Полная мера

В математике ( полная мера или, точнее, полное пространство с мерой ) — это пространство с мерой , в котором каждое подмножество каждого нулевого множества измеримо (имеет нулевую меру ). Более формально, пространство с мерой ( X , Σ, µ ) является полным тогда и только тогда, когда ^[1]^[2]

S\subseteq N\in \Sigma {\mbox{ and }}\mu (N)=0\ \Rightarrow \ S\in \Sigma .

Мотивация [ править ]

Необходимость рассмотрения вопросов полноты можно проиллюстрировать, рассмотрев проблему пространств продуктов.

Предположим, что мы уже построили меру Лебега на действительной прямой : обозначим это пространство с мерой через $(\mathbb {R} ,B,\lambda ).$ Теперь мы хотим построить некоторую двумерную меру Лебега. $\lambda ^{2}$ в самолете $\mathbb {R} ^{2}$ как мера продукта . Наивно мы бы взяли 𝜎-алгебру на $\mathbb {R} ^{2}$ быть $B\otimes B,$ наименьшая 𝜎-алгебра, содержащая все измеримые «прямоугольники» $A_{1}\times A_{2}$ для $A_{1},A_{2}\in B.$

Хотя этот подход и определяет пространство меры , у него есть недостаток. Поскольку каждое одноэлементное множество имеет нулевую одномерную меру Лебега,

\lambda ^{2}(\{0\}\times A)\leq \lambda (\{0\})=0

для любого подмножества

A

из

\mathbb {R} .

Однако предположим, что

A

— это неизмеримое подмножество реальной линии, такое как множество Витали . Тогда

\lambda ^{2}

-мера

\{0\}\times A

не определено, но

\{0\}\times A\subseteq \{0\}\times \mathbb {R} ,

и в этом большом наборе есть

\lambda ^{2}

-измерить ноль. Таким образом, эта «двумерная мера Лебега», как только что она была определена, не является полной, и требуется какая-то процедура завершения.

Построение полной меры [ править ]

Учитывая (возможно, неполное) пространство с мерой ( X , Σ, µ ), существует расширение ( X , Σ ₀ , µ ₀ ) этого пространства с мерой, которое является полным. ^[3] Наименьшее такое расширение (т.е. наименьшая σ -алгебра Σ ₀ ) называется пополнением пространства с мерой.

Завершение можно построить следующим образом:

пусть Z будет множеством всех подмножеств нулевой µ- меры подмножеств X (интуитивно, те элементы Z , которые еще не находятся в Σ, являются теми, которые препятствуют поддержанию полноты);
пусть Σ ₀ — σ -алгебра, порожденная Σ и Z (т.е. наименьшая σ -алгебра, содержащая каждый элемент из Σ и Z );
µ имеет расширение µ ₀ до Σ ₀ (которое уникально, если µ является σ -конечным ), называемое внешней мерой µ и задаваемое инфимумом

\mu _{0}(C):=\inf\{\mu (D)\mid C\subseteq D\in \Sigma _{0}\}.

Тогда ( X , Σ ₀ , µ ₀ ) является полным пространством с мерой и является пополнением ( X , Σ, µ ).

В приведенной выше конструкции можно показать, что каждый член Σ ₀ имеет вид A ∪ B для некоторого A ∈ Σ и некоторого B ∈ Z , и

\mu _{0}(A\cup B)=\mu (A).

Примеры [ править ]

Борелевская мера , определенная на борелевской σ -алгебре, порожденной открытыми интервалами вещественной прямой, не является полной, поэтому для определения полной меры Лебега необходимо использовать описанную выше процедуру завершения. Это иллюстрируется тем фактом, что множество всех борелевских множеств над вещественными числами имеет ту же мощность, что и действительные числа. В то время как множество Кантора является борелевским множеством, имеет нулевую меру, а его степенное множество имеет мощность строго большую, чем у действительных чисел. Таким образом, существует подмножество канторового множества, не входящее в борелевские множества. Следовательно, мера Бореля не является полной.
n -мерная мера Лебега есть пополнение n -кратного произведения одномерного пространства Лебега на самого себя. Это также пополнение борелевской меры, как и в одномерном случае.

Свойства [ править ]

Теорема Махарама утверждает, что каждое полное пространство с мерой разложимо на меры на континуумах и на конечную или счетную считающую меру .

См. также [ править ]

Внутренняя мера
Измеримое множество Лебега – концепция площади в любом измерении.

Ссылки [ править ]

Терехин, А.П. (2001) [1994], «Полная мера» , Энциклопедия Математики , EMS Press

^ Халмос, Пол Р. (1950). Теория меры . Тексты для аспирантов по математике. Том. 18. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. п. 31. дои : 10.1007/978-1-4684-9440-2 . ISBN 978-1-4684-9442-6 .
^ де Барра, Г. (2003). Теория меры и интегрирование . Вудхед Паблишинг Лимитед. п. 94. дои : 10.1533/9780857099525 . ISBN 978-1-904275-04-6 .
^ Рудин, Уолтер (2013). Реальный и комплексный анализ . Международные издания McGraw-Hill, серия «Математика» (3-е изд., международное изд., [Nachdr.] изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 27–28. ISBN 978-0-07-054234-1 .

[1] Халмос, Пол Р. (1950). Теория меры . Тексты для аспирантов по математике. Том. 18. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. п. 31. дои : 10.1007/978-1-4684-9440-2 . ISBN 978-1-4684-9442-6 .

[2] де Барра, Г. (2003). Теория меры и интегрирование . Вудхед Паблишинг Лимитед. п. 94. дои : 10.1533/9780857099525 . ISBN 978-1-904275-04-6 .

[3] Рудин, Уолтер (2013). Реальный и комплексный анализ . Международные издания McGraw-Hill, серия «Математика» (3-е изд., международное изд., [Nachdr.] изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 27–28. ISBN 978-0-07-054234-1 .

[1]

[2]

[3]