Теорема Пуанкаре о возврате

«Время повторения» перенаправляется сюда. О концепции эргодической теории см. Эргодическая теория § Время пребывания .

В математике и физике утверждает теорема о возврате Пуанкаре , что определенные динамические системы через достаточно долгое, но конечное время вернутся в состояние, сколь угодно близкое к (для систем с непрерывным состоянием) или точно такое же, как (для систем с дискретными состояниями), их исходное состояние.

— Время повторения Пуанкаре это время, прошедшее до повторения. Это время может сильно варьироваться в зависимости от точного исходного состояния и необходимой степени близости. Результат применим к изолированным механическим системам, подчиняющимся некоторым ограничениям, например, все частицы должны быть связаны с конечным объемом. Теорема обычно обсуждается в контексте эргодической теории , динамических систем и статистической механики . Системы, к которым применима теорема возврата Пуанкаре, называются консервативными системами .

Теорема названа в честь Анри Пуанкаре , обсудившего ее в 1890 году. Доказательство было представлено Константином Каратеодори с использованием теории меры в 1919 году.

Точная формулировка

Любая динамическая система , определяемая обыкновенным дифференциальным уравнением, определяет карту потока f  ^т отображение фазового пространства на себя. Система называется сохраняющей объем, если объем множества в фазовом пространстве инвариантен относительно потока. Например, все гамильтоновы системы сохраняют объем в силу теоремы Лиувилля . Тогда теорема такова: если поток сохраняет объем и имеет только ограниченные орбиты, то для каждого открытого множества любая орбита, пересекающая это открытое множество, пересекает его бесконечно часто.

Обсуждение доказательства

Доказательство, говоря качественно, опирается на две предпосылки:

1. Для общего потенциально доступного объема фазового пространства может быть установлена ​​конечная верхняя граница. Для механической системы эту границу можно обеспечить, потребовав, чтобы система содержалась в ограниченной физической области пространства (так, чтобы она не могла, например, выбрасывать частицы, которые никогда не возвращаются) – в сочетании с сохранением энергии это блокирует систему в конечную область фазового пространства .
2. Фазовый объем конечного элемента при динамике сохраняется (для механической системы это обеспечивается теоремой Лиувилля ).

Представьте себе любой конечный стартовый объем $D_{1}$ фазового пространства и проследить его путь в динамике системы. Объем развивается через «фазовую трубку» в фазовом пространстве, сохраняя свой размер постоянным. Предполагая конечное фазовое пространство, после некоторого числа шагов $k_{1}$ фазовая трубка должна пересечь сама себя. Это означает, что по крайней мере конечная дробь $R_{1}$ начального объема повторяется. Теперь рассмотрим размер невозвратной части. $D_{2}$ стартового фазового объема – та часть, которая никогда не возвращается к исходному объему. Используя принцип, только что обсужденный в последнем абзаце, мы знаем, что если невозвратная часть конечна, то конечная часть $R_{2}$ часть его должна вернуться после $k_{2}$ шаги. Но это было бы противоречием, поскольку в ряде случаев $k_{3}=$лкм $(k_{1},k_{2})$ шага, оба $R_{1}$ и $R_{2}$ вернется, вопреки гипотезе, что только $R_{1}$ был. Таким образом, невозвратная часть стартового объема не может быть пустым множеством, т.е. $D_{1}$ повторяется после некоторого количества шагов.

Теорема не комментирует некоторые аспекты повторяемости, которые не может гарантировать это доказательство:

• Могут быть некоторые особые фазы, которые никогда не возвращаются к исходному фазовому объему или которые возвращаются к исходному объему только конечное число раз, а затем никогда не возвращаются снова. Однако они чрезвычайно «редки» и составляют бесконечно малую часть любого стартового тома.
• Не все части фазового объема должны возвращаться одновременно. Некоторые «пропустят» стартовый объем при первом проходе только для того, чтобы вернуться позже.
• Ничто не мешает фазовой трубке полностью вернуться к исходному объему до того, как будет исчерпан весь возможный фазовый объем. Тривиальным примером этого является гармонический осциллятор . Системы, охватывающие весь доступный фазовый объем, называются эргодическими (это, конечно, зависит от определения «доступного объема»).
• Что можно сказать, так это то, что для «почти любой» начальной фазы система в конечном итоге вернется сколь угодно близко к этой начальной фазе. Время повторения зависит от необходимой степени близости (размера фазового объема). Чтобы добиться большей точности рекурсии, нам нужно взять меньший начальный объем, а это означает большее время рекурсии.
• Для данной фазы в объеме повторение не обязательно является периодическим. Второе время повторения не обязательно должно быть вдвое больше первого времени повторения.

Официальное заявление

Позволять

$(X,\Sigma ,\mu )$

с конечной — пространство мерой и пусть

$f\colon X\to X$

быть преобразованием, сохраняющим меру . Ниже приведены два альтернативных утверждения теоремы.

Теорема 1

Для любого $E\in \Sigma$, множество этих точек $x$ из $E$ для которого существует $N\in \mathbb {N}$ такой, что $f^{n}(x)\notin E$ для всех $n>N$ имеет нулевую меру.

Другими словами, почти каждая точка $E$ возвращается в $E$. Фактически, почти каждая точка возвращается бесконечно часто; т.е.

$\mu \left(\{x\in E:{\text{ there exists }}N{\text{ such that }}f^{n}(x)\notin E{\text{ for all }}n>N\}\right)=0.$

Теорема 2

Ниже приводится топологическая версия этой теоремы:

Если $X$ является вторым счетным пространством Хаусдорфа и $\Sigma$ содержит борелевскую сигма-алгебру , то множество рекуррентных точек $f$ имеет полную меру. То есть почти каждая точка повторяется.

В более общем смысле теорема применима к консервативным системам , а не только к динамическим системам, сохраняющим меру. Грубо говоря, можно сказать, что консервативные системы — это именно те, к которым применима теорема о возвратности.

Квантово-механическая версия

Для независимых от времени квантово-механических систем с дискретными собственными энергетическими состояниями справедлива аналогичная теорема. Для каждого $\varepsilon >0$ и $T_{0}>0$ существует время T большее, чем $T_{0}$, такой, что $||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |<\varepsilon$, где $|\psi (t)\rangle$ обозначает вектор состояния системы в момент времени t .

Существенные элементы доказательства состоят в следующем. Система развивается во времени согласно:

$|\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\exp(-iE_{n}t)|\phi _{n}\rangle$

где $E_{n}$ — собственные значения энергии (мы используем натуральные единицы, поэтому $\hbar =1$ ), и $|\phi _{n}\rangle$ энергетическими являются собственными состояниями . Квадрат нормы разности вектора состояния во времени $T$ и время ноль, можно записать как:

$||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]$

Мы можем усечь суммирование в некотором n = N , независимом от T , потому что

$\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}$

которое можно сделать сколь угодно малым, увеличивая N , поскольку суммирование $\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}$, являющийся квадратом нормы исходного состояния, сходится к 1.

Конечная сумма

$\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]$

можно сделать сколь угодно малым для конкретного выбора времени T согласно следующей конструкции. Выберите произвольный $\delta >0$, а затем выберите T так, чтобы существовали целые числа $k_{n}$ это удовлетворяет

$|E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta$,

для всех номеров $0\leq n\leq N$. Для этого конкретного выбора T ,

$1-\cos(E_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.$

Таким образом, мы имеем:

$2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}$.

Вектор состояния $|\psi (T)\rangle$ таким образом, возвращается сколь угодно близко к исходному состоянию $|\psi (0)\rangle$.

См. также

• Карта кошек Арнольда
• Эргодическая гипотеза
• Квантовое возрождение
• Энтропия плотности периода повторения
• График повторения
• Блуждающий набор

Дальнейшее чтение

• Пейдж, Дон Н. (25 ноября 1994 г.). «Потеря информации в черных дырах и/или сознательных существах?». arXiv : hep-th/9411193 .

Внешние ссылки

• Падилья, Тони. «Самое долгое время» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 27 ноября 2013 г. Проверено 08 апреля 2013 г. Последняя версия оригинального сайта.
• «Карта кошки Арнольда: интерактивная графическая иллюстрация теоремы Пуанкаре о возврате» .

Эта статья включает в себя материал из теоремы о возврате Пуанкаре на платформе PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .