Матрица Уолша

Матрица Адамара 16-го порядка, умноженная на вектор

Естественно упорядоченная матрица Адамара, преобразованная в упорядоченную по последовательности матрицу Уолша. Число смен знака в строке естественно упорядоченной матрицы равно (0, 15, 7, 8, 3, 12, 4, 11, 1, 14, 6, 9, 2, 13, 5, 10), в последовательности -упорядоченная матрица, число смен знаков последовательное.

LDU-разложение матрицы Адамара. Единицы в треугольных матрицах образуют треугольники Серпинского . Элементами диагональной матрицы являются значения из последовательности Гулда со знаками минус, распределенными так же, как в последовательности Туэ-Морса .

Бинарная матрица Адамара как матричное произведение . Двоичная матрица (белый 0, красный 1) — это результат операций в F ₂ . Серые цифры показывают результат операций в $\mathbb {N}$.

Смотрите также: матрица Адамара

В математике матрица Уолша — это определенная квадратная матрица размерности 2. ^н , где n — некоторое натуральное число . Элементами матрицы являются либо +1, либо −1, а ее строки и столбцы ортогональны . Матрица Уолша была предложена Джозефом Л. Уолшем в 1923 году. Каждая строка матрицы Уолша соответствует функции Уолша .

Матрицы Уолша представляют собой частный случай матриц Адамара , в которых строки переставляются так, что количество изменений знака в строке находится в порядке возрастания. Короче говоря, матрица Адамара определяется рекурсивной формулой, приведенной ниже, и является естественно упорядоченной , тогда как матрица Уолша является упорядоченной последовательности . Что сбивает с толку, разные источники называют любую матрицу матрицей Уолша.

Матрица Уолша (и функции Уолша) используются при вычислении преобразования Уолша и имеют приложения для эффективной реализации определенных операций обработки сигналов .

Формула

Матрицы Адамара размерности $2^{k}$ для $k\in \mathbb {N}$ задаются рекурсивной формулой (самый низкий порядок матрицы Адамара равен 2):

${\begin{aligned}H\left(2^{1}\right)&={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},\\H\left(2^{2}\right)&={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}},\end{aligned}}$

и вообще

$H\left(2^{k}\right)={\begin{bmatrix}H\left(2^{k-1}\right)&H\left(2^{k-1}\right)\\H\left(2^{k-1}\right)&-H\left(2^{k-1}\right)\end{bmatrix}}=H(2)\otimes H\left(2^{k-1}\right),$

для 2 ⩽ k ∈ N , где ⊗ обозначает произведение Кронекера .

Перестановка

Мы можем получить матрицу Уолша из матрицы Адамара. Для этого мы сначала генерируем матрицу Адамара для заданного измерения. Затем мы подсчитываем количество смен знака в каждой строке. Наконец, мы переупорядочиваем строки матрицы в соответствии с количеством смен знаков в порядке возрастания.

Например, предположим, что у нас есть матрица Адамара размерности $2^{2}$

$H(4)={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}}$,

где последовательные строки имеют 0, 3, 1 и 2 смены знака (мы подсчитываем, сколько раз мы переключаемся с положительной 1 на отрицательную 1 и наоборот). Если мы переставим строки в порядке последовательности, мы получим:

$W(4)={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\\\end{bmatrix}},$

где последовательные строки имеют 0, 1, 2 и 3 смены знака.

матрицы

Порядок последовательности

Порядок следования строк матрицы Уолша можно получить из порядка матрицы Адамара, сначала применив перестановку с обращением битов , а затем кода Грея перестановку :

$W(8)={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{bmatrix}},$

где последовательные строки имеют 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 изменений знака.

Диадический порядок

$W(8)={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\end{bmatrix}},$

где последовательные строки имеют 0, 1, 3, 2, 7, 6, 4 и 5 изменений знака.

Естественный порядок

$H(8)={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\end{bmatrix}},$

где последовательные строки имеют 0, 7, 3, 4, 1, 6, 2 и 5 изменений знака (матрица Адамара).

См. также

• Вейвлет для волос
• Матрица Квинконкса
• Преобразование Адамара
• Множественный доступ с кодовым разделением каналов
• OEIS : A228539 ( OEIS : A228540 ) – строки (отрицаемых) двоичных матриц Уолша читаются как обратные двоичные числа.
• OEIS : A197818 – антидиагонали отрицательной двоичной матрицы Уолша читаются как двоичные числа.