Кватернионная матрица

Кватернионная матрица — это матрица , элементами которой являются кватернионы .

Матричные операции

Кватернионы образуют некоммутативное кольцо , и поэтому сложение и умножение для кватернионных матриц можно определить , как и для матриц над любым кольцом.

Добавление . Сумма двух кватернионных матриц A и B определяется обычным способом поэлементным сложением:

$(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.\,$

Умножение . Произведение двух кватернионных матриц A и B также соответствует обычному определению умножения матриц. Чтобы оно было определено, количество столбцов A должно равняться количеству строк B . Тогда запись в i -й строке и j -м столбце произведения представляет собой скалярное произведение -й строки первой i матрицы с j -м столбцом второй матрицы. Конкретно:

$(AB)_{ij}=\sum _{s}A_{is}B_{sj}.\,$

Например, для

$U={\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}\\u_{21}&u_{22}\\\end{pmatrix}},\quad V={\begin{pmatrix}v_{11}&v_{12}\\v_{21}&v_{22}\\\end{pmatrix}},$

продукт

$UV={\begin{pmatrix}u_{11}v_{11}+u_{12}v_{21}&u_{11}v_{12}+u_{12}v_{22}\\u_{21}v_{11}+u_{22}v_{21}&u_{21}v_{12}+u_{22}v_{22}\\\end{pmatrix}}.$

Поскольку кватернионное умножение некоммутативно, необходимо соблюдать осторожность, чтобы сохранить порядок факторов при вычислении произведения матриц.

Идентичностью этого умножения, как и ожидалось , является диагональная матрица I =diag(1, 1,..., 1). Умножение подчиняется обычным законам ассоциативности и дистрибутивности . След матрицы определяется как сумма диагональных элементов, но в общем случае

$\operatorname {trace} (AB)\neq \operatorname {trace} (BA).$

Левое скалярное умножение и правое скалярное умножение определяются формулами

$(cA)_{ij}=cA_{ij},\qquad (Ac)_{ij}=A_{ij}c.\,$

Опять же, поскольку умножение не является коммутативным, необходимо уделить внимание порядку множителей.

Детерминанты

Не существует естественного способа определить определитель для (квадратных) кватернионных матриц так, чтобы значения определителя были кватернионами. Однако можно определить комплексные детерминанты. Кватернион a + bi + cj + dk можно представить как комплексную матрицу 2×2.

${\begin{bmatrix}~~a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}.$

Это определяет отображение Ψ _mn кватернионных матриц m n на в комплексные матрицы размером 2 m на 2 n путем замены каждой записи в кватернионной матрице ее комплексным представлением 2 на 2. Комплекснозначный определитель квадратной кватернионной матрицы A тогда определяется как det(Ψ( A )). Многие из обычных законов для определителей выполняются; в частности, размера n на n матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю.

Приложения

Кватернионные матрицы используются в квантовой механике. и при лечении задач многих тел .