Премьер геодезический

В математике простая геодезическая на гиперболической поверхности — это примитивная замкнутая геодезическая , т. е. геодезическая, представляющая собой замкнутую кривую , прочерчивающую свой образ ровно один раз. Такие геодезические называются простыми геодезическими, поскольку, среди прочего, они подчиняются асимптотическому закону распределения, аналогичному теореме о простых числах .

Технический опыт

Мы кратко приведем некоторые факты из гиперболической геометрии , которые помогут понять простые геодезические.

Гиперболические изометрии

Рассмотрим полуплоскую модель Пуанкаре H двумