Искусство бильярда

В математике и физике — бильярд Артина это тип динамического бильярда, впервые изученный Эмилем Артином в 1924 году. Он описывает геодезическое движение свободной частицы на некомпактной римановой поверхности. $\mathbb {H} /\Gamma ,$ где $\mathbb {H}$ — верхняя полуплоскость, наделенная метрикой Пуанкаре и $\Gamma =PSL(2,\mathbb {Z} )$ это модульная группа . Его можно рассматривать как движение по фундаментальной области модулярной группы с отождествленными сторонами.

Система примечательна тем, что это точно разрешимая система, сильно хаотичная : она не только эргодична , но и является сильным перемешиванием . По сути, это пример потока Аносова . В статье Артина использовалась символическая динамика для анализа системы .

Квантово -механическая версия биллиарда Артина также точно разрешима. Спектр собственных значений состоит из связанного состояния и непрерывного спектра выше энергии $E=1/4$. Волновые функции задаются функциями Бесселя .

Экспозиция

Изучаемое движение представляет собой движение свободной частицы, скользящей без трения, а именно движение, имеющее гамильтониан

$H(p,q)={\frac {1}{2m}}p_{i}p_{j}g^{ij}(q)$

где m — масса частицы, $q^{i},i=1,2$ – координаты на многообразии, $p_{i}$ являются сопряженными импульсами :

$p_{i}=mg_{ij}{\frac {dq^{j}}{dt}}$

и

$ds^{2}=g_{ij}(q)\,dq^{i}\,dq^{j}$

— метрический тензор на многообразии. Поскольку это гамильтониан свободных частиц, решение уравнений движения Гамильтона-Якоби просто задается геодезическими на многообразии.

В случае бильярда Артина метрика задается канонической метрикой Пуанкаре

$ds^{2}={\frac {dy^{2}}{y^{2}}}$

в верхней полуплоскости. Некомпактная риманова поверхность ${\mathcal {H}}/\Gamma$ является симметричным пространством и определяется как частное верхней полуплоскости по модулю действия элементов $PSL(2,\mathbb {Z} )$ действуют как преобразования Мёбиуса . Набор

$U=\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\frac {1}{2}}\right\}$

является фундаментальной областью для этого действия.

Разумеется, многообразие имеет один узел возврата . Это то же самое многообразие, если рассматривать его как комплексное многообразие , то есть пространство, на котором эллиптические кривые и модулярные функции изучаются .

Ссылки

• Э. Артин, «Механическая система с квазиэргодическими орбитами», каф. сем. Гамбургский университет , 3 (1924), стр. 170–175.