Набор Бореля

В математике борелевское множество — это любое множество в топологическом пространстве , которое может быть сформировано из открытых множеств (или, что то же самое, из закрытых множеств ) посредством операций счетного объединения , счетного пересечения и относительного дополнения . Множества Бореля названы в честь Эмиля Бореля .

Для топологического пространства X совокупность всех борелевских множеств на X образует σ-алгебру , известную как борелевская алгебра или борелевская σ-алгебра . Алгебра Бореля на X — это наименьшая σ-алгебра, содержащая все открытые множества (или, что то же самое, все замкнутые множества).

Борелевские множества важны в теории меры , поскольку любая мера, определенная на открытых или замкнутых множествах пространства, должна также быть определена на всех борелевских множествах этого пространства. Любая мера, определенная на борелевских множествах, называется борелевской мерой . Борелевские множества и связанная с ними борелевская иерархия также играют фундаментальную роль в дескриптивной теории множеств .

В некоторых контекстах борелевские множества определяются как порожденные компактами топологического пространства, а не открытыми множествами. Эти два определения эквивалентны для многих пространств с хорошим поведением , включая все хаусдорфовы σ-компактные пространства , но могут отличаться в более патологических пространствах.

Генерация борелевской алгебры

В случае, когда X — метрическое пространство , алгебра Бореля в первом смысле может быть описана генеративно следующим образом.

Для набора T подмножеств X (то есть для любого подмножества набора степеней P( X ) из X ) пусть

$T_{\sigma }$ — все счетные объединения элементов из T
$T_{\delta }$ — все счетные пересечения элементов T
$T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }.$

Теперь определим трансфинитной индукцией последовательность G ^м, где m — порядковый номер , следующим образом:

Для базового случая определения пусть $G^{0}$ быть совокупностью открытых подмножеств X .
Если я не является предельным ординалом , то у меня есть непосредственно предшествующий ординал i - 1. Пусть $G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }.$
Если я являюсь предельным порядковым номером, установите $G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.$

Утверждается, что борелевская алгебра — это G ^{ох ₁}, где ω ₁ – первое несчетное порядковое число . То есть борелевскую алгебру можно сгенерировать из класса открытых множеств повторением операции $G\mapsto G_{\delta \sigma }.$ до первого неисчисляемого ординала.

Чтобы доказать это утверждение, любое открытое множество в метрическом пространстве представляет собой объединение возрастающей последовательности замкнутых множеств. В частности, дополнение отображений множеств G ^м в себя для любого предельного порядкового номера m ; при этом, если m — несчетный предельный ординал, G ^м замкнуто по счетным союзам.

Для каждого борелевского множества B существует некоторый счетный ординал α _B такой, что B можно получить, повторяя операцию над α _B . Однако, поскольку B изменяется по всем борелевским наборам, α _B будет меняться по всем счетным ординалам, и, таким образом, первый порядковый номер, при котором получены все борелевские множества, равен ω ₁ , первый несчетный порядковый номер.

Полученная последовательность множеств называется иерархией Бореля .

Пример

Важным примером, особенно в теории вероятностей , является алгебра Бореля на множестве действительных чисел . Это алгебра, на которой мера Бореля определена . Учитывая действительную случайную величину, определенную в вероятностном пространстве , ее распределение вероятностей по определению также является мерой алгебры Бореля.

Алгебра Бореля на действительных числах — это наименьшая σ-алгебра на R , содержащая все интервалы .

При построении методом трансфинитной индукции можно показать, что на каждом шаге количество множеств не превышает мощности континуума . Итак, общее количество борелевских множеств меньше или равно $\aleph _{1}\cdot 2^{\aleph _{0}}\,=2^{\aleph _{0}}.$

Фактически мощность совокупности борелевских множеств равна мощности континуума (сравните с числом существующих измеримых по Лебегу множеств, которое строго больше и равно $2^{2^{\aleph _{0}}}$ ).

Стандартные борелевские пространства и теоремы Куратовского

Пусть X — топологическое пространство. Борелевское пространство, ассоциированное с X, это пара ( X , B ), где B — σ-алгебра борелевских множеств X. —

Джордж Макки определил борелевское пространство несколько иначе, написав, что оно представляет собой «множество вместе с выделенным σ-полем подмножеств, называемых его борелевскими множествами». ^[1] Однако в современном использовании выделенную подалгебру называют измеримыми множествами , а такие пространства - измеримыми пространствами . Причина этого различия в том, что борелевские множества представляют собой σ-алгебры, порожденные открытыми множествами (топологического пространства), тогда как определение Макки относится к множеству, снабженному произвольной σ-алгеброй. Существуют измеримые пространства, не являющиеся борелевскими пространствами, для любого выбора топологии базового пространства. ^[2]

Измеримые пространства образуют категорию , в которой морфизмы являются измеримыми функциями между измеримыми пространствами. Функция $f:X\rightarrow Y$ измеримо, если оно возвращает измеримые множества, т. е. для всех измеримых множеств B в Y множество $f^{-1}(B)$ измеримо в X .

Теорема . Пусть X — польское пространство , то есть такое топологическое пространство, что существует метрика d на X , которая определяет топологию X и делает X полным сепарабельным метрическим пространством. Тогда X как борелевское пространство изоморфно одному из

Р ,
С ,
конечное пространство.

(Этот результат напоминает теорему Махарама .)

Рассматриваемые как борелевские пространства, вещественная прямая R , объединение R со счетным множеством и R ^н изоморфны.

Стандартное борелевское пространство — это борелевское пространство, связанное с польским пространством . Стандартное борелевское пространство характеризуется с точностью до изоморфизма своей мощностью: ^[3] и любое несчетное стандартное борелевское пространство имеет мощность континуума.

Для подмножеств польских пространств борелевские множества можно охарактеризовать как множества, которые представляют собой области непрерывных инъективных отображений, определенных в польских пространствах. Однако обратите внимание, что образ непрерывного неинъективного отображения может не быть борелевским. См. аналитический набор .

Каждая вероятностная мера в стандартном борелевском пространстве превращает его в стандартное вероятностное пространство .

Неборелевские множества

Пример подмножества реалов, не являющегося борелевским, согласно Лусину : ^[4] описано ниже. Напротив, пример неизмеримого множества привести невозможно, хотя существование такого множества подразумевается, например, аксиомой выбора .

Каждое иррациональное число имеет уникальное представление бесконечной цепной дроби.

x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}

где $a_{0}$ некоторое целое число и все остальные числа $a_{k}$ являются положительными целыми числами. Позволять $A$ быть набором всех иррациональных чисел, соответствующих последовательностям $(a_{0},a_{1},\dots )$ со следующим свойством: существует бесконечная подпоследовательность $(a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )$ так, что каждый элемент является делителем следующего элемента. Этот набор $A$ это не Борель. Однако оно аналитично (все борелевские множества также аналитичны) и полно в классе аналитических множеств. Для получения более подробной информации см. дескриптивную теорию множеств и книгу А.С. Кехриса (см. Список литературы), особенно Упражнение (27.2) на стр. 209, Определение (22.9) на стр. 169, Упражнение (3.4)(ii) на стр. 14 и на стр. 196. .

Важно отметить, что хотя аксиом Цермело–Френкеля (ZF) достаточно, чтобы формализовать построение $A$ , нельзя доказать только в ZF, что $A$ не является борелевским. Фактически, это согласуется с ZF, что $\mathbb {R}$ является счетным объединением счетных множеств, ^[5] так что любое подмножество $\mathbb {R}$ является множеством Бореля.

Еще одно неборелевское множество — прообраз. $f^{-1}[0]$ бесконечной функции четности $f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}$ . Однако это доказательство существования (через аксиому выбора), а не явный пример.

Альтернативные неэквивалентные определения

По словам Пола Халмоша , ^[6] подмножество локально компактного топологического хаусдорфова пространства называется борелевским, если оно принадлежит наименьшему σ-кольцу, содержащему все компакты.

Норберг и Верваат ^[7] переопределить борелевскую алгебру топологического пространства $X$ как $\sigma$ -алгебра, порожденная своими открытыми подмножествами и своими компактными насыщенными подмножествами . Это определение хорошо подходит для приложений в случае, когда $X$ это не Хаусдорф. Оно совпадает с обычным определением, если $X$ является вторым счетным или если каждое компактное насыщенное подмножество замкнуто (что, в частности, имеет место, если $X$ является Хаусдорф).

См. также

Иерархия Бореля
Борелевский изоморфизм
Комплект Байре
Цилиндрическая σ-алгебра
Описательная теория множеств - раздел математической логики
Польское пространство – концепция в топологии

Примечания

^ Макки, GW (1966), "Эргодическая теория и виртуальные группы", Math. Энн. , 166 (3): 187–207, doi : 10.1007/BF01361167 , ISSN 0025-5831 , S2CID 119738592
^ Йохен Венгенрот, Является ли каждая сигма-алгебра борелевской алгеброй топологии?
^ Шривастава, С.М. (1991), Курс по борелевским множествам , Springer Verlag , ISBN 978-0-387-98412-4
^ Лусин, Николя (1927), «Sur les ансамбли Analytiques» , Fundamenta Mathematicae (на французском языке), 10 : Sect. 62, страницы 76–78, doi : 10.4064/fm-10-1-1-95
^ Джех, Томас (2008). Аксиома выбора . Курьерская корпорация. п. 142.
^ ( Халмош 1950 , стр. 219)
^ Томми Норберг и Вим Верваат, Емкости в нехаусдорфовых пространствах, в: Вероятность и решетки , в: CWI Tract, vol. 110, Матем. Центрум Центрум Виск. Информ., Амстердам, 1997, стр. 133-150.

Ссылки

Уильям Арвесон , Приглашение к C*-алгебрам , Springer-Verlag, 1981. (Превосходное изложение польской топологии см. в главе 3 ).
Ричард Дадли , Реальный анализ и вероятность . Уодсворт, Брукс и Коул, 1989 г.
Халмос, Пол Р. (1950). Теория меры . Д. ван Ностранд Ко. См. особенно разд. 51 «Множества Бореля и множества Бэра».
Хэлси Ройден , Реальный анализ , Прентис Холл, 1 988
Александр С. Кекрис , Классическая описательная теория множеств , Springer-Verlag, 1995 (тексты для выпускников по математике, том 156)

Внешние ссылки

«Борелевское множество» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Формальное определение борелевских множеств в системе Мицар и список теорем, заархивированных 1 июня 2020 г. в Wayback Machine , которые были формально доказаны в этом отношении.
Вайсштейн, Эрик В. «Борелевское множество» . Математический мир .

Светлое лицо		Жирный шрифт
С ⁰ ₀ = П ⁰ ₀ = Д ⁰ ₀ (иногда то же, что ∆ ⁰ ₁)		С ⁰ ₀ = П ⁰ ₀ = Д ⁰ ₀ (если определено)
Д ⁰ ₁ = рекурсивный		Д ⁰ ₁ = закрыто открыто
С ⁰ ₁ = рекурсивно перечисляемый	П ⁰ ₁ = корекурсивно перечисляемый	С ⁰ ₁ = G = открыто	П ⁰ ₁ = F = закрыто
Д ⁰ ₂		Д ⁰ ₂
С ⁰ ₂	П ⁰ ₂	С ⁰ ₂ = Ф _п	П ⁰ ₂ = г _δ
Д ⁰ ₃		Д ⁰ ₃
С ⁰ ₃	П ⁰ ₃	С ⁰ ₃ = г _дс	П ⁰ ₃ = Ф _сд
⋮		⋮
С ⁰ _<ω = Р ⁰ _<ω = D ⁰ _<ω = S ¹ ₀ = П ¹ ₀ = Д ¹ ₀ = арифметический		С ⁰ _<ω = Р ⁰ _<ω = D ⁰ _<ω = S ¹ ₀ = П ¹ ₀ = Д ¹ ₀ = жирный арифметический шрифт
⋮		⋮
Д ⁰ _а ( рекурсивный )		Д ⁰ _а ( счетное )
С ⁰ _а	П ⁰ _а	С ⁰ _а	П ⁰ _а
⋮		⋮
С ⁰ _{ой ^СК ₁} = П ⁰ _{ой ^СК ₁} = Д ⁰ _{ой ^СК ₁} = Д ¹ ₁ = гиперарифметический		С ⁰ _{ω ₁} = Р ⁰ _{ω ₁} = Д ⁰ _{ω ₁} = Д ¹ ₁ = Б = Борель
С ¹ ₁ = аналитика светлого лица	П ¹ ₁ = коаналитик светлой поверхности	С ¹ ₁ = А = аналитический	П ¹ ₁ = СА = коаналитический
Д ¹ ₂		Д ¹ ₂
С ¹ ₂	П ¹ ₂	С ¹ ₂ = PCA	П ¹ ₂ = КПКА
Д ¹ ₃		Д ¹ ₃
С ¹ ₃	П ¹ ₃	С ¹ ₃ = ПКПККА	П ¹ ₃ = CPCPCA
⋮		⋮
С ¹ _<ω = Р ¹ _<ω = D ¹ _<ω = S ² ₀ = П ² ₀ = Д ² ₀ = аналитический		С ¹ _<ω = Р ¹ _<ω = D ¹ _<ω = S ² ₀ = П ² ₀ = Д ² ₀ = P = проективный
⋮		⋮

[1] Макки, GW (1966), "Эргодическая теория и виртуальные группы", Math. Энн. , 166 (3): 187–207, doi : 10.1007/BF01361167 , ISSN 0025-5831 , S2CID 119738592

[2] Йохен Венгенрот, Является ли каждая сигма-алгебра борелевской алгеброй топологии?

[3] Шривастава, С.М. (1991), Курс по борелевским множествам , Springer Verlag , ISBN 978-0-387-98412-4

[4] Лусин, Николя (1927), «Sur les ансамбли Analytiques» , Fundamenta Mathematicae (на французском языке), 10 : Sect. 62, страницы 76–78, doi : 10.4064/fm-10-1-1-95

[5] Джех, Томас (2008). Аксиома выбора . Курьерская корпорация. п. 142.

[6] ( Халмош 1950 , стр. 219)

[7] Томми Норберг и Вим Верваат, Емкости в нехаусдорфовых пространствах, в: Вероятность и решетки , в: CWI Tract, vol. 110, Матем. Центрум Центрум Виск. Информ., Амстердам, 1997, стр. 133-150.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]