Количественный анализ рецидивов

Количественный рекуррентный анализ ( RQA ) — метод нелинейного анализа данных (ср. теория хаоса ) для исследования динамических систем . Он количественно определяет количество и продолжительность повторений динамической системы, представленной ее траекторией в фазовом пространстве .

Фон

Количественный анализ рецидивов (RQA) был разработан для количественной оценки по-разному появляющихся графиков рецидивов (RP), основанных на их мелкомасштабных структурах. Графики рекуррентности - это инструменты, которые визуализируют рекуррентное поведение фазового пространства . траектории ${\vec {x}}(i)$ динамических систем :

{R}(i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|)

,

где $\Theta :\mathbf {R} \rightarrow \{0,1\}$ – функция Хевисайда и $\varepsilon$ заранее заданная толерантность.

Графики повторяемости в основном содержат одиночные точки и линии, параллельные средней диагонали ( линия идентичности , LOI) или вертикальные/горизонтальные. Линии, параллельные LOI, называются диагональными линиями , а вертикальные структуры — вертикальными линиями . Поскольку РП обычно симметрична, горизонтальные и вертикальные линии соответствуют друг другу, следовательно, рассматриваются только вертикальные линии. Линии соответствуют типичному поведению траектории фазового пространства: тогда как диагональные линии представляют такие сегменты траектории фазового пространства, которые в течение некоторого времени идут параллельно, вертикальные линии представляют собой сегменты, которые остаются в одной и той же области фазового пространства в течение некоторого времени.

Если только временной ряд доступен , фазовое пространство можно восстановить с помощью внедрения временной задержки (см. теорему Такенса ):

{\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),

где $u(i)$ это временной ряд, $m$ размерность вложения и $\tau$ временная задержка.

RQA количественно определяет мелкомасштабные структуры повторяющихся графиков, которые представляют количество и продолжительность повторений динамической системы. Меры, введенные для RQA, были разработаны эвристически в период с 1992 по 2002 год (Збилут и Уэббер, 1992; Уэббер и Збилут, 1994; Марван и др., 2002). На самом деле они являются мерами сложности . Основное преимущество количественного анализа повторяемости состоит в том, что он может предоставить полезную информацию даже для коротких и нестационарных данных, когда другие методы неэффективны.

RQA можно применять практически к любому виду данных. Он широко используется в физиологии , но также успешно применяется при решении задач техники , химии , наук о Земле и т. д.

Меры RQA

Простейшей мерой является частота повторений , которая представляет собой плотность точек повторения на графике повторяемости:

{\text{RR}}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}{R}(i,j).

Частота повторения соответствует вероятности повторения определенного состояния. Оно практически совпадает с определением корреляционной суммы , где LOI исключается из вычислений.

Следующей мерой является процент точек повторения, которые образуют диагональные линии на графике повторяемости минимальной длины. $\ell _{\min }$ :

{\text{DET}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =1}^{N}\ell P(\ell )}},

где $P(\ell )$ — частотное распределение длин $\ell$ диагональных линий (т. е. он подсчитывает, сколько экземпляров имеют длину $\ell$ ). Эта мера называется детерминизмом и связана с предсказуемостью динамической системы , поскольку белый шум имеет повторяющийся график почти только с одиночными точками и очень небольшим количеством диагональных линий, тогда как детерминированный процесс имеет повторяющийся график с очень небольшим количеством одиночных точек, но с множеством длинных диагональные линии.

Количество точек повторения, образующих вертикальные линии, можно определить количественно таким же образом:

{\text{LAM}}={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=1}^{N}vP(v)}},

где $P(v)$ — частотное распределение длин $v$ вертикальных линий, длина которых не менее $v_{\min }$ . Эта мера называется ламинарностью и связана с количеством ламинарных фаз в системе ( перемежаемость ).

Также можно измерить длину диагональных и вертикальных линий. Усредненная длина диагональной линии

{\text{L}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}P(\ell )}}

связано со временем прогнозирования динамической системыи время захвата , измеряя среднюю длинувертикальных линий,

TT={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=v_{\min }}^{N}P(v)}}

связано со временем ламинарности динамической системы, т.е. с тем, как долго система остается в определенном состоянии.

Поскольку длина диагональных линий зависит от того, насколько длинные сегменты траектории фазового пространства проходят параллельно, т.е. от поведения расхождения траекторий, иногда утверждалось, что обратная максимальная длина диагональных линий (без LOI ) будет оценкой положительного максимального показателя Ляпунова динамической системы. Следовательно, максимальная длина диагонали $L_{\max }$ или расхождение

DIV={\frac {1}{L_{\max }}}

также являются мерами RQA. Однако связь этих мер с положительным максимальным показателем Ляпунова не так проста, как утверждается, а даже более сложна (для расчета показателя Ляпунова по РП необходимо учитывать все частотное распределение диагональных линий). Расхождение может иметь тенденцию положительного максимального показателя Ляпунова, но не более. Более того, ДП процессов белого шума также могут иметь действительно длинную диагональную линию, хотя и очень редко, с конечной вероятностью. Следовательно, расхождение не может отражать максимальный показатель Ляпунова.

Вероятность $p(\ell )$ что диагональная линия имеет ровно длину $\ell$ можно оценить по частотному распределению $P(\ell )$ с $p(\ell )={\frac {P(\ell )}{\sum _{\ell =l_{\min }}^{N}P(\ell )}}$ . Энтропия Шеннона этой вероятности,

{\text{ENTR}}=-\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}p(\ell )\ln p(\ell ),

отражает сложность детерминированной структуры системы. Однако эта энтропия сильно зависит от номера интервала и, таким образом, может различаться для разных реализаций одного и того же процесса, а также для разной подготовки данных.

Последняя мера RQA количественно определяет прореживание графика повторяемости. Тренд представляет собой коэффициент регрессии линейной зависимости между плотностью точек повторения на линии, параллельной LOI, и ее расстоянием до LOI. Точнее, рассмотрим частоту повторения по диагональной линии, параллельной LOI на расстоянии k ( частота повторения по диагонали или частота τ-повторения ):

{\text{RR}}_{k}={\frac {1}{N-k}}\sum _{j-i=k}^{N-k}{R}(i,j),

тогда тренд определяется

{\text{TREND}}={\frac {\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)(RR_{i}-\langle RR_{i}\rangle )}{\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)^{2}}},

с $\langle \cdot \rangle$ как среднее значение и ${\tilde {N}}<N$ . Последнее соотношение должно гарантировать отсутствие краевых эффектов слишком низкой плотности точек повторения на краях графика повторения. измерения Тенденция предоставляет информацию о стационарности системы.

Подобно $\tau$ -частота рецидивов, другие меры, основанные на диагональных линиях (DET, L, ENTR), могут быть определены по диагонали. Эти определения полезны для изучения взаимосвязей или синхронизации между различными системами (с использованием рекуррентных графиков или перекрестных рекуррентных графиков ).

Зависящий от времени RQA

Вместо вычисления показателей RQA всего рекуррентного графика их можно вычислить в небольших окнах, перемещающихся по рекуррентному графику вдоль LOI. Это обеспечивает зависящие от времени меры RQA, которые позволяют обнаруживать, например, переходы хаос-хаос (Marwan et al. 2002). Примечание: выбор размера окна может сильно повлиять на тенденцию измерения .

Пример

См. также

График повторения — мощный инструмент визуализации повторений в динамических (и других) системах.
Энтропия плотности периода повторения — теоретико-информационный метод для обобщения рекуррентных свойств как детерминированных, так и стохастических динамических систем.
Приблизительная энтропия

Дальнейшее чтение

Марван, Н. (2008). «Исторический обзор графиков повторяемости» . Европейский физический журнал ST . 164 (1): 3–12. arXiv : 1709.09971 . Бибкод : 2008EPJST.164....3M . doi : 10.1140/epjst/e2008-00829-1 . S2CID 119494395 .
Марван Н., Романо М.К., Тиль М., Куртс Дж. (2007). «Графики повторяемости для анализа сложных систем». Отчеты по физике . 438 (5–6): 237–329. Бибкод : 2007ФР...438..237М . дои : 10.1016/j.physrep.2006.11.001 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Марван Н., Вессель Н., Мейерфельдт У., Ширдеван А., Куртс Дж. (2002). «Меры сложности на основе рекуррентного графика и его применение к данным о вариабельности сердечного ритма». Физический обзор E . 66 (2): 026702. arXiv : физика/0201064 . Бибкод : 2002PhRvE..66b6702M . дои : 10.1103/PhysRevE.66.026702 . ПМИД 12241313 . S2CID 14803032 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Марван Н., Куртс Дж. (2002). «Нелинейный анализ двумерных данных с графиками перекрестной повторяемости». Буквы по физике А. 302 (5–6): 299–307. arXiv : физика/0201061 . Бибкод : 2002PhLA..302..299M . дои : 10.1016/S0375-9601(02)01170-2 . S2CID 8020903 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Уэббер-младший, CL, Збилут, JP (1994). «Динамическая оценка физиологических систем и состояний с использованием стратегий рекуррентных графиков». Журнал прикладной физиологии . 76 (2): 965–973. дои : 10.1152/яп.1994.76.2.965 . ПМИД 8175612 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Збилут, Дж. П., Уэббер-младший, К. Л. (1992). «Вложения и задержки, полученные на основе количественной оценки графиков повторяемости». Буквы по физике А. 171 (3–4): 199–203. Бибкод : 1992PhLA..171..199Z . дои : 10.1016/0375-9601(92)90426-М . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Пратьяса Бхуи; Ниланджан Сенрой (2016). «Применение количественного анализа повторяемости к динамическим исследованиям энергосистем». Транзакции IEEE в энергосистемах . 31 (1): 581–591. Бибкод : 2016ITPSy..31..581B . дои : 10.1109/TPWRS.2015.2407894 . S2CID 19049274 . Номер бумаги. ТПВРС-01211-2014
Жиро, Ж.-М. (2015). «Повторяемость и симметрия временных рядов: применение для обнаружения переходов» (PDF) . Хаос, солитоны и фракталы . 77 : 11–28. Бибкод : 2015CSF....77...11G . дои : 10.1016/j.chaos.2015.04.010 .

Внешние ссылки

http://www.recurrence-plot.tk/