Эргодическая теория

Эргодическая теория — раздел математики , изучающий статистические свойства детерминированных динамических систем ; это изучение эргодичности . В этом контексте «статистические свойства» относятся к свойствам, которые выражаются через поведение средних по времени различных функций вдоль траекторий динамических систем. Понятие детерминированных динамических систем предполагает, что уравнения, определяющие динамику, не содержат каких-либо случайных возмущений, шума и т. д. Таким образом, статистика, которую мы рассматриваем, является свойствами динамики.

Эргодическая теория, как и теория вероятностей , основана на общих понятиях теории меры . Первоначальное его развитие было мотивировано проблемами статистической физики .

Центральным вопросом эргодической теории является поведение динамической системы, когда ей разрешено работать в течение длительного времени. Первым результатом в этом направлении является теорема о возврате Пуанкаре , которая утверждает, что почти все точки в любом подмножестве фазового пространства в конечном итоге вновь посещают это множество. Системы, для которых справедлива теорема возврата Пуанкаре, являются консервативными системами ; таким образом, все эргодические системы консервативны.

Более точную информацию дают различные эргодические теоремы , которые утверждают, что при определенных условиях среднее по времени функции вдоль траекторий существует почти всюду и связано со средним по пространству. Двумя наиболее важными теоремами являются теоремы Биркгофа (1931) и фон Неймана , которые утверждают существование среднего по времени вдоль каждой траектории. Для специального класса эргодических систем это среднее по времени одинаково для почти всех начальных точек: статистически говоря, система, долго эволюционирующая, «забывает» свое начальное состояние. Более сильные свойства, такие как смешивание и равнораспределение , также широко изучались.

Проблема метрической классификации систем — еще одна важная часть абстрактной эргодической теории. Выдающуюся роль в эргодической теории и ее приложениях к случайным процессам играют различные представления об энтропии динамических систем.

Понятия эргодичности и эргодической гипотезы занимают центральное место в приложениях эргодической теории. Основная идея состоит в том, что для некоторых систем среднее по времени их свойств равно среднему по всему пространству. Приложения эргодической теории к другим разделам математики обычно включают установление свойств эргодичности для систем особого вида. В геометрии методы эргодической теории использовались для изучения геодезического потока на римановых многообразиях , начиная с результатов Эберхарда Хопфа для римановых поверхностей отрицательной кривизны. Цепи Маркова образуют общий контекст для приложений в теории вероятностей . Эргодическая теория имеет плодотворные связи с гармоническим анализом , теорией Ли ( теория представлений , решетки в алгебраических группах ), теорией чисел (теория диофантовых приближений , L-функции ).

Эргодические преобразования

Основная статья: Эргодичность

Эргодическая теория часто занимается эргодическими преобразованиями . Интуиция таких преобразований, действующих на данный набор, заключается в том, что они тщательно «перемешивают» элементы этого набора. Например, если набор представляет собой некоторое количество горячей овсянки в миске и если в миску бросить ложку сиропа, то итерации, обратные эргодическому преобразованию овсянки, не позволят сиропу оставаться в локальной субобласти овсянки, но сироп распределится равномерно. В то же время эти итерации не сжимают и не расширяют какую-либо часть овсянки: они сохраняют меру плотности.

Формальное определение следующее:

Пусть T : X → X — преобразование, сохраняющее меру в мерой ( X , , пространстве с µ ) с µ ( X ) = 1 . Тогда T эргодичен , если для любого E из Σ с µ( T ⁻¹ ( E ) Δ E ) = 0 есть E инвариантно ( то ), либо µ ( E ) = 0 , либо µ ( E ) = 1 .

Оператор Δ здесь представляет собой симметричную разность множеств, эквивалентную операции исключающего или в отношении принадлежности к множеству. Условие того, что симметричная разность имеет нулевую меру, называется существенно инвариантным .

Примеры

Эволюция ансамбля классических систем в фазовом пространстве (вверху). Системы представляют собой массивные частицы в одномерной потенциальной яме (красная кривая, нижний рисунок). Первоначально компактный ансамбль со временем закручивается и «растекается» по фазовому пространству. Однако это не эргодическое поведение, поскольку системы не посещают левую потенциальную яму.

• Иррациональное вращение круга + θ, где R / Z , T : x → x θ иррационально , является эргодическим. Это преобразование обладает еще более сильными свойствами уникальной эргодичности , минимальности и равнораспределения . Напротив, если θ = p / q рационально (в самых низких терминах), то T периодично с периодом q и, следовательно, не может быть эргодическим: для любого интервала I длины a , 0 < a < 1/ q , его орбита при Т (то есть объединение I , T ( I ), ..., T ^{q -1} ( I ), который содержит образ I при любом количестве применений T ), представляет собой T -инвариантное по модулю 0 множество, которое представляет собой объединение q интервалов длины a , следовательно, оно имеет меру qa строго между 0 и 1.
• Пусть G — компактная абелева группа , µ — нормированная мера Хаара и T групповой автоморфизм группы G. — Пусть G * — дуальная группа Понтрягина , состоящая из непрерывных характеров группы G , а T * — соответствующий присоединенный автоморфизм группы G *. Автоморфизм T эргодичен тогда и только тогда, когда выполнено равенство ( T *) ^н ( χ ) = χ возможно только тогда, когда = 0 или χ — тривиальный характер группы G. n В частности, если G — n -мерный тор и автоморфизм T представлен унимодулярной матрицей A, то T эргодичен тогда и только тогда, когда ни одно значение собственное A не является корнем из единицы .
• Сдвиг Бернулли эргодичен. В более общем смысле, эргодичность преобразования сдвига, связанного с последовательностью случайных величин iid и некоторыми более общими стационарными процессами, следует из закона нуля–единицы Колмогорова .
• Эргодичность непрерывной динамической системы означает, что ее траектории «растекаются» по фазовому пространству . Система с компактным фазовым пространством, имеющая непостоянный первый интеграл, не может быть эргодической. Это относится, в частности, к гамильтоновым системам с первым интегралом I, функционально независимым от функции Гамильтона H , и компактным множеством уровня X = {( p , q ): H ( p , q ) = E} постоянной энергии. Теорема Лиувилля подразумевает существование конечной инвариантной меры на X , но динамика системы ограничена множествами уровня I на X , следовательно, система обладает инвариантными множествами положительной, но меньшей, чем полной меры. Свойством непрерывных динамических систем, противоположным эргодичности, является полная интегрируемость .

Эргодические теоремы

Пусть T : X → X — преобразование, сохраняющее меру в пространстве с мерой ( X , Σ, µ ), и предположим, что ƒ — µ -интегрируемая функция, т. е. ƒ ∈ L ¹ ( мкм ). Затем мы определяем следующие средние значения :

Среднее по времени: определяется как среднее (если оно существует) по итерациям T, начиная с некоторой начальной точки x :

${\hat {f}}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x).$

Среднее по пространству: если µ ( X ) конечно и ненулевое, мы можем рассмотреть среднее по пространству или фазе ƒ:

${\bar {f}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu .\quad {\text{ (For a probability space, }}\mu (X)=1.)$

В общем, среднее по времени и среднее по пространству может различаться. равно среднему по пространству Но если преобразование эргодично, а мера инвариантна, то среднее по времени почти всюду . Это знаменитая эргодическая теорема, изложенная в абстрактной форме Джорджем Дэвидом Биркгофом . (На самом деле в статье Биркгофа рассматривается не абстрактный общий случай, а только случай динамических систем, возникающих из дифференциальных уравнений на гладком многообразии.) Теорема о равнораспределении является частным случаем эргодической теоремы, занимающейся именно распределением вероятностей на единице интервал.

Точнее, поточечная или сильная эргодическая теорема утверждает, что предел в определении среднего по времени ƒ существует почти для каждого x и что (определенная почти везде) предельная функция ${\hat {f}}$ интегрируемо:

${\hat {f}}\in L^{1}(\mu ).\,$

Более того, ${\hat {f}}$ является T -инвариантом, то есть

${\hat {f}}\circ T={\hat {f}}\,$

выполняется почти всюду, и если µ ( X ) конечно, то нормировка та же:

$\int {\hat {f}}\,d\mu =\int f\,d\mu .$

В частности, если T эргодично, то ${\hat {f}}$ должно быть константой (почти везде), и поэтому получается, что

${\bar {f}}={\hat {f}}\,$

почти везде. Объединяя первое и последнее утверждение и предполагая, что µ ( X ) конечно и ненулевое, получаем, что

$\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu$

для почти всех x , т. е. для всех x, кроме множества меры нулевой .

Для эргодического преобразования среднее по времени почти наверняка равно среднему по пространству.

В качестве примера предположим, что пространство мер ( X , Σ, µ ) моделирует частицы газа, как указано выше, и пусть ƒ( x ) обозначает скорость частицы в положении x . Тогда поточечные эргодические теоремы говорят, что средняя скорость всех частиц в некоторый данный момент времени равна средней скорости одной частицы во времени.

Обобщением теоремы Биркгофа является субаддитивная эргодическая теорема Кингмана .

Вероятностная формулировка: теорема Биркгофа – Хинчина.

Теорема Биркгофа–Хинчина . Пусть ƒ измеримо, E (|ƒ|) < ∞ и T — отображение, сохраняющее меру. Тогда с вероятностью 1 :

$\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f\mid {\mathcal {C}})(x),$

где $E(f|{\mathcal {C}})$ — условное математическое ожидание данной σ-алгебры ${\mathcal {C}}$ инвариантных множеств T .

Следствие ( поточечная эргодическая теорема ): В частности, если T также эргодично, то ${\mathcal {C}}$ является тривиальной σ-алгеброй и, следовательно, с вероятностью 1:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f).$

Средняя эргодическая теорема

Средняя эргодическая теорема фон Неймана справедлива в гильбертовых пространствах.

Пусть U — унитарный оператор в гильбертовом пространстве H ; в более общем смысле, изометрический линейный оператор (то есть не обязательно сюръективный линейный оператор, удовлетворяющий ‖ Ux ‖ = ‖ x ‖ для всех x в H или, что то же самое, удовлетворяющий U * U = I, но не обязательно UU * = I). Пусть P — ортогональный проектор на { ψ ∈ H | Uψ = ψ} = ker( I − U ).

Тогда для любого x в H имеем:

$\lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}x=Px,$

где предел относится к норме на H . Другими словами, последовательность средних

${\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}$

сходится к P в сильной операторной топологии .

Действительно, нетрудно видеть, что в этом случае любое $x\in H$ допускает ортогональное разложение на части из $\ker(I-U)$ и ${\overline {\operatorname {ran} (I-U)}}$ соответственно. Первая часть инвариантна во всех частичных суммах как $N$ растет, а для последней части из телескопического ряда можно было бы иметь:

$\lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}(I-U)=\lim _{N\to \infty }{1 \over N}(I-U^{N})=0$

Эта теорема специализируется на случае, когда гильбертово пространство H состоит из L ² функции в пространстве с мерой, а U — оператор вида

$Uf(x)=f(Tx)\,$

где T — сохраняющий меру эндоморфизм X , который в приложениях рассматривается как представляющий временной шаг дискретной динамической системы. Затем эргодическая теорема утверждает, что среднее поведение функции ƒ на достаточно больших временных масштабах аппроксимируется ортогональной составляющей ƒ, которая инвариантна во времени.

В другой форме средней эргодической теоремы пусть U _t — сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов на H . Тогда оператор

${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}\,dt$

сходится в сильной операторной топологии при T → ∞. Фактически этот результат распространяется и на случай сильно непрерывной однопараметрической полугруппы сжимающих операторов в рефлексивном пространстве.

Примечание. Некоторое представление о средней эргодической теореме можно получить, рассмотрев случай, когда комплексные числа единичной длины рассматриваются как унитарные преобразования на комплексной плоскости (путем левого умножения). Если мы выберем одно комплексное число единичной длины (которое мы думаем как U ), интуитивно понятно, что его степени заполнят круг. Поскольку круг симметричен относительно 0, имеет смысл, что средние значения степеней U будут сходиться к 0. Кроме того, 0 является единственной фиксированной точкой U , и поэтому проекция на пространство фиксированных точек должна быть нулевым оператором. (что согласуется с только что описанным пределом).

Сходимость эргодических средних в L ^п нормы

Пусть ( X , Σ, µ , сохраняющим меру ) — вероятностное пространство, как указано выше, с преобразованием T , и пусть 1 ⩽ p ⩽ ∞. Условное математическое ожидание относительно под-σ-алгебры Σ _T -инвариантных множеств T представляет собой линейный проектор E _T нормы 1 банахова пространства L ^п ( X , Σ, µ ) на его замкнутое подпространство L ^п ( Икс , Σ _Т , μ ). Последнее также можно охарактеризовать как пространство всех T -инвариантов L ^п -функции на X . Эргодические средства как линейные операторы на L ^п ( X , Σ, µ ) также имеют единичную операторную норму; , как простое следствие теоремы Биркгофа–Хинчина, сходятся к проектору ET _в сильной операторной топологии L и ^п если 1 ⩽ p ⩽ ∞, и в слабой операторной топологии, если p = ∞. Более верно, если 1 < p ≤ ∞, то теорема Винера–Йошиды–Какутани о доминируемой эргодической сходимости утверждает, что эргодические средние ƒ ∈ L ^п преобладают в L ^п ; однако если ƒ ∈ L ¹ , эргодические средние могут не быть эквидомонируемыми в L ^п . Наконец, если предполагается, что ƒ принадлежит к классу Зигмунда, то есть |ƒ| бревно ⁺ (|ƒ|) интегрируема, то эргодические средние даже доминируют в L ¹ .

