управляемых искусственным интеллектом, ответы могут проявлять чувствительность к таким факторам, как изменения в форматировании и вариации подсказок. Эта чувствительность подобна эффекту бабочки. Хотя классификация больших языковых моделей, основанных на искусственном интеллекте, как классических детерминированных хаотических систем, создает проблемы, подходы и методы, основанные на хаосе (такие как ансамблевое моделирование), могут использоваться для извлечения достоверной информации из этих обширных языковых моделей (см. также « Эффект бабочки в популярной культуре »). ).

Другие регионы

В химии прогнозирование растворимости газов имеет важное значение для производства полимеров , но модели, использующие оптимизацию роя частиц (PSO), имеют тенденцию сходиться к неверным точкам. Улучшенная версия PSO была создана за счет введения хаоса, который предотвращает застревание моделирования. В небесной механике , особенно при наблюдении астероидов, применение теории хаоса позволяет лучше предсказывать, когда эти объекты достигнут Земли и других планет. Четыре из пяти спутников Плутона вращаются хаотично. В квантовой физике и электротехнике изучение больших массивов джозефсоновских переходов значительно выиграло от теории хаоса. Ближе к дому угольные шахты всегда были опасными местами, где частые утечки природного газа приводят к многочисленным смертям. До недавнего времени не было надежного способа предсказать, когда они произойдут. Но эти утечки газа имеют хаотическую тенденцию, которую при правильном моделировании можно предсказать довольно точно.

Теория хаоса может применяться за пределами естественных наук, но исторически почти все подобные исследования страдали от отсутствия воспроизводимости; плохая внешняя валидность; и/или невнимание к перекрестной проверке, что приводит к низкой точности прогнозирования (если даже была предпринята попытка прогнозирования за пределами выборки). Стекло и Манделл и Зельц обнаружили, что ни одно исследование ЭЭГ до сих пор не выявило наличия странных аттракторов или других признаков хаотического поведения.

Исследователи продолжают применять теорию хаоса в психологии. Например, моделируя групповое поведение, в котором разнородные члены могут вести себя так, как будто в разной степени разделяют то, что в теории Уилфреда Биона является основным предположением, исследователи обнаружили, что групповая динамика является результатом индивидуальной динамики членов: каждый индивид воспроизводит групповую динамику в разном масштабе, и хаотичное поведение группы отражается на каждом ее члене.

Редингтон и Рейдборд (1992) попытались продемонстрировать, что человеческое сердце может проявлять хаотичные черты. Они отслеживали изменения интервалов между ударами сердца у одной психотерапевтической пациентки, когда она проходила через периоды различной эмоциональной интенсивности во время терапевтического сеанса. Результаты были, по общему признанию, неубедительными. Двусмысленность присутствовала не только в различных графиках, которые авторы создали, якобы чтобы продемонстрировать доказательства хаотической динамики (спектральный анализ, фазовые траектории и графики автокорреляции), но и когда они попытались вычислить показатель Ляпунова как более определенное подтверждение хаотического поведения, авторы обнаружили, что они не могут сделать это надежно.

В своей статье 1995 года Меткалф и Аллен утверждали, что они обнаружили в поведении животных закономерность удвоения периода, ведущую к хаосу. Авторы исследовали хорошо известную реакцию, называемую полидипсией, вызванной графиком, при которой животное, лишенное еды в течение определенного периода времени, пьет необычное количество воды, когда еда наконец-то ему представлена. Действующим здесь управляющим параметром (r) была продолжительность интервала между кормлениями после возобновления. Авторы постарались протестировать большое количество животных и включить множество повторений, и спланировали свой эксперимент так, чтобы исключить вероятность того, что изменения в паттернах реакции были вызваны разными стартовыми местами для r.

Временные ряды и графики первой задержки лучше всего подтверждают сделанные утверждения, демонстрируя довольно четкий переход от периодичности к нерегулярности по мере увеличения времени кормления. С другой стороны, различные графики фазовых траекторий и спектральный анализ недостаточно хорошо согласуются с другими графиками или с общей теорией, чтобы неумолимо привести к хаотическому диагнозу. Например, фазовые траектории не демонстрируют определенного прогресса в сторону все большей и большей сложности (и от периодичности); процесс кажется довольно запутанным. Кроме того, там, где Меткалф и Аллен видели на своих спектральных графиках периоды два и шесть, есть место для альтернативных интерпретаций. Вся эта двусмысленность требует некоторых извилистых, апостериорных объяснений, чтобы показать, что результаты соответствуют хаотичной модели.

Адаптировав модель карьерного консультирования, включив в нее хаотичную интерпретацию взаимоотношений между работниками и рынком труда, Амундсон и Брайт обнаружили, что людям, которые сталкиваются с трудностями при выборе карьеры, можно дать более эффективные рекомендации. Современные организации все чаще рассматриваются как открытые сложные адаптивные системы с фундаментальными естественными нелинейными структурами, подверженные внутренним и внешним силам, которые могут способствовать хаосу. Например, построение команды и развитие группы все чаще исследуются как по своей сути непредсказуемая система, поскольку неопределенность при первой встрече разных людей делает траекторию движения команды непознаваемой.

Некоторые говорят, что метафора хаоса, используемая в вербальных теориях, основана на математических моделях и психологических аспектах человеческого поведения.дает полезную информацию для описания сложности небольших рабочих групп, выходящую за рамки самой метафоры.

The red cars and blue cars take turns to move; the red ones only move upwards, and the blue ones move rightwards. Every time, all the cars of the same colour try to move one step if there is no car in front of it. Here, the model has self-organized in a somewhat geometric pattern where there are some traffic jams and some areas where cars can move at top speed.

Прогнозирование дорожного движения может выиграть от применения теории хаоса. Более точное предсказание того, когда произойдет затор, позволит принять меры по его разгону до того, как он возникнет. Сочетание принципов теории хаоса с несколькими другими методами привело к созданию более точной модели краткосрочного прогнозирования (см. график модели трафика BML справа).

Теория хаоса применялась к данным о водном цикле окружающей среды (также к гидрологическим данным), таким как количество осадков и речной сток. Эти исследования дали противоречивые результаты, поскольку методы обнаружения хаотичной сигнатуры зачастую относительно субъективны. Ранние исследования, как правило, «преуспевали» в обнаружении хаоса, тогда как последующие исследования и метаанализы ставили эти исследования под сомнение и давали объяснения, почему эти наборы данных вряд ли будут иметь низкоразмерную хаотическую динамику.

См. также

Примеры хаотических систем

• Адвектируемые контуры
• Карта кошек Арнольда
• Теория бифуркации
• Динамика прыгающего мяча
• Схема Чуа
• Клиодинамика
• Решетка связанных карт
• Двойной маятник
• Уравнение Даффинга
• Динамический бильярд
• Экономический пузырь
• Система Гаспара-Райса
• Карта Энона
• Карта подковы
• Список хаотичных карт
• Аттрактор Ресслера
• Стандартная карта
• Качающаяся машина Этвуда
• Наклонить вихрь

Другие связанные темы

• Амплитудная смерть
• Аносовский диффеоморфизм
• Теория катастроф
• Причинность
• Хаос как нарушение топологической суперсимметрии
• Машина хаоса
• Хаотическое смешивание
• Хаотическое рассеяние
• Контроль над хаосом
• Детерминизм
• Грань хаоса
• Появление
• Набор Мандельброта
• Теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера.
• Плохое кондиционирование
• некорректность
• Нелинейная система
• Узоры в природе
• Предсказуемость
• Квантовый хаос
• Институт Санта-Фе
• Лемма о затенении
• Синхронизация хаоса
• Непредвиденное последствие

Люди

• Ральф Абрахам
• Майкл Берри
• Леон О. Чуа
• Ивар Экеланд
• Дойн Фармер
• Мартин Гуцвиллер
• Бросль Хасслахер
• Мишель Энон
• Aleksandr Lyapunov
• Норман Паккард
• Отто Рёсслер
• Дэвид Рюэль
• Александр Николаевич Шарковский
• Роберт Шоу
• Флорис Такенс
• Джеймс А. Йорк
• Георгий Михайлович Заславский

