График повторения

В описательной статистике и теории хаоса график повторения ( RP ) — это график, показывающий для каждого момента $i$ во времени – это моменты времени, в которые состояние динамической системы возвращается в предыдущее состояние в момент $i$,т. е. когда траектория фазового пространства посещает примерно ту же область фазового пространства, что и в момент времени $j$. Другими словами, это сюжет

${\vec {x}}(i)\approx {\vec {x}}(j),$

показывая $i$ по горизонтальной оси и $j$ по вертикальной оси, где ${\vec {x}}$ — состояние системы (или ее траектория в фазовом пространстве).

Предыстория

Естественные процессы могут иметь отчетливое повторяющееся поведение, например, периодичность (как сезонные циклы или циклы Миланковича ), а также нерегулярную цикличность (как Эль-Ниньо, южное колебание, интервалы сердцебиения). Более того, повторяемость состояний, в том смысле, что состояния снова становятся сколь угодно близкими после некоторого времени расхождения , является фундаментальным свойством детерминированных динамических систем и типична для нелинейных или хаотических систем (ср. Теорему о возврате Пуанкаре ). Повторяемость состояний в природе известна давно и обсуждалась также в ранних работах (например, Анри Пуанкаре, 1890).

Подробное описание

Одним из способов визуализировать повторяющуюся природу состояний по их траектории через фазовое пространство является график рекуррентности, представленный Экманном и др. (1987). Часто фазовое пространство не имеет достаточно низкого измерения (два или три), чтобы его можно было изобразить, поскольку фазовые пространства более высокой размерности можно визуализировать только путем проекции на двух- или трехмерные подпространства. Однако построение рекуррентного графика позволяет нам исследовать некоторые аспекты траектории m -мерного фазового пространства через двумерное представление.

При повторении траектория возвращается в то место (состояние) в фазовом пространстве, которое она посещала ранее, с точностью до небольшой ошибки. $\varepsilon$ . График повторений представляет собой совокупность пар таких повторений, т. е. набор $(i,j)$ с ${\vec {x}}(i)\approx {\vec {x}}(j)$, с $i$ и $j$ дискретные моменты времени и ${\vec {x}}(i$ состояние системы в данный момент $i$ (местоположение траектории во времени $i$). Математически это можно выразить двоичной матрицей рекуррентности.

$R(i,j)={\begin{cases}1&{\text{if}}\quad \|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|\leq \varepsilon \\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}$

где $\|\cdot \|$ это норма и $\varepsilon$ порог рецидива. График повторения визуализирует $\mathbf {R}$ с цветной (чаще черной) точкой по координатам $(i,j)$ если $R(i,j)=1$, со временем в $x$- и $y$-оси.

Если только временной ряд доступен , фазовое пространство можно восстановить, например, с помощью вложения временной задержки (см. Теорему Такенса ):

${\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),$

где $u(i)$ это временной ряд, $m$ размерность вложения и $\tau$ временная задержка. Реконструкция фазового пространства не является существенной частью рекуррентного графика (хотя часто упоминается в литературе), поскольку она основана на траекториях фазового пространства, которые могут быть получены непосредственно из переменных системы (например, из трех переменных системы Лоренца ).

Визуальный вид графика повторяемости дает подсказки о динамике системы. Из-за характерного поведения траектории в фазовом пространстве рекуррентный график содержит типичные мелкомасштабные структуры, такие как одиночные точки, диагональные линии и вертикальные/горизонтальные линии (или смесь последних, которая объединяется в расширенные кластеры). Крупномасштабную структуру, также называемую текстурой , можно визуально охарактеризовать как однородную , периодическую , дрейфовую или нарушенную . Например, график может показать, является ли траектория строго периодической с периодом $T$, то все такие пары времен будут разделены кратным $T$ и видны как диагональные линии.

Типичные примеры графиков повторяемости (верхний ряд: временные ряды (построенные с течением времени); нижний ряд: соответствующие графики повторяемости). Слева направо: некоррелированные стохастические данные ( белый шум ), гармонические колебания с двумя частотами, хаотические данные ( логистическая карта ) с линейным трендом и данные авторегрессионного процесса .

Мелкомасштабные структуры в RP используются при количественном анализе рецидивов (Zbilut & Webber 1992; Marwan et al. 2002). Эта количественная оценка позволяет нам количественно описывать RP и изучать переходы или нелинейные параметры системы. В отличие от эвристического подхода к количественному анализу повторяемости, который зависит от выбора параметров внедрения, некоторые динамические инварианты, такие как корреляционная размерность , энтропия K2 или взаимная информация , которые не зависят от внедрения, также могут быть получены из рекуррентных графиков. Основой этих динамических инвариантов являются частота повторения и распределение длин диагональных линий.

Графики близких доходностей аналогичны графикам повторения. Разница в том, что относительное время между повторениями используется для $y$-ось (вместо абсолютного времени).

Основное преимущество графиков повторяемости заключается в том, что они предоставляют полезную информацию даже для коротких и нестационарных данных, когда другие методы неэффективны.

Расширения

Многомерные расширения графиков повторения были разработаны в виде графиков перекрестного повторения и графиков совместного повторения .

Графики перекрестной рекуррентности рассматривают траектории фазового пространства двух разных систем в одном и том же фазовом пространстве (Марван и Куртс, 2002):

$\mathbf {CR} (i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i),\,{\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad i=1,\dots ,N_{x},\ j=1,\dots ,N_{y}.$

Размерность обеих систем должна быть одинаковой, но количество рассматриваемых состояний (т.е. длина данных) может быть разным. Графики перекрестной повторяемости сравнивают возникновение подобных состояний двух систем. Их можно использовать для анализа сходства динамической эволюции между двумя разными системами, для поиска аналогичных закономерностей совпадения в двух системах или для изучения временных отношений двух подобных систем, временные шкалы которых различаются (Марван и Куртс 2005).

Совместные рекуррентные графики представляют собой произведение Адамара рекуррентных графиков рассматриваемых подсистем (Романо и др., 2004), например, для двух систем. ${\vec {x}}$ и ${\vec {y}}$ совместный график повторения

$\mathbf {JR} (i,j)=\Theta (\varepsilon _{x}-\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|)\cdot \Theta (\varepsilon _{y}-\|{\vec {y}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad {\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{n},\quad i,j=1,\dots ,N_{x,y}.$

В отличие от графиков перекрестной повторяемости, графики совместной повторяемости сравнивают одновременное возникновение рецидивов в двух (или более) системах. При этом размерность рассматриваемых фазовых пространств может быть разной, но количество рассматриваемых состояний должно быть одинаковым для всех подсистем. Совместные рекуррентные графики могут использоваться для обнаружения фазовой синхронизации .

Пример

Рекуррентный график индекса Южного колебания .

См. также

• сюжет Пуанкаре
• Энтропия плотности периода повторения — теоретико-информационный метод для обобщения рекуррентных свойств как детерминированных, так и стохастических динамических систем.
• Количественный анализ повторяемости — эвристический подход к количественной оценке графиков повторяемости.
• Матрица самоподобия
• Точечный график (биоинформатика)

Ссылки

• Дж. П. Экманн, С. О. Камфорст, Д. Рюэль (1987). «Графики рекуррентности динамических систем». Письма по еврофизике . 5 (9): 973–977. Бибкод : 1987EL......4..973E . дои : 10.1209/0295-5075/4/9/004 . S2CID   250847435 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Н. Марван; МС Романо; М. Тиль; Дж. Куртс (2007). «Графики повторяемости для анализа сложных систем». Отчеты по физике . 438 (5–6): 237. Бибкод : 2007PhR...438..237M . дои : 10.1016/j.physrep.2006.11.001 .
• Н. Марван (2008). «Исторический обзор повторяющихся сюжетов» . Европейский физический журнал ST . 164 (1): 3–12. arXiv : 1709.09971 . Бибкод : 2008EPJST.164....3M . doi : 10.1140/epjst/e2008-00829-1 . S2CID   119494395 .

Внешние ссылки

• График повторения