Сферическая мера
В математике , а именно в геометрической теории меры , сферическая мера σ н — «естественная» борелевская мера на n -сфере S н . Сферическую меру часто нормируют так, чтобы она была вероятностной мерой на сфере, т. е. чтобы σ н ( С н ) = 1.
Определение сферической меры [ править ]
Существует несколько способов определения сферической меры. Один из способов — использовать обычную «круглую» или « дуговую » метрику ρ n на S. н ; то есть для точек x и y в S н , ρ n ( x , y ) определяется как (евклидов) угол, который они образуют в центре сферы (начало координат R п +1 ). Теперь построим n -мерную меру Хаусдорфа H н в метрическом пространстве ( S н , ρ n ) и определим
Можно было бы также дать S н метрика, которую он наследует как подпространство евклидова пространства R п +1 ; такая же сферическая мера возникает в результате такого выбора метрики.
Другой метод использует меру Лебега λ. п +1 на окружающем евклидовом пространстве R п +1 : для любого измеримого подмножества A из S н , определим p н ( A ) — ( n + 1)-мерный объем «клина» в шаре B. п +1 что оно стягивается в начале. То есть,
где
Тот факт, что все эти методы определяют одну и ту же меру на S н следует из изящного результата Кристенсена: все эти меры, очевидно, равномерно распределены на S н , и любые две равномерно распределенные регулярные борелевские меры в сепарабельном метрическом пространстве должны быть постоянными (положительными) кратными друг другу. Поскольку все наши кандидаты σ н были нормализованы как вероятностные меры, все они являются одной и той же мерой.
с другими Связь мерами
Связь сферической меры с мерой Хаусдорфа на сфере и мерой Лебега в объемлющем пространстве уже обсуждалась.
Сферическая мера имеет хорошее отношение к мере Хаара на ортогональной группе . Пусть O( n ) обозначает ортогональную группу, действующую на R н и пусть θ н обозначим его нормированную меру Хаара (так что θ н (О( п )) = 1). Ортогональная группа действует также на сфере S п -1 . Тогда для любого x ∈ S п -1 и любой A ⊆ S п -1 ,
В случае, если С н является топологической группой (т. е. когда n равно 0, 1 или 3), сферическая мера σ н совпадает с (нормированной) мерой Хаара на S н .
неравенство Изопериметрическое
существует изопериметрическое неравенство Для сферы с ее обычной метрикой и сферической мерой (см. Леду и Талагранд, глава 1):
Если А ⊆ S п -1 — любое борелевское множество и B ⊆ S п -1 является ρ n -шаром с тем же σ н -мера как A , то для любого r > 0
где Ar т.е. обозначает «инфляцию» A посредством r ,
В частности, если σ н ( А ) ≥ 1/2 ≥ 2 и n , то
Ссылки [ править ]
- Кристенсен, Йенс Петер Реус (1970). «О некоторых мерах, аналогичных мере Хаара». Математика Скандинавия . 26 : 103–106. ISSN 0025-5521 . МИСТЕР 0260979
- Леду, Мишель; Талагранд, Мишель (1991). Вероятность в банаховых пространствах . Берлин: Springer-Verlag. стр. xii+480. ISBN 3-540-52013-9 . МИСТЕР 1102015 (см. главу 1)
- Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах: фракталы и спрямляемость . Кембриджские исследования по высшей математике № 44. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. xii+343. ISBN 0-521-46576-1 . МИСТЕР 1333890 (см. главу 3)