Случайный элемент

В вероятностей теории случайный элемент — это обобщение понятия случайной величины на более сложные пространства, чем простая действительная линия. Эта концепция была введена Морисом Фреше ( 1948 ), который отметил, что «развитие теории вероятностей и расширение области ее приложений привели к необходимости перехода от схем, в которых (случайные) результаты экспериментов могут быть описаны числом или конечным множеством». чисел, к схемам, где результаты экспериментов представляют собой, например, векторы , функции , процессы, поля , ряды , преобразования , а также множества или коллекции множеств». ^[1]

Современное использование термина «случайный элемент» часто предполагает, что пространство значений представляет собой топологическое векторное пространство , часто банахово или гильбертово пространство с заданной естественной сигма-алгеброй подмножеств. ^[2]

Определение [ править ]

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ быть вероятностным пространством и $(E,{\mathcal {E}})$ пространство измеримое . Случайный элемент со значениями в E — это функция X : Ω→ E , которая $({\mathcal {F}},{\mathcal {E}})$ - измеримый . То есть функция X такая, что для любого $B\in {\mathcal {E}}$ , прообраз B лежит в ${\mathcal {F}}$ .

Иногда случайные элементы со значениями в $E$ называются $E$ -значные случайные величины.

Обратите внимание, если $(E,{\mathcal {E}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ , где $\mathbb {R}$ действительные числа, и ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ является ее борелевской σ-алгеброй , то определение случайного элемента является классическим определением случайной величины .

Определение случайного элемента $X$ со значениями в банаховом пространстве $B$ обычно подразумевается использование наименьшего $\sigma$ -алгебра на B, для которой любой ограниченный линейный функционал измерим. В данном случае определение, эквивалентное приведенному выше, состоит в том, что отображение $X:\Omega \rightarrow B$ из вероятностного пространства является случайным элементом, если $f\circ X$ является случайной величиной для каждого ограниченного линейного функционала f или, что то же самое, что $X$ слабо измерима .

Примеры случайных элементов [ править ]

Случайная величина [ править ]

Случайная величина — это самый простой тип случайного элемента. Это карта $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ является измеримой функцией множества возможных результатов $\Omega$ к $\mathbb {R}$ .

Как вещественная функция, $X$ часто описывает некоторую числовую величину данного события. Например, количество орлов после определенного количества подбрасываний монеты; рост разных людей.

Когда изображение (или диапазон) $X$ конечна или счетно бесконечна , случайная величина называется дискретной случайной величиной. ^[3] и его распределение может быть описано функцией вероятностной массы , которая присваивает вероятность каждому значению в изображении $X$ . Если изображение несчетно бесконечно, то $X$ называется непрерывной случайной величиной. В особом случае, когда он абсолютно непрерывен , его распределение может быть описано функцией плотности вероятности , которая присваивает вероятности интервалам; в частности, каждая отдельная точка обязательно должна иметь нулевую вероятность абсолютно непрерывной случайной величины. Не все непрерывные случайные величины абсолютно непрерывны. ^[4] например распределение смеси . Такие случайные величины не могут быть описаны плотностью вероятности или функцией массы вероятности.

Случайный вектор [ править ]

— Случайный вектор это столбец вектор- $\mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}$ (или его транспонирование , которое является вектором-строкой ), компоненты которого являются скалярными величинами случайными в том же вероятностном пространстве. $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ , где $\Omega$ это пространство выборки , ${\mathcal {F}}$ - это сигма-алгебра (совокупность всех событий), и $P$ — вероятностная мера каждого события (функция, возвращающая вероятность ).

Случайные векторы часто используются в качестве базовой реализации различных типов совокупных случайных величин , например, случайной матрицы , случайного дерева , случайной последовательности , случайного процесса и т. д.

Случайная матрица [ править ]

— Случайная матрица это случайный элемент с матричным знаком. Многие важные свойства физических систем можно математически представить в виде матричных задач. Например, теплопроводность решетки можно рассчитать на основе динамической матрицы межчастичных взаимодействий внутри решетки.

Случайная функция [ править ]

Случайная функция — это тип случайного элемента, в котором один результат выбирается из некоторого семейства функций, где семейство состоит из некоторого класса всех отображений из области определения в область значений . Например, класс может быть ограничен всеми непрерывными функциями или всеми ступенчатыми функциями . Значения, определенные случайной функцией, оцененной в разных точках одной и той же реализации, обычно не будут статистически независимыми , но, в зависимости от модели, значения, определенные в одной и той же или разных точках из разных реализаций, вполне могут рассматриваться как независимые.

Случайный процесс [ править ]

Случайный процесс — это набор случайных величин , представляющий эволюцию некоторой системы случайных величин с течением времени. Это вероятностный аналог детерминированного процесса (или детерминированной системы ). Вместо описания процесса, который может развиваться только в одну сторону (как, например, в случае решений обыкновенного дифференциального уравнения ), в стохастическом или случайном процессе имеется некоторая неопределенность: даже если начальное условие (или точка отсчета) ), как известно, существует несколько (часто бесконечно много) направлений, по которым может развиваться процесс.

В простом случае дискретного времени , в отличие от непрерывного времени , случайный процесс включает в себя последовательность случайных величин и временные ряды, связанные с этими случайными величинами (например, см. Цепь Маркова , также известную как цепь Маркова с дискретным временем).

Случайное поле [ править ]

Учитывая вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ и измеримое пространство X, случайное поле со значением X представляет собой совокупность X -значных полей . случайные величины, элементами топологического пространства T. индексированные То есть случайное поле F представляет собой набор

\{F_{t}:t\in T\}

где каждый $F_{t}$ является X. случайной величиной со значением

Существует несколько видов случайных полей, среди них случайное поле Маркова (MRF), случайное поле Гиббса (GRF), условное случайное поле (CRF) и гауссово случайное поле . MRF демонстрирует марковское свойство.

P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i}),\,

где $\partial _{i}$ представляет собой набор соседей случайной величины X _i . Другими словами, вероятность того, что случайная величина примет значение, зависит от других случайных величин только через те, которые являются ее непосредственными соседями. Вероятность случайной величины в MRF определяется выражением

P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(\omega )}{\sum _{\omega '}P(\omega ')}},

где Ω' — та же реализация Ω, за исключением случайной величины X _i . Трудно выполнить расчеты с помощью этого уравнения, не прибегая к связи между MRF и GRF, предложенной Джулианом Бесагом в 1974 году.

Случайная мера [ править ]

Случайная мера — это случайный элемент со значением меры . ^[5]^[6] Пусть X — полное сепарабельное метрическое пространство и ${\mathfrak {B}}(X)$ σ -алгебра ее борелевских множеств. Борелевская мера µ на X ограниченно конечна, если µ(A) < ∞ для любого ограниченного борелевского множества A. Пусть $M_{X}$ — пространство всех ограниченно конечных мер на ${\mathfrak {B}}(X)$ . Пусть (Ω, ℱ, P ) — вероятностное пространство , тогда случайная мера отображает из этого вероятностного пространства в измеримое пространство ( $M_{X}$ , ${\mathfrak {B}}(M_{X})$ ) . ^[7] Как правило, меру можно разложить следующим образом:

\mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},

Здесь $\mu _{d}$ является диффузной мерой без атомов, а $\mu _{a}$ является чисто атомарной мерой.

Случайный набор [ править ]

Случайный набор — это случайный элемент с множеством значений.

Одним из конкретных примеров является случайный компакт . Позволять $(M,d)$ — полное сепарабельное метрическое пространство . Позволять ${\mathcal {K}}$ обозначаем множество всех компактных подмножеств $M$ . Метрика Хаусдорфа $h$ на ${\mathcal {K}}$ определяется

h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.

$({\mathcal {K}},h)$ также является полным сепарабельным метрическим пространством. Соответствующие открытые подмножества порождают σ-алгебру на ${\mathcal {K}}$ , сигма-алгебра Бореля ${\mathcal {B}}({\mathcal {K}})$ из ${\mathcal {K}}$ .

Случайный компакт — это измеримая функция $K$ из вероятностного пространства $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ в $({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))$ .

Другими словами, случайный компакт — это измеримая функция. $K\colon \Omega \to 2^{M}$ такой, что $K(\omega )$ почти наверняка компактен и

\omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)

является измеримой функцией для каждого $x\in M$ .

Случайные геометрические объекты [ править ]

К ним относятся случайные точки, случайные фигуры, ^[8] и случайные формы. ^[8]

Ссылки [ править ]

^ Фреше, М. (1948). «Случайные элементы любой природы в отдаленном пространстве» . Анналы Института Анри Пуанкаре . 10 (4): 215–310.
^ В.В. Булдыгин, А.Б. Харазишвили. Геометрические аспекты теории вероятностей и математической статистики. – Kluwer Academic Publishers, Дордрехт. – 2000 г.
^ Йейтс, Дэниел С.; Мур, Дэвид С; Старнс, Дарен С. (2003). Практика статистики (2-е изд.). Нью-Йорк: Фриман . ISBN 978-0-7167-4773-4 . Архивировано из оригинала 9 февраля 2005 г.
^ Л. Кастаньеда; В. Аруначалам и С. Дхармараджа (2012). Введение в теорию вероятности и случайные процессы с приложениями . Уайли. п. 67. ИСБН 9781118344941 .
^ Калленберг, О. , Случайные меры , 4-е издание. Academic Press, Нью-Йорк, Лондон; Академия Верлаг, Берлин (1986). ISBN 0-12-394960-2 МР 854102 . Авторитетный, но довольно сложный справочник.
^ Ян Гранделл, Точечные процессы и случайные меры, Достижения в области прикладной теории вероятностей 9 (1977) 502-526. МИСТЕР 0478331 JSTOR Красивое и понятное введение.
^ Дэйли, диджей; Вер-Джонс, Д. (2003). Введение в теорию точечных процессов . Вероятность и ее приложения. дои : 10.1007/b97277 . ISBN 0-387-95541-0 .
^ Jump up to: ^а ^б Стоян Д. и Стоян Х. (1994) Фракталы, случайные формы и точечные поля. Методы геометрической статистики . Чичестер, Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-93757-6

Литература [ править ]

Хоффман-Йоргенсен Дж., Писье Г. (1976) «Ann.Probab.», т.4, 587–589.
Мурье Э. (1955) Случайные элементы в банаховом пространстве (Они). Париж.
Прохоров Ю.В. (1999) Случайный элемент. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. Москва: «Большая Российская Энциклопедия», С.623.

Внешние ссылки [ править ]

Запись в математической энциклопедии Springer

[1] Фреше, М. (1948). «Случайные элементы любой природы в отдаленном пространстве» . Анналы Института Анри Пуанкаре . 10 (4): 215–310.

[2] В.В. Булдыгин, А.Б. Харазишвили. Геометрические аспекты теории вероятностей и математической статистики. – Kluwer Academic Publishers, Дордрехт. – 2000 г.

[Yates-3] Йейтс, Дэниел С.; Мур, Дэвид С; Старнс, Дарен С. (2003). Практика статистики (2-е изд.). Нью-Йорк: Фриман . ISBN 978-0-7167-4773-4 . Архивировано из оригинала 9 февраля 2005 г.

[4] Л. Кастаньеда; В. Аруначалам и С. Дхармараджа (2012). Введение в теорию вероятности и случайные процессы с приложениями . Уайли. п. 67. ИСБН 9781118344941 .

[RN-5] Калленберг, О. , Случайные меры , 4-е издание. Academic Press, Нью-Йорк, Лондон; Академия Верлаг, Берлин (1986). ISBN 0-12-394960-2 МР 854102 . Авторитетный, но довольно сложный справочник.

[G-6] Ян Гранделл, Точечные процессы и случайные меры, Достижения в области прикладной теории вероятностей 9 (1977) 502-526. МИСТЕР 0478331 JSTOR Красивое и понятное введение.

[daleyPPI2003-7] Дэйли, диджей; Вер-Джонс, Д. (2003). Введение в теорию точечных процессов . Вероятность и ее приложения. дои : 10.1007/b97277 . ISBN 0-387-95541-0 .

[Stoyan-8] Jump up to: ^а ^б Стоян Д. и Стоян Х. (1994) Фракталы, случайные формы и точечные поля. Методы геометрической статистики . Чичестер, Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-93757-6

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]