Счетная мера

В математике , особенно в теории меры , считающая мера — это интуитивный способ измерить любое множество : «размером» подмножества считается количество элементов в подмножестве, если подмножество имеет конечное число элементов и бесконечность. $\infty$ если подмножество бесконечно .

Считающая мера может быть определена на любом измеримом пространстве (т. е. на любом множестве $X$ вместе с сигма-алгеброй), но чаще всего используется на счетных множествах.

В формальных обозначениях мы можем превратить любое множество $X$ в измеримое пространство, взяв набор степеней $X$ как сигма-алгебра $\Sigma ;$ то есть все подмножества $X$являются измеримыми множествами. Тогда счетная мера $\mu$ на этом измеримом пространстве $(X,\Sigma )$ это положительная мера $\Sigma \to [0,+\infty ]$ определяется

$$\mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{if }}A{\text{ is finite}}\\+\infty &{\text{if }}A{\text{ is infinite}}\end{cases}}$$

для всех $A\in \Sigma ,$ где $\vert A\vert$ обозначает мощность множества $A.$

Счетная мера на $(X,\Sigma )$ является σ-конечным тогда и только тогда, когда пространство $X$ является счетным .

Интеграция включена $\mathbb {N}$ со счетной мерой

Возьмите меру пространства $(\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },\mu )$, где $2^{\mathbb {N} }$ представляет собой совокупность всех подмножеств натуральных чисел и $\mu$счетная мера. Возьмите любое измеримое $f:\mathbb {N} \to [0,\infty ]$. Как это определено на $\mathbb {N}$, $f$ можно представить точечно как

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)1_{\{n\}}(x)=\lim _{M\to \infty }\underbrace {\ \sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\ } _{\phi _{M}(x)}=\lim _{M\to \infty }\phi _{M}(x)$$

Каждый $\phi _{M}$измеримо. Более того $\phi _{M+1}(x)=\phi _{M}(x)+f(M+1)\cdot 1_{\{M+1\}}(x)\geq \phi _{M}(x)$. Еще дальше, поскольку каждый $\phi _{M}$ это простая функция

$$\int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\int _{\mathbb {N} }\left(\sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\right)d\mu =\sum _{n=1}^{M}f(n)\mu (\{n\})=\sum _{n=1}^{M}f(n)\cdot 1=\sum _{n=1}^{M}f(n)$$

Следовательно, по теореме о монотонной сходимости

$$\int _{\mathbb {N} }fd\mu =\lim _{M\to \infty }\int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\lim _{M\to \infty }\sum _{n=1}^{M}f(n)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$$

Обсуждение

Счетная мера является частным случаем более общей конструкции. В указанных выше обозначениях любая функция $f:X\to [0,\infty )$ определяет меру $\mu$ на $(X,\Sigma )$ с помощью

$$\mu (A):=\sum _{a\in A}f(a)\quad {\text{ for all }}A\subseteq X,$$

где возможно несчетная сумма действительных чисел определяется как верхняя граница сумм по всем конечным подмножествам, то есть,

$$\sum _{y\,\in \,Y\!\ \subseteq \,\mathbb {R} }y\ :=\ \sup _{F\subseteq Y,\,|F|<\infty }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.$$

принимая $f(x)=1$ для всех $x\in X$ дает счетную меру.

См. также

• Пип (подсчет) – предметы, которые легко подсчитать.
• Функция набора – функция преобразования наборов в числа.