Время пребывания

Пусть ( X , Σ, µ ) — пространство с мерой такое, что µ ( X ) конечно и ненулевое. Время, проведенное в измеримом множестве A, называется временем пребывания . Непосредственным следствием эргодической теоремы является то, что в эргодической системе относительная мера A равна среднему времени пребывания :

${\frac {\mu (A)}{\mu (X)}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int \chi _{A}\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\chi _{A}(T^{k}x)$

для всех x, множества меры нуль, где χ _A — индикаторная функция A . кроме

Времена появления измеримого множества A определяются как набор k ₁ , k ₂ , k ₃ , ..., моментов k таких, что T ^к ( x ) находится в A , отсортировано в порядке возрастания. Разности между последовательными моментами появления i ₌ k i _- k i _{-1 называются} временем повторения A . R Другое следствие эргодической теоремы состоит в том, что среднее время повторения A обратно пропорционально мере A , если предположить, что что начальная точка x находится в A , так что k ₀ = 0.

${\frac {R_{1}+\cdots +R_{n}}{n}}\rightarrow {\frac {\mu (X)}{\mu (A)}}\quad {\text{(almost surely)}}$

(См. почти наверняка .) То есть, чем меньше А , тем больше времени требуется, чтобы вернуться к нему.

Эргодические потоки на многообразиях

Эргодичность геодезического потока на компактных римановых поверхностях переменной отрицательной кривизны и на компактных многообразиях постоянной отрицательной кривизны любой размерности была доказана Эберхардом Хопфом в 1939 г., хотя частные случаи изучались и раньше: см., например, бильярд Адамара (1898 г.). и Артинский бильярд (1924). Связь между геодезическими потоками на римановых поверхностях и однопараметрическими подгруппами на SL(2, R ) была описана в 1952 г. С. В. Фоминым и И. М. Гельфандом . В статье о потоках Аносова приводится пример эргодических потоков на SL(2, R ) и на римановых поверхностях отрицательной кривизны. Большая часть описанных там разработок обобщается на гиперболические многообразия, поскольку их можно рассматривать как факторы гиперболического в полупростой группе Ли пространства по действию решетки SO (n,1) . Эргодичность геодезического потока на римановых симметричных пространствах была продемонстрирована Ф.И. Маутнером в 1957 г. В 1967 г. Д.В. Аносов и Я. Г. Синай доказал эргодичность геодезического потока на компактных многообразиях отрицательной переменной секционная кривизна . Простой критерий эргодичности однородного потока на однородном пространстве полупростой группы Ли был дан Кэлвином К. Муром в 1966 году. Многие теоремы и результаты из этой области исследований типичны для теории жесткости .

В 1930-х годах Г. А. Хедлунд доказал, что поток орициклов на компактной гиперболической поверхности минимален и эргодичен. Уникальная эргодичность потока была установлена ​​Гиллелем Фюрстенбергом в 1972 году. Теоремы Ратнера дают главное обобщение эргодичности для унипотентных потоков на однородных пространствах вида Γ \ G , где G — группа Ли , а Γ — решетка в G .

За последние 20 лет было опубликовано множество работ, пытающихся найти теорему классификации мер, аналогичную теоремам Ратнера , но для диагонализуемых действий, мотивированных гипотезами Фюрстенберга и Маргулиса . Важный частичный результат (решение этих гипотез с дополнительным предположением о положительной энтропии) был доказан Илоном Линденштраусом он был награжден медалью Филдса , и за этот результат в 2010 году.

См. также

• Теория хаоса
• Эргодическая гипотеза
• Эргодический процесс
• Принцип Краскала
• Эффект Линди
• Время Ляпунова – предел предсказуемости системы .
• Максимальная эргодическая теорема
• Теорема Орнштейна об изоморфизме
• Статистическая механика
• Символическая динамика

