Матричный блок

Не путать с единичной матрицей , унитарной матрицей или обратимой матрицей .

В линейной алгебре матричной единицей является матрица только с одним ненулевым элементом со значением 1. Матричная единица с единицей в i -й строке и j -м столбце обозначается как $E_{ij}$. Например, матричный блок 3 на 3 с i = 1 и j = 2 равен $$E_{12}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$$Векторная единица — это стандартный единичный вектор .

Матрица с одной записью обобщает матричную единицу для матриц только с одной ненулевой записью любого значения, не обязательно значения 1.

Характеристики

Набор из m × n матричных единиц является базисом пространства m × n матриц.

Произведение двух матричных единиц одинаковой квадратной формы. $n\times n$ удовлетворяет отношению $$E_{ij}E_{kl}=\delta _{jk}E_{il},$$где $\delta _{jk}$ это дельта Кронекера .

Группа скалярных на n матриц размером n над кольцом R является централизатором подмножества n на n матричных единиц размером в наборе на n матриц размером n над R .

Матричная норма (индуцированная теми же двумя векторными нормами) матричной единицы равна 1.

При умножении на другую матрицу изолируется определенная строка или столбец в произвольном положении. 3х3 Например, для любой матрицы A :

$E_{23}A=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\0&0&0\end{matrix}}\right].$

$AE_{23}=\left[{\begin{matrix}0&0&a_{12}\\0&0&a_{22}\\0&0&a_{32}\end{matrix}}\right].$