Равномерно распределенная мера

В математике , в частности в геометрической теории меры , равномерно распределенной мерой в метрическом пространстве называется такая мера, для которой мера открытого шара зависит только от его радиуса, а не от его центра. По соглашению мера также должна быть регулярной по Борелю и принимать положительные и конечные значения на открытых шарах конечного радиуса. Таким образом, если ( X , d ) — метрическое пространство, то борелевская регулярная мера µ на ​​X называется равномерно распределенной, если

$0<\mu (\mathbf {B} _{r}(x))=\mu (\mathbf {B} _{r}(y))<+\infty$

для всех точек x и y множества X и всех 0 < r < +∞, где

$\mathbf {B} _{r}(x):=\{z\in X|d(x,z)<r\}.$

Лемма Кристенсена

Как оказывается, равномерно распределенные меры — очень жесткие объекты. В любом «приличном» метрическом пространстве равномерно распределенные меры образуют однопараметрическое линейно зависимое семейство:

Пусть µ и ν — равномерно распределенные борелевские регулярные меры в сепарабельном метрическом пространстве ( X , d ). Тогда существует константа c такая, что µ = cν .

Ссылки

• Кристенсен, Йенс Петер Реус (1970). «О некоторых мерах, аналогичных мере Хаара». Математика Скандинавия . 26 : 103–106. ISSN   0025-5521 . МИСТЕР 0260979
• Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах: фракталы и спрямляемость . Кембриджские исследования по высшей математике № 44. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. xii+343. ISBN  0-521-46576-1 . МИСТЕР 1333890 (см. главу 3)