Сферическая мера

В математике , а именно в геометрической теории меры , сферическая мера σ ^н — «естественная» борелевская мера на n -сфере S ^н . Сферическую меру часто нормируют так, чтобы она была вероятностной мерой на сфере, т. е. чтобы σ ^н ( С ^н ) = 1.

Определение сферической меры

Существует несколько способов определения сферической меры. Один из способов — использовать обычную «круглую» или « дуговую » метрику ρ _n на S. ^н ; то есть для точек x и y в S ^н , ρ _n ( x , y ) определяется как (евклидов) угол, который они образуют в центре сферы (начало координат R ^{п +1} ). Теперь построим n -мерную меру Хаусдорфа H ^н в метрическом пространстве ( S ^н , ρ _n ) и определим

$\sigma ^{n}={\frac {1}{H^{n}(\mathbf {S} ^{n})}}H^{n}.$

Можно было бы также дать S ^н метрика, которую он наследует как подпространство евклидова пространства R ^{п +1} ; такая же сферическая мера возникает в результате такого выбора метрики.

Другой метод использует меру Лебега λ. ^{п +1} на окружающем евклидовом пространстве R ^{п +1} : для любого измеримого подмножества A из S ^н , определим p ^н ( A ) — ( n + 1)-мерный объем «клина» в шаре B. ^{п +1} что оно стягивается в начале. То есть,

$\sigma ^{n}(A):={\frac {1}{\alpha (n+1)}}\lambda ^{n+1}(\{tx\mid x\in A,t\in [0,1]\}),$

где

$\alpha (m):=\lambda ^{m}(\mathbf {B} _{1}^{m}(0)).$

Тот факт, что все эти методы определяют одну и ту же меру на S ^н следует из изящного результата Кристенсена: все эти меры, очевидно, равномерно распределены на S ^н , и любые две равномерно распределенные регулярные борелевские меры в сепарабельном метрическом пространстве должны быть постоянными (положительными) кратными друг другу. Поскольку все наши кандидаты σ ^н были нормализованы как вероятностные меры, все они являются одной и той же мерой.

с

Связь сферической меры с мерой Хаусдорфа на сфере и мерой Лебега в объемлющем пространстве уже обсуждалась.

Сферическая мера имеет хорошее отношение к мере Хаара на ортогональной группе . Пусть O( n ) обозначает ортогональную группу, действующую на R ^н и пусть θ ^н обозначим его нормированную меру Хаара (так что θ ^н (О( п )) = 1). Ортогональная группа действует также на сфере S ^{п -1} . Тогда для любого x ∈ S ^{п -1} и любой A ⊆ S ^{п -1} ,

$\theta ^{n}(\{g\in \mathrm {O} (n)\mid g(x)\in A\})=\sigma ^{n-1}(A).$

В случае, если С ^н является топологической группой (т. е. когда n равно 0, 1 или 3), сферическая мера σ ^н совпадает с (нормированной) мерой Хаара на S ^н .

неравенство

существует изопериметрическое неравенство Для сферы с ее обычной метрикой и сферической мерой (см. Леду и Талагранд, глава 1):

Если А ⊆ S ^{п -1} — любое борелевское множество и B ⊆ S ^{п -1} является ρ _n -шаром с тем же σ ^н -мера как A , то для любого r > 0

$\sigma ^{n}(A_{r})\geq \sigma ^{n}(B_{r}),$

где Ar _т.е. обозначает «инфляцию» A посредством r ,

$A_{r}:=\{x\in \mathbf {S} ^{n}\mid \rho _{n}(x,A)\leq r\}.$

В частности, если σ ^н ( А ) ≥ 1/2 ≥ 2 и n , то

$\sigma ^{n}(A_{r})\geq 1-{\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\,\exp \left(-{\frac {(n-1)r^{2}}{2}}\right).$

Ссылки

• Кристенсен, Йенс Петер Реус (1970). «О некоторых мерах, аналогичных мере Хаара». Математика Скандинавия . 26 : 103–106. ISSN   0025-5521 . МИСТЕР 0260979
• Леду, Мишель; Талагранд, Мишель (1991). Вероятность в банаховых пространствах . Берлин: Springer-Verlag. стр. xii+480. ISBN  3-540-52013-9 . МИСТЕР 1102015 (см. главу 1)
• Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах: фракталы и спрямляемость . Кембриджские исследования по высшей математике № 44. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. xii+343. ISBN  0-521-46576-1 . МИСТЕР 1333890 (см. главу 3)