Jump to content

Счетная мера

В математике , особенно в теории меры , считающая мера — это интуитивный способ измерить любое множество : «размером» подмножества считается количество элементов в подмножестве, если подмножество имеет конечное число элементов и бесконечность. если подмножество бесконечно . [1]

Считающая мера может быть определена на любом измеримом пространстве (т. е. на любом множестве вместе с сигма-алгеброй), но чаще всего используется на счетных множествах. [1]

В формальных обозначениях мы можем превратить любое множество в измеримое пространство, взяв степеней набор как сигма-алгебра то есть все подмножества являются измеримыми множествами. Тогда счетная мера на этом измеримом пространстве это положительная мера определяется

для всех где обозначает мощность множества [2]

Счетная мера на является σ-конечным тогда и только тогда, когда пространство является счетным . [3]

Интеграция включена со счетной мерой [ править ]

Возьмите меру пространства , где представляет собой совокупность всех подмножеств натуральных чисел и счетная мера. Возьмите любое измеримое . Как это определено на , можно представить точечно как

Каждый измерима. Более того . Еще дальше, поскольку каждый это простая функция

Следовательно, по теореме о монотонной сходимости

Обсуждение [ править ]

Счетная мера является частным случаем более общей конструкции. В указанных выше обозначениях любая функция определяет меру на с помощью

где возможно несчетная сумма действительных чисел определяется как верхняя грань сумм по всем конечным подмножествам, то есть,
принимая для всех дает счетную меру.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Счетная мера в PlanetMath .
  2. ^ Шиллинг, Рене Л. (2005). Меры, интегралы и мартингалы . Издательство Кембриджского университета. п. 27. ISBN  0-521-61525-9 .
  3. ^ Хансен, Эрнст (2009). Теория меры (Четвертое изд.). Департамент математических наук Копенгагенского университета. п. 47. ИСБН  978-87-91927-44-7 .


Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 9917ce36e3283a4973899a7e72e2de73__1715056620
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/99/73/9917ce36e3283a4973899a7e72e2de73.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Counting measure - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)