Mathematical concept
В математике , особенно в теории меры , считающая мера — это интуитивный способ измерить любое множество : «размером» подмножества считается количество элементов в подмножестве, если подмножество имеет конечное число элементов и бесконечность.
если подмножество бесконечно . [1]
Считающая мера может быть определена на любом измеримом пространстве (т. е. на любом множестве
вместе с сигма-алгеброй), но чаще всего используется на счетных множествах. [1]
В формальных обозначениях мы можем превратить любое множество
в измеримое пространство, взяв степеней набор
как сигма-алгебра
то есть все подмножества
являются измеримыми множествами. Тогда счетная мера
на этом измеримом пространстве
это положительная мера
определяется

для всех

где

обозначает
мощность множества
[2] Счетная мера на
является σ-конечным тогда и только тогда, когда пространство
является счетным . [3]
Интеграция включена
со счетной мерой [ править ]
Возьмите меру пространства
, где
представляет собой совокупность всех подмножеств натуральных чисел и
счетная мера. Возьмите любое измеримое
. Как это определено на
,
можно представить точечно как

Каждый
измерима. Более того
. Еще дальше, поскольку каждый
это простая функция

Следовательно, по теореме о монотонной сходимости

Обсуждение [ править ]
Счетная мера является частным случаем более общей конструкции. В указанных выше обозначениях любая функция
определяет меру
на
с помощью

где возможно несчетная сумма действительных чисел определяется как
верхняя грань сумм по всем конечным подмножествам, то есть,

принимая

для всех

дает счетную меру.