Матрица сдвига

В математике матрица сдвига — это двоичная матрица с единицами только на супердиагонали или поддиагонали и нулями в других местах. Матрица сдвига U с единицами на супердиагонали является верхней матрицей сдвига . Альтернативная субдиагональная матрица L неудивительно известна как матрица нижнего сдвига . ( i , j )-й компонент U и L — это

$U_{ij}=\delta _{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1},$

где $\delta _{ij}$ – символ дельты Кронекера .

Например, матрицы сдвига 5 × 5 имеют вид

$U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.$

Очевидно, что транспонирование матрицы нижнего сдвига является матрицей верхнего сдвига, и наоборот.

В качестве линейного преобразования нижняя матрица сдвига сдвигает компоненты вектора-столбца на одну позицию вниз, при этом в первой позиции появляется ноль. Верхняя матрица сдвига сдвигает компоненты вектора-столбца на одну позицию вверх, при этом в последней позиции появляется ноль.

Предварительное умножение матрицы A на матрицу нижнего сдвига приводит к тому, что элементы A смещаются вниз на одну позицию, а в верхней строке появляются нули. Постумножение на матрицу нижнего сдвига приводит к сдвигу влево.Подобные операции с матрицей верхнего сдвига приводят к противоположному сдвигу.

Очевидно, что все конечномерные матрицы сдвига нильпотентны ; Матрица n × n сдвига размера S становится нулевой матрицей, если возвести ее в степень ее размерности n .

Матрицы сдвига действуют на пространства сдвига . Бесконечномерные матрицы сдвига особенно важны для изучения эргодических систем . Важными примерами бесконечномерных сдвигов являются сдвиг Бернулли , который действует как сдвиг в пространстве Кантора , и отображение Гаусса , которое действует как сдвиг в пространстве цепных дробей (то есть в пространстве Бэра ).

Характеристики

Пусть L и U — нижняя и верхняя матрицы сдвига размера n × n соответственно. Следующие свойства справедливы как для U , так и для L .Поэтому давайте лишь перечислим свойства U :

• оно ( U ) = 0
• тр ( U ) = 0
• ранг ( U ) знак равно п - 1
• Характеристическими полиномами U ​ являются

  $p_{U}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}.$

• В ^н = 0. Это следует из предыдущего свойства по теореме Кэли–Гамильтона .
• Перманент U равен . 0

Следующие свойства показывают, как U и L связаны :

• л ^Т = В ; В ^Т = Л
• Нулевые пространства U ​ и L равны

  $N(U)=\operatorname {span} \left\{(1,0,\ldots ,0)^{\mathsf {T}}\right\},$

  $N(L)=\operatorname {span} \left\{(0,\ldots ,0,1)^{\mathsf {T}}\right\}.$

• Спектр ​ ​ U и L равен $\{0\}$. Алгебраическая кратность 0 равна n , а геометрическая кратность равна 1. Из выражений для нулевых пространств следует, что (с точностью до масштабирования) единственный собственный вектор для U равен $(1,0,\ldots ,0)^{\mathsf {T}}$, а единственный собственный вектор для L — это $(0,\ldots ,0,1)^{\mathsf {T}}$.
• Для LU и UL у нас есть
  $UL=I-\operatorname {diag} (0,\ldots ,0,1),$
  $LU=I-\operatorname {diag} (1,0,\ldots ,0).$
  Обе эти матрицы идемпотентны , симметричны и имеют тот же ранг, что и U и L.
• л ^{п - а} В ^{п - а} + Л ^а В ^а = У ^{п - а} л ^{п - а} + У ^а л ^а = I ( единичная матрица ) для любого целого числа a от 0 до n включительно.

Если N — любая нильпотентная матрица, то блочно - N аналогична диагональной матрице вида

${\begin{pmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{pmatrix}}$

где каждый из блоков S ₁ , S ₂ , ..., S _r представляет собой матрицу сдвига (возможно, разных размеров).

Примеры

$S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}};\quad A={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.$

Затем,

$SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}};\quad AS={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.$

Очевидно, что существует множество возможных перестановок . Например, $S^{\mathsf {T}}AS$ равна матрице A, сдвинутой вверх и влево по главной диагонали.

$S^{\mathsf {T}}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

См. также

• Матрицы часов и сдвигов
• Нильпотентная матрица
• Подсдвиг конечного типа

Ссылки

• Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN  0-395-14017-Х
• Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Уолтем: издательство Blaisdell Publishing Company , ISBN  978-1114541016

Внешние ссылки

• Сдвиг матрицы — запись в Справочном руководстве по матрицам.