Метрика Пуанкаре

В математике метрика Пуанкаре , названная в честь Анри Пуанкаре , — это метрический тензор, описывающий двумерную поверхность постоянной отрицательной кривизны . Это естественная метрика, обычно используемая в различных вычислениях в гиперболической геометрии или на римановых поверхностях .

В двумерной гиперболической геометрии обычно используются три эквивалентных представления . Одна из них — модель полуплоскости Пуанкаре , определяющая модель гиперболического пространства в верхней полуплоскости . Модель диска Пуанкаре определяет модель гиперболического пространства на единичном диске . Диск и верхняя полуплоскость связаны конформным отображением , а изометрии задаются преобразованиями Мёбиуса . Третье представление находится на проколотом диске отношения для q -аналогов , где иногда выражаются . Эти различные формы рассматриваются ниже.

Обзор метрик на римановых поверхностях

Основная статья: метрический тензор

Метрику на комплексной плоскости вообще можно выразить в виде

$ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dz\,d{\overline {z}}$

где λ — действительная положительная функция $z$ и ${\overline {z}}$. Таким образом, длина кривой γ в комплексной плоскости определяется выражением

$l(\gamma )=\int _{\gamma }\lambda (z,{\overline {z}})\,|dz|$

Площадь подмножества комплексной плоскости определяется выражением

${\text{Area}}(M)=\int _{M}\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,{\frac {i}{2}}\,dz\wedge d{\overline {z}}$

где $\wedge$ внешний продукт, используемый для построения объемной формы . Определитель метрики равен $\lambda ^{4}$, поэтому квадратный корень из определителя равен $\lambda ^{2}$. Евклидова форма объема на плоскости равна $dx\wedge dy$ и так у человека есть

$dz\wedge d{\overline {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-i\,dy)=-2i\,dx\wedge dy.$

Функция $\Phi (z,{\overline {z}})$ называется потенциалом метрики, если

$4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\Phi (z,{\overline {z}})=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).$

Оператор Лапласа – Бельтрами имеет вид

$\Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right).$

Гауссова кривизна метрики определяется выражением

$K=-\Delta \log \lambda .\,$

Эта кривизна составляет половину скалярной кривизны Риччи .

Изометрии сохраняют углы и длины дуг. На римановых поверхностях изометрии идентичны изменениям координат: то есть и оператор Лапласа – Бельтрами, и кривизна инвариантны относительно изометрий. Так, например, пусть S — риманова поверхность с метрикой $\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dz\,d{\overline {z}}$ и T — риманова поверхность с метрикой $\mu ^{2}(w,{\overline {w}})\,dw\,d{\overline {w}}$. Затем карта

$f:S\to T\,$

с $f=w(z)$ является изометрией тогда и только тогда, когда она конформна и если

$\mu ^{2}(w,{\overline {w}})\;{\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial {\overline {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})$.

Здесь требование конформности отображения есть не что иное, как утверждение

$w(z,{\overline {z}})=w(z),$

то есть,

${\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}w(z)=0.$

Метрический и объемный элемент на плоскости Пуанкаре

Метрический тензор Пуанкаре в модели полуплоскости Пуанкаре задается в верхней полуплоскости H как

$ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{y^{2}}}$

где мы пишем $dz=dx+i\,dy$ и $d{\overline {z}}=dx-i\,dy$. Этот метрический тензор инвариантен относительно действия SL(2, R ) . То есть, если мы напишем

$z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}}$

для $ad-bc=1$ тогда мы сможем это решить

$x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}}$

и

$y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}}.$

Бесконечно малое преобразуется как

$dz'={\frac {\partial }{\partial z}}{\Big (}{\frac {az+b}{cz+d}}{\Big )}\,dz={\frac {a(cz+d)-c(az+b)}{(cz+d)^{2}}}\,dz={\frac {acz+ad-caz-cb}{(cz+d)^{2}}}\,dz={\frac {ad-cb}{(cz+d)^{2}}}\,dz\,\,{\overset {ad-cb=1}{=}}\,\,{\frac {1}{(cz+d)^{2}}}\,dz={\frac {dz}{(cz+d)^{2}}}$

и так

$dz'd{\overline {z}}'={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}$

тем самым становится ясно, что метрический тензор инвариантен относительно SL(2, R ). Действительно,

${\frac {dz'\,d{\overline {z}}'}{y'^{2}}}={\frac {\frac {dzd{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}{\frac {y^{2}}{|cz+d|^{4}}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{y^{2}}}.$

Инвариантный элемент объема определяется выражением

$d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.$

Метрика определяется выражением

$\rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|}}$

$\rho (z_{1},z_{2})=\log {\frac {|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|+|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|-|z_{1}-z_{2}|}}$

для $z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} .$

Другая интересная форма метрики может быть представлена ​​через перекрестное отношение . Учитывая любые четыре точки $z_{1},z_{2},z_{3}$ и $z_{4}$ в компактифицированной комплексной плоскости ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \},$ перекрестное отношение определяется как

$(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{1}-z_{4})(z_{2}-z_{3})}}.$

Тогда метрика определяется выражением

$\rho (z_{1},z_{2})=\log \left(z_{1},z_{2};z_{1}^{\times },z_{2}^{\times }\right).$

Здесь, $z_{1}^{\times }$ и $z_{2}^{\times }$ являются конечными точками на действительной числовой прямой геодезического соединения $z_{1}$ и $z_{2}$. Они пронумерованы так, что $z_{1}$ лежит между $z_{1}^{\times }$ и $z_{2}$.

Геодезическими для этого метрического тензора являются дуги окружностей , перпендикулярные действительной оси (полукруги, начало которых находится на действительной оси) и прямые вертикальные линии, заканчивающиеся на действительной оси.

Конформное отображение плоскости на диск

Верхняя полуплоскость может быть конформно отображена на единичный круг с помощью преобразования Мёбиуса.

$w=e^{i\phi }{\frac {z-z_{0}}{z-{\overline {z_{0}}}}}$

где w — точка единичного круга, соответствующая точке z в верхней полуплоскости. В этом отображении константой z ₀ может быть любая точка верхней полуплоскости; он будет сопоставлен с центром диска. Реальная ось $\Im z=0$ отображается на краю единичного диска $|w|=1.$ Постоянное действительное число $\phi$ может использоваться для вращения диска на произвольную фиксированную величину.

Каноническое отображение

$w={\frac {iz+1}{z+i}}$

что переносит i в центр диска, а 0 — в низ диска.

Метрический и объемный элемент на диске Пуанкаре

Метрический тензор Пуанкаре в модели диска Пуанкаре задан на открытом единичном круге.

$U=\left\{z=x+iy:|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<1\right\}$

к

$ds^{2}={\frac {4(dx^{2}+dy^{2})}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {4dz\,d{\overline {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.$

Элемент объема определяется выражением

$d\mu ={\frac {4dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {4dx\,dy}{(1-|z|^{2})^{2}}}.$

Метрика Пуанкаре имеет вид

$\rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-z_{1}{\overline {z_{2}}}}}\right|$

для $z_{1},z_{2}\in U.$

Геодезическими для этого метрического тензора являются дуги окружности, концы которых ортогональны границе диска. Геодезические потоки на диске Пуанкаре — это потоки Аносова ; в этой статье развиваются обозначения таких потоков.

Модель проколотого диска

J-инвариант в координатах проколотого диска; то есть в зависимости от нома.

J-инвариант в координатах диска Пуанкаре; обратите внимание, что этот диск повернут на 90 градусов от канонических координат, приведенных в этой статье.

Второе распространенное отображение верхней полуплоскости на диск — это q-отображение

$q=\exp(i\pi \tau )$

где q — ном , а τ — отношение полупериода :

$\tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$ .

В обозначениях предыдущих разделов τ — координата в верхней полуплоскости. $\Im \tau >0$. Отображение происходит на проколотом диске, поскольку значение q =0 отсутствует в образе отображения.

Метрика Пуанкаре в верхней полуплоскости индуцирует метрику на q-круге

$ds^{2}={\frac {4}{|q|^{2}(\log |q|^{2})^{2}}}dq\,d{\overline {q}}$

Потенциал метрики

$\Phi (q,{\overline {q}})=4\log \log |q|^{-2}$

Черная лемма

Метрика Пуанкаре убывает по расстоянию на гармонических функциях. Это расширение леммы Шварца , называемой теоремой Шварца–Альфорса–Пика .

См. также

• Фуксова группа
• Фуксова модель
• Кляйнианская группа
• Кляйнианская модель
• Модель диска Пуанкаре
• Модель полуплоскости Пуанкаре
• Премьер геодезический

Ссылки

• Гершель М. Фаркас и Ирвин Кра, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN   0-387-90465-4 .
• Юрген Йост, Компактные римановы поверхности (2002), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN   3-540-43299-X (см. раздел 2.3) .
• Светлана Каток , Фуксовы группы (1992), University of Chicago Press, Чикаго ISBN   0-226-42583-5 (содержит простое и легко читаемое введение.)