Регулярная мера Бореля

В математике внешняя мера µ в n - мерном евклидовом пространстве R ^н называется регулярной по Борелю мерой, если выполняются следующие два условия:

• Каждое борелевское множество B ⊆ R ^н является µ -измеримой в смысле критерия Каратеодори : для любого A ⊆ R ^н ,

$\mu (A)=\mu (A\cap B)+\mu (A\setminus B).$

• Для любого множества A ⊆ R ^н существует борелевское множество B ⊆ R ^н такой, что A ⊆ B и µ ( A ) = µ ( B ).

Обратите внимание, что множество A не обязательно должно быть µ -измеримым: µ ( A ) однако корректно определено, поскольку µ является внешней мерой.Внешняя мера, удовлетворяющая только первому из этих двух требований, называется борелевской мерой , а внешняя мера, удовлетворяющая только второму требованию (с заменой борелевского множества B измеримым множеством B), называется регулярной мерой .

Внешняя мера Лебега на R ^н является примером регулярной меры Бореля.

Можно доказать, что борелевская регулярная мера, хотя и введенная здесь как ) , становится полной внешняя мера (только счетно субаддитивная мерой ( счетно аддитивной ), если ее ограничить борелевскими множествами .

Ссылки

• Эванс, Лоуренс К.; Гариепи, Рональд Ф. (1992). Теория меры и тонкие свойства функций . ЦРК Пресс. ISBN  0-8493-7157-0 .
• Тейлор, Ангус Э. (1985). Общая теория функций и интегрирование . Дуврские публикации. ISBN  0-486-64988-1 .
• Фонсека, Ирен ; Гангбо, Уилфрид (1995). Степенная теория в анализе и приложениях . Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-851196-5 .