Дальнейшее чтение

Статьи

• Шарковский А. Н. (1964). «Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя». Украинская математика. Дж . 16 : 61–71.
• Ли, Тайвань ; Йорк, Дж. А. (1975). «Третий период подразумевает хаос» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 82 (10): 985–92. Бибкод : 1975AmMM...82..985L . CiteSeerX   10.1.1.329.5038 . дои : 10.2307/2318254 . JSTOR   2318254 . Архивировано из оригинала (PDF) 29 декабря 2009 г. Проверено 12 августа 2009 г.
• Алемансур, Хамед; Миандоаб, Эхсан Маани; Пишкенари, Хоссейн Неджат (март 2017 г.). «Влияние размера на хаотическое поведение нанорезонаторов». Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании . 44 : 495–505. Бибкод : 2017CNSNS..44..495A . дои : 10.1016/j.cnsns.2016.09.010 .
• Кратчфилд ; Такер; Моррисон; Джей Ди Фармер ; Паккард ; Нью-Хэмпшир; Шоу ; РС (декабрь 1986 г.). "Хаос". Научный американец . 255 (6): 38–49 (библиография стр. 136). Бибкод : 1986SciAm.255d..38T . дои : 10.1038/scientificamerican1286-46 . Онлайн-версия (Примечание: объем и цитирование страниц онлайн-текста отличаются от цитируемых здесь. Цитата здесь взята из фотокопии, которая соответствует другим цитатам, найденным в Интернете, без просмотра статей. Онлайн-контент идентичен к печатному тексту. Варианты цитирования зависят от страны публикации).
• Коляда, С.Ф. (2004). «Чувствительность Ли-Йорка и другие концепции хаоса». Украинская математика. Дж . 56 (8): 1242–57. дои : 10.1007/s11253-005-0055-4 . S2CID   207251437 .
• Дэй, Р.Х.; Павлов О.В. (2004). «Вычисление экономического хаоса». Вычислительная экономика . 23 (4): 289–301. arXiv : 2211.02441 . doi : 10.1023/B:CSEM.0000026787.81469.1f . S2CID   119972392 . ССНР   806124 .
• Стрельев, К.; Хюблер, А. (2006). «Среднесрочное предсказание хаоса» (PDF) . Физ. Преподобный Летт . 96 (4): 044101. Бибкод : 2006PhRvL..96d4101S . doi : 10.1103/PhysRevLett.96.044101 . ПМИД   16486826 . 044101. Архивировано из оригинала (PDF) 26 апреля 2013 г.
• Хюблер, А.; Фостер, Г.; Фелпс, К. (2007). «Управление хаосом: нестандартное мышление» (PDF) . Сложность . 12 (3): 10–13. Бибкод : 2007Cmplx..12c..10H . дои : 10.1002/cplx.20159 . Архивировано из оригинала (PDF) 30 октября 2012 г. Проверено 17 июля 2011 г.
• Моттер, Адилсон Э.; Кэмпбелл, Дэвид К. (2013). «Хаос в 50». Физика сегодня . 66 (5): 27. arXiv : 1306.5777 . Бибкод : 2013ФТ....66е..27М . дои : 10.1063/PT.3.1977 . S2CID   54005470 .

Учебники

• Аллигуд, Коннектикут; Зауэр, Т.; Йорк, Дж.А. (1997). Хаос: введение в динамические системы . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-94677-1 .
• Бейкер, Г.Л. (1996). Хаос, рассеяние и статистическая механика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-39511-3 .
• Бадии, Р.; Полити А. (1997). Сложность: иерархические структуры и масштабирование в физике . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-66385-4 .
• Колле, Пьер; Экманн, Жан-Пьер (1980). Итерированные карты на интервале как динамические системы . Биркгаузер. ISBN  978-0-8176-4926-5 .
• Девани, Роберт Л. (2003). Введение в хаотические динамические системы (2-е изд.). Вествью Пресс. ISBN  978-0-8133-4085-2 .
• Робинсон, Кларк (1995). Динамические системы: стабильность, символическая динамика и хаос . ЦРК Пресс. ISBN  0-8493-8493-1 .
• Фельдман, Д.П. (2012). Хаос и фракталы: элементарное введение . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-956644-0 . Архивировано из оригинала 31 декабря 2019 г. Проверено 29 декабря 2016 г.
• Голлуб, JP; Бейкер, Г.Л. (1996). Хаотическая динамика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-47685-0 .
• Гукенхаймер, Джон ; Холмс, Филип (1983). Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-90819-9 .
• Гулик, Денни (1992). Встречи с Хаосом . МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-025203-5 .
• Гуцвиллер, Мартин (1990). Хаос в классической и квантовой механике . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-97173-5 .
• Гувер, Уильям Грэм (2001) [1999]. Обратимость времени, компьютерное моделирование и хаос . Всемирная научная. ISBN  978-981-02-4073-8 .
• Каутц, Ричард (2011). Хаос: наука о предсказуемом случайном движении . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-959458-0 .
• Киль, Л. Дуглас; Эллиотт, Юэл В. (1997). Теория хаоса в социальных науках . Издательство Персей. ISBN  978-0-472-08472-2 .
• Мун, Фрэнсис (1990). Хаотическая и фрактальная динамика . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-471-54571-2 .
• Орландо, Джузеппе ; Писарчик, Александр; Ступ, Руди (2021). Нелинейности в экономике . Динамическое моделирование и эконометрика в экономике и финансах. Том. 29. дои : 10.1007/978-3-030-70982-2 . ISBN  978-3-030-70981-5 . S2CID   239756912 .
• Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-01084-9 .
• Строгац, Стивен (2000). Нелинейная динамика и хаос . Издательство Персей. ISBN  978-0-7382-0453-6 .
• Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-850840-3 .
• Зима, Тамаш; Груис, Мартон (2006). Хаотическая динамика: Введение на основе классической механики . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-83912-9 .
• Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8328-0 .
• Томпсон Дж. М., Стюарт Х. Б. (2001). Нелинейная динамика и хаос . Джона Вили и Сыновей Лтд. ISBN  978-0-471-87645-8 .
• Туфилларо ; Рейли (1992). Экспериментальный подход к нелинейной динамике и хаосу . Американский журнал физики. Том. 61. Аддисон-Уэсли. п. 958. Бибкод : 1993AmJPh..61..958T . дои : 10.1119/1.17380 . ISBN  978-0-201-55441-0 .
• Виггинс, Стивен (2003). Введение в прикладные динамические системы и хаос . Спрингер. ISBN  978-0-387-00177-7 .
• Заславский, Джордж М. (2005). Гамильтонов хаос и дробная динамика . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-852604-9 .

Полутехнические и популярные произведения

• Кристоф Летелье , Хаос в природе , World Scientific Publishing Company, 2012, ISBN   978-981-4374-42-2 .
• Авраам, Ральф Х.; Уэда, Ёсисуке, ред. (2000). Авангард хаоса: воспоминания о первых днях теории хаоса . Всемирная научная серия по нелинейной науке. Серия A. Том. 39. Всемирный научный. Бибкод : 2000cagm.book.....A . дои : 10.1142/4510 . ISBN  978-981-238-647-2 .
• Барнсли, Майкл Ф. (2000). Фракталы повсюду . Морган Кауфманн. ISBN  978-0-12-079069-2 .
• Берд, Ричард Дж. (2003). Хаос и жизнь: сложность и порядок в эволюции и мышлении . Издательство Колумбийского университета. ISBN  978-0-231-12662-5 .
• Джон Бриггс и Дэвид Пит, Турбулентное зеркало: Иллюстрированное руководство по теории хаоса и науке о целостности , Harper Perennial 1990, 224 стр.
• Джон Бриггс и Дэвид Пит, Семь жизненных уроков хаоса: духовная мудрость науки перемен , Harper Perennial 2000, 224 стр.
• Каннингем, Лоуренс А. (1994). «От случайных блужданий к хаотическим крахам: линейная генеалогия гипотезы эффективного рынка капитала». Обзор права Джорджа Вашингтона . 62 : 546.
• Предраг Цвитанович , Универсальность в хаосе , Адам Хилгер, 1989, 648 стр.
• Леон Гласс и Майкл К. Макки, От часов к хаосу: ритмы жизни, Princeton University Press, 1988, 272 стр.
• Джеймс Глейк , Хаос: Создание новой науки , Нью-Йорк: Penguin, 1988. 368 стр.
• Джон Гриббин. Глубокая простота . Пингвин Пресс Сайенс. Книги о пингвинах.
• Л. Дуглас Кил, Юэл В. Эллиотт (редактор), Теория хаоса в социальных науках: основы и приложения , University of Michigan Press, 1997, 360 стр.
• Арвинд Кумар, Хаос, фракталы и самоорганизация; Новые взгляды на сложность природы , Национальный книжный фонд, 2003.
• Ханс Лауверье, Фракталы , Princeton University Press, 1991.
• Эдвард Лоренц , Сущность хаоса , Вашингтонский университет Press, 1996.
• Маршалл, Алан (2002). Единство природы – целостность и дезинтеграция в экологии и науке . дои : 10.1142/9781860949548 . ISBN  9781860949548 .
• Дэвид Пик и Майкл Фрейм, Хаос под контролем: искусство и наука о сложности , Фриман, 1994.
• Хайнц-Отто Пейтген и Дитмар Саупе (ред.), «Наука фрактальных изображений» , Springer 1988, 312 стр.
• Нурия Перпинья , Хаос, вирус, спокойствие. Теория хаоса в применении к художественным, социальным и политическим беспорядкам , Páginas de Espuma, 2021.
• Клиффорд А. Пиковер , Компьютеры, узор, хаос и красота: графика из невидимого мира , Сент-Мартинс, 1991.
• Клиффорд А. Пиковер , Хаос в стране чудес: визуальные приключения во фрактальном мире , Сент-Мартинс, 1994.
• Илья Пригожин и Изабель Стенгерс , «Порядок из хаоса» , Bantam, 1984.
• Пейтген, Хайнц-Отто; Рихтер, Питер Х. (1986). Красота фракталов . дои : 10.1007/978-3-642-61717-1 . ISBN  978-3-642-61719-5 .
• Дэвид Рюэль , Случайность и хаос , Princeton University Press, 1993.
• Иварс Петерсон , Часы Ньютона: Хаос в Солнечной системе , Фримен, 1993.
• Ян Роулстон; Джон Норбери (2013). Невидимый во время шторма: роль математики в понимании погоды . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0691152721 .
• Рюэль, Д. (1989). Хаотическая эволюция и странные аттракторы . дои : 10.1017/CBO9780511608773 . ISBN  9780521362726 .
• Манфред Шредер, Фракталы, хаос и степенные законы , Фриман, 1991.
• Смит, Питер (1998). Объяснение хаоса . дои : 10.1017/CBO9780511554544 . ISBN  9780511554544 .
• Ян Стюарт , Играет ли Бог в кости?: Математика хаоса , Blackwell Publishers, 1990.
• Стивен Строгац , Синхронизация: новая наука о спонтанном порядке , Гиперион, 2003.
• Ёсисуке Уэда, Дорога к хаосу , Aerial Pr, 1993.
• М. Митчелл Уолдроп, Сложность: новая наука на грани порядка и хаоса , Simon & Schuster, 1992.
• Антонио Савайя, Анализ финансовых временных рядов: подход хаоса и нейродинамики , Ламберт, 2012.

Внешние ссылки

• «Хаос» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Группа исследования нелинейной динамики с анимацией во Flash
• Группа Хаос в Университете Мэриленда
• Гиперучебник Хаоса . Вводный курс по хаосу и фракталам
• ChaosBook.org Продвинутый учебник по хаосу (без фракталов) для выпускников.
• Общество теории хаоса в психологии и науках о жизни
• Группа исследования нелинейной динамики CSDC , Флоренция , Италия
• Нелинейная динамика: как наука постигает хаос , доклад Санни Ауян, 1998 г.
• Нелинейная динамика . Модели бифуркации и хаоса Элмера Г. Винса
• Глейка Хаос (отрывок). Архивировано 2 февраля 2007 г. в Wayback Machine.
• Группа системного анализа, моделирования и прогнозирования Оксфордского университета
• Страница об уравнении Макки-Гласса
• Высокие тревоги - Математика хаоса (2008), документальный фильм BBC, режиссер Дэвид Мэлоун
• Теория эволюции хаоса - статья, опубликованная в журнале Newscientist, показывающая сходство эволюции и нелинейных систем, включая фрактальную природу жизни и хаоса.
• Хос Лейс, Этьен Гис и Орельен Альварес, Хаос, математическое приключение . Девять фильмов о динамических системах, эффекте бабочки и теории хаоса, рассчитанные на широкую аудиторию.
• «Теория хаоса» , дискуссия на BBC Radio 4 со Сьюзен Гринфилд, Дэвидом Папино и Нилом Джонсоном ( «В наше время» , 16 мая 2002 г.)
• Хаос: наука об эффекте бабочки (2019), объяснение, представленное Дереком Мюллером

Примечание об авторских правах

• В эту статью включен текст из бесплатного контента . Лицензия CC-BY ( лицензионное заявление/разрешение ). Текст взят из книги «Три вида эффектов бабочки в моделях Лоренца» , Бо-Вэнь Шен, Роджер А. Пилке-старший, Сюбин Цзэн, Цзялин Цуй, Сара Фаги-Наини, Вэй Паксон и Роберт Атлас, MDPI. Энциклопедия.