Исторические ссылки

• Биркгоф, Джордж Дэвид (1931), «Доказательство эргодической теоремы» , Proc. Натл. акад. наук. США , том. 17, нет. 12, стр. 656–660, Bibcode : 1931PNAS...17..656B , doi : 10.1073/pnas.17.12.656 , PMC   1076138 , PMID   16577406 .
• Биркгоф, Джордж Дэвид (1942), «Что такое эргодическая теорема?», Amer. Математика. Ежемесячно , вып. 49, нет. 4, стр. 222–226, номер документа : 10.2307/2303229 , JSTOR   2303229 .
• фон Нейман, Джон (1932), «Доказательство квазиэргодической гипотезы», Proc. Натл. акад. наук. США , том. 18, нет. 1, стр. 70–82, Bibcode : 1932PNAS...18...70N , doi : 10.1073/pnas.18.1.70 , PMC   1076162 , PMID   16577432 .
• фон Нейман, Джон (1932), «Физические приложения эргодической гипотезы», Proc. Натл. акад. наук. США , том. 18, нет. 3, стр. 263–266, Bibcode : 1932PNAS...18..263N , doi : 10.1073/pnas.18.3.263 , JSTOR   86260 , PMC   1076204 , PMID   16587674 .
• Хопф, Эберхард (1939), «Статистика геодезических линий в многообразиях отрицательной кривизны», Лейпциг Бер. Переговоры Саксонский. Академическая наука , том. 91, стр. 261–304 .
• Фомин Сергей Владимирович ; Гельфанд И. М. (1952), "Геодезические потоки на многообразиях постоянной отрицательной кривизны", Успехи матем. Наук , вып. 7, нет. 1, стр. 118–137 .
• Маутнер, Ф.И. (1957), "Геодезические потоки в симметричных римановых пространствах", Ann. Математика. , том. 65, нет. 3, стр. 416–431, номер документа : 10.2307/1970054 , JSTOR   1970054 .
• Мур, CC (1966), «Эргодичность потоков в однородных пространствах», Amer. Дж. Математика. , том. 88, нет. 1, стр. 154–178, номер документа : 10.2307/2373052 , JSTOR   2373052 .

Современные ссылки

• Д. В. Аносов (2001) [1994], «Эргодическая теория» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Эта статья включает в себя материал из эргодической теоремы по PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Владимир Игоревич Арнольд и Андре Авез, Эргодические проблемы классической механики . Нью-Йорк: WA Бенджамин. 1968.
• Лео Брейман, Вероятность . Оригинальное издание, опубликованное Аддисоном-Уэсли, 1968 г.; перепечатано Обществом промышленной и прикладной математики, 1992 г. ISBN   0-89871-296-3 . (См. главу 6.)
• Уолтерс, Питер (1982), Введение в эргодическую теорию , Тексты для аспирантов по математике, том. 79, Шпрингер-Верлаг , ISBN  0-387-95152-0 , Збл   0475.28009
• Бедфорд, Тим; Кин, Майкл; Серия, Кэролайн, ред. (1991), Эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства , Oxford University Press, ISBN  0-19-853390-Х (Обзор вопросов эргодической теории; с упражнениями.)
• Карл Петерсен. Эргодическая теория (Кембриджские исследования по высшей математике). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. 1990.
• Франсуаза Пен, Стохастические свойства динамических систем , Специализированные курсы SMF, Том 30, 2022
• Джозеф М. Розенблатт и Мате Вейрдл, Поточечные эргодические теоремы посредством гармонического анализа , (1993), опубликованные в «Эргодической теории и ее связи с гармоническим анализом», Труды Александрийской конференции 1993 года , (1995) Карл Э. Петерсен и Ибрагим А. Салама, ред. . , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, ISBN   0-521-45999-0 . (Обширный обзор эргодических свойств обобщений теоремы о карт равнораспределении сдвига на единичном интервале . Основное внимание уделяется методам, разработанным Бургеном.)
• А. Н. Ширяев , Вероятность , 2-е изд., Springer 1996, Sec. В.3. ISBN   0-387-94549-0 .
• Зунд, Джозеф Д. (2002), « Джордж Дэвид Биркгоф и Джон фон Нейман: вопрос приоритета и эргодические теоремы, 1931–1932 », Historia Mathematica , 29 (2): 138–156, doi : 10.1006/hmat. 2001.2338 (Подробное обсуждение приоритета открытия и публикации эргодических теорем Биркгофа и фон Неймана на основе письма последнего своему другу Говарду Перси Робертсону.)
• Анджей Ласота, Майкл К. Макки, Хаос, фракталы и шум: стохастические аспекты динамики . Второе издание, Springer, 1994.
• Манфред Эйнзидлер и Томас Уорд , Эргодическая теория с точки зрения теории чисел . Спрингер, 2011.
• Джейн Хокинс , Эргодическая динамика: от базовой теории к приложениям , Springer, 2021. ISBN   978-3-030-59242-4

Внешние ссылки

• Эргодическая теория (16 июня 2015 г.) Заметки Космы Рохиллы Шализи
• Эргодическая теорема прошла проверку Из мира физики