Проекция (теория меры)

В теории меры карты часто проекций появляются при работе с продукционными (декартовыми) пространствами: сигма-алгебра произведений измеримых пространств определяется как наилучшая такая, что отображения проекций будут измеримыми . Иногда по каким-то причинам пространства произведений оборудуются 𝜎-алгеброй, отличной от произведения 𝜎-алгебры. В этих случаях прогнозы вообще не обязательно должны быть измеримыми.

Спроецированное множество измеримого множества называется аналитическим множеством и не обязательно должно быть измеримым множеством. Однако в некоторых случаях, либо относительно произведения 𝜎-алгебры, либо относительно какой-либо другой 𝜎-алгебры, спроецированное множество измеримого множества действительно измеримо.

В этом факте заблуждался сам Анри Лебег , один из основоположников теории меры. В статье 1905 года он писал, что проекция борелевского множества на плоскости на действительную прямую снова является борелевским множеством. ^[1] Примерно десять лет спустя математик Михаил Яковлевич Суслин обнаружил эту ошибку, и его последующие исследования привели к созданию дескриптивной теории множеств . ^[2] Фундаментальная ошибка Лебега заключалась в том, что он думал, что проекция коммутирует с уменьшением пересечения, хотя этому есть простые контрпримеры. ^[3]

Основные примеры [ править ]

В качестве примера неизмеримого множества с измеримыми проекциями рассмотрим пространство $X:=\{0,1\}$ с 𝜎-алгеброй ${\mathcal {F}}:=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$ и пространство $Y:=\{0,1\}$ с 𝜎-алгеброй ${\mathcal {G}}:=\{\varnothing ,\{0,1\}\}.$ Диагональный набор $\{(0,0),(1,1)\}\subseteq X\times Y$ не поддается измерению относительно ${\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {G}},$ хотя обе проекции являются измеримыми множествами.

Типичный пример неизмеримого множества, которое является проекцией измеримого множества, находится в 𝜎-алгебре Лебега . Позволять ${\mathcal {L}}$ быть Лебеговой 𝜎-алгеброй $\mathbb {R}$ и пусть ${\mathcal {L}}'$ — 𝜎-алгебра Лебега $\mathbb {R} ^{2}.$ Для любого ограниченного $N\subseteq \mathbb {R}$ не в ${\mathcal {L}}.$ набор $N\times \{0\}$ находится в ${\mathcal {L}}',$ поскольку мера Лебега полная . и множество произведений содержится во множестве нулевой меры

Все равно это можно увидеть ${\mathcal {L}}'$ не является произведением 𝜎-алгебры ${\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {L}}$ но его завершение. Что касается такого примера в произведении 𝜎-алгебры, можно взять пространство $\{0,1\}^{\mathbb {R} }$ (или любое произведение множества с мощностью большей, чем континуум) с произведением 𝜎-алгебры ${\mathcal {F}}=\textstyle {\bigotimes \limits _{t\in \mathbb {R} }}{\mathcal {F}}_{t}$ где ${\mathcal {F}}_{t}=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$ для каждого $t\in \mathbb {R} .$ Фактически в этом случае «большинство» прогнозируемых множеств не измеримы, поскольку мощность ${\mathcal {F}}$ является $\aleph _{0}\cdot 2^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}},$ тогда как мощность проектируемых множеств равна $2^{2^{\aleph _{0}}}.$ Существуют также примеры борелевских множеств на плоскости, проекция которых на действительную прямую не является борелевским множеством, как показал Суслин. ^[2]

Теорема измеримой об проекции

Следующая теорема дает достаточное условие измеримости проекции измеримых множеств.

Позволять $(X,{\mathcal {F}})$ быть измеримым пространством и пусть $(Y,{\mathcal {B}})$ быть польским пространством , где ${\mathcal {B}}$ является ее борелевской 𝜎-алгеброй. Тогда для каждого множества произведения 𝜎-алгебры ${\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {B}},$ проецируемый набор на $X$ есть универсально измеримое множество относительно ${\mathcal {F}}.$ ^[4]

Важным частным случаем этой теоремы является то, что проекция любого борелевского множества $\mathbb {R} ^{n}$ на $\mathbb {R} ^{n-k}$ где $k<n$ измеримо по Лебегу, хотя оно не обязательно является борелевским множеством. Кроме того, это означает, что прежний пример неизмеримого по Лебегу множества $\mathbb {R}$ которое является проекцией некоторого измеримого множества $\mathbb {R} ^{2},$ это единственный подобный пример.

См. также [ править ]

Аналитический набор - подмножество польского пространства, которое представляет собой непрерывное изображение польского пространства.
Описательная теория множеств - раздел математической логики

Ссылки [ править ]

^ Лебег, Х. (1905) Об аналитически представимых функциях . Журнал чистой и прикладной математики. Полет. 1, 139–216.
^ Jump up to: ^а ^б Мошовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств . Северная Голландия. п. 2. ISBN 0-444-70199-0 .
^ Лоутер, Джордж (8 ноября 2016 г.). «Измеримая проекция и дебютная теорема» . Почти уверен . Проверено 21 марта 2018 г.
^ * Крауэль, Ганс (2003). Случайные вероятностные меры на польских пространствах . СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОНОГРАФИИ. Лондон: CRC Press. п. 13. ISBN 0415273870 .

Внешние ссылки [ править ]

«Теорема об измеримой проекции» , PlanetMath

[1] Лебег, Х. (1905) Об аналитически представимых функциях . Журнал чистой и прикладной математики. Полет. 1, 139–216.

[Moschovakis-2] Jump up to: ^а ^б Мошовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств . Северная Голландия. п. 2. ISBN 0-444-70199-0 .

[3] Лоутер, Джордж (8 ноября 2016 г.). «Измеримая проекция и дебютная теорема» . Почти уверен . Проверено 21 марта 2018 г.

[4] * Крауэль, Ганс (2003). Случайные вероятностные меры на польских пространствах . СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОНОГРАФИИ. Лондон: CRC Press. п. 13. ISBN 0415273870 .

[1]

[2]

[3]

[4]