Энтропия плотности периода повторения

Энтропия плотности периода повторения ( RPDE ) — это метод в области динамических систем , случайных процессов и анализа временных рядов , предназначенный для определения периодичности или повторяемости сигнала.

Обзор

Энтропия плотности периода повторения полезна для характеристики степени, в которой временной ряд повторяет одну и ту же последовательность, и, следовательно, аналогична линейной автокорреляции и взаимной информации с задержкой во времени , за исключением того, что она измеряет повторяемость в фазовом пространстве системы и, таким образом, является более надежная мера, основанная на динамике базовой системы, сгенерировавшей сигнал. Его преимущество состоит в том, что он не требует предположений о линейности , гауссовости или динамическом детерминизме. Его успешно использовали для обнаружения аномалий в биомедицинском контексте, таких как речевой сигнал.

Значение RPDE $\scriptstyle H_{\mathrm {norm} }$ является скаляром в диапазоне от нуля до единицы. Для чисто периодических сигналов $\scriptstyle H_{\mathrm {norm} }=0$, тогда как для чисто iid равномерный белый шум $\scriptstyle H_{\mathrm {norm} }\approx 1$.

Как RPDE ранжирует сигналы по их периодичности в фазовом пространстве. Маленькие панели представляют собой изображения временных рядов, а крупный масштаб посередине — значение RPDE. Видно, что чисто периодические сигналы, независимо от содержания гармоник в спектральном смысле, имеют значение RPDE, равное нулю. Случайно-вынужденные периодические колебания имеют более высокое значение, за ними следуют хаотические системы, случайно-вынужденные линейные резонаторы, автокоррелированные случайные процессы и, в крайнем случае, однородный случайный шум имеет значение RPDE, близкое к единице.

Описание метода

Метод RPDE сначала требует встраивания временного ряда в фазовое пространство , что, согласно стохастическим расширениям теорем вложения Такена, может быть осуществлено путем формирования векторов с запаздыванием:

$\mathbf {X} _{n}=[x_{n},x_{n+\tau },x_{n+2\tau },\ldots ,x_{n+(M-1)\tau }]$

для каждого значения x _n во временном ряду, где M — размерность внедрения , а τ — задержка внедрения. Эти параметры получаются путем систематического поиска оптимального набора (из-за отсутствия практических методов внедрения параметров для стохастических систем) (Старк и др., 2003). Далее вокруг каждой точки $\scriptstyle \mathbf {X} _{n}$ в фазовом пространстве $\varepsilon$-окрестность ( m -мерный шар с этим радиусом) формируется, и каждый раз, когда временной ряд возвращается в этот шар, после выхода из него, разница во времени Т между последовательными возвращениями фиксируется в гистограмме . Эта гистограмма нормируется, чтобы сумма была равна единице, чтобы сформировать оценку плотности периода повторения функции P ( T ). Нормализованная энтропия этой плотности:

$H_{\mathrm {norm} }=-(\ln {T_{\max })}^{-1}\sum _{t=1}^{T_{\max }}P(t)\ln {P(t)}$

— значение RPDE, где $\scriptstyle T_{\max }$ — это наибольшее значение повторяемости (обычно порядка 1000 выборок). Обратите внимание, что RPDE предназначен для применения как к детерминированным, так и к стохастическим сигналам, поэтому, строго говоря, исходная теорема вложения Такена неприменима и нуждается в некоторой модификации.

Графическое описание расчетов, необходимых для нахождения значения RPDE. Во-первых, временной ряд представляет собой временную задержку, встроенную в реконструированное фазовое пространство. Затем вокруг каждой точки во вложенном фазовом пространстве возникает рекуррентная окрестность радиуса $\scriptstyle \varepsilon$ создан. Все повторения в этой окрестности отслеживаются, а временной интервал T между повторениями записывается на гистограмме. Эта гистограмма нормализуется для создания оценки функции плотности периода повторения P ( T ). Нормализованная энтропия этой плотности - это значение RPDE. $\scriptstyle H_{\mathrm {norm} }$.

РПДЭ на практике

RPDE обладает способностью обнаруживать тонкие изменения в естественных биологических временных рядах, такие как нарушение регулярных периодических колебаний при аномальной сердечной функции, которые трудно обнаружить с помощью классических инструментов обработки сигналов, таких как преобразование Фурье или линейное предсказание . Плотность периода повторения представляет собой разреженное представление для нелинейных, негауссовских и недетерминированных сигналов, тогда как преобразование Фурье является разреженным только для чисто периодических сигналов.

значения RPDE $H_{norm}$ для ЭКГ с нормальным синусовым ритмом и для ЭКГ пациента с апноэ во сне. Временные ряды (графики с синими линиями) и спектры (графики с черными линиями) относительно трудно различить, тем не менее, значения RPDE достаточно различаются, поэтому обнаружение аномалии не составляет труда.

См. также

• График повторений — мощный инструмент визуализации повторений в динамических (и других) системах.
• Количественный анализ повторяемости , еще один подход к количественной оценке свойств повторяемости.

Внешние ссылки

• Быстрый код MATLAB для расчета значения RPDE.
• http://www.recurrence-plot.tk/