Векторы-строки и столбцы

В линейной алгебре вектор -столбец с $m$ элементы – это $m\times 1$ матрица состоящий из одного столбца $m$ записи, например,

$${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}.$$

Аналогично, вектор-строка — это $1\times n$ матрица для некоторых $n$, состоящий из одного ряда $n$ записи,

$${\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.$$

(В этой статье жирный шрифт используется как для векторов-строек, так и для векторов-столбцов.)

Транспонирование ) любого вектора (обозначенное T -строки является вектором-столбцом, а транспонирование любого вектора-столбца является вектором-строкой:

$${\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}$$

и

$${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.$$

Набор всех векторов-строок с n элементами в данном поле (например, действительные числа ) образует n -мерное векторное пространство ; аналогично набор всех векторов-столбцов с m элементами образует m -мерное векторное пространство.

Пространство векторов-строк с n элементами можно рассматривать как двойственное пространство к пространству векторов-столбцов с n элементами, поскольку любой линейный функционал в пространстве векторов-столбцов может быть представлен как левое умножение уникального вектора-строки.

Обозначения

Чтобы упростить запись векторов-столбцов в строке с другим текстом, иногда они записываются как векторы-строки с примененной к ним операцией транспонирования.

$${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$$

или

$${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$$

Некоторые авторы также используют соглашение о записи векторов-столбцов и векторов-строок в виде строк, но разделяя элементы вектор-строки запятыми , а элементы вектор-столбца точками с запятой (см. альтернативное обозначение 2 в таблице ниже).

	Вектор-строка	Вектор-столбец
Стандартное матричное обозначение (пробелы в массиве, без запятых, транспонированные знаки)	${\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}{\text{ or }}{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$
Альтернативное обозначение 1 (запятые, переставить знаки)	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$
Альтернативное обозначение 2 (запятые и точки с запятой, без знаков транспонирования)	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{bmatrix}}$

Операции

Умножение матриц включает в себя умножение каждого вектора-строки одной матрицы на каждый вектор-столбец другой матрицы.

Скалярное произведение двух векторов-столбцов a , b , рассматриваемых как элементы координатного пространства, равно матричному произведению транспонирования a с b ,

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\intercal }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,$$

В силу симметрии скалярного произведения скалярное произведение двух векторов-столбцов a , b также равно матричному произведению транспонирования b с a ,

$$\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\intercal }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.$$

Матричное произведение столбца и вектора-строки дает внешнее произведение двух векторов a , b , пример более общего тензорного произведения . Матричный продукт представления вектора-столбца a и представления вектора-строки b дает компоненты их двоичного произведения:

$$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,$$

которое является транспонированием матричного произведения представления вектора-столбца b и представления вектора-строки a ,

$$\mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.$$

Матричные преобразования

Основная статья: Матрица преобразования

Матрица n × n размера M может представлять линейную карту линейной карты и действовать на векторы-строки и столбцы в качестве матрицы преобразования . Для вектора-строки v произведение v M является другим вектором-строкой p :

$$\mathbf {v} M=\mathbf {p} \,.$$

Другая размера n × n матрица Q может действовать на p ,

$$\mathbf {p} Q=\mathbf {t} \,.$$

Тогда можно написать t = p Q = v MQ , так что матричного произведения преобразование MQ отображает v непосредственно в t . Продолжая работать с векторами-строками, матричные преобразования, дополнительно реконфигурирующие n справа от предыдущих выходных данных можно применить -пространство.

Когда вектор-столбец преобразуется в другой вектор-столбец под действием матрицы размера n × n , операция происходит слева:

$$\mathbf {p} ^{\mathrm {T} }=M\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\,,\quad \mathbf {t} ^{\mathrm {T} }=Q\mathbf {p} ^{\mathrm {T} },$$

что приводит к алгебраическому выражению QM v ^Т для составленного вывода из v ^Т вход. Матричные преобразования монтируются вверх слева при использовании вектора-столбца для ввода в матричное преобразование.

См. также

• Ковариантность и контравариантность векторов
• Обозначение индекса
• Вектор единиц
• Вектор однократной записи
• Стандартный единичный вектор
• Единичный вектор

Ссылки

См. Также: Линейная алгебра § Дополнительная литература

• Экслер, Шелдон Джей (1997), Правильно выполненная линейная алгебра (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-98259-0
• Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN  978-0-321-28713-7
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN  978-0-89871-454-8 , заархивировано из оригинала 1 марта 2001 г.
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс/Коул, ISBN  0-534-99845-3
• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд.), Wiley International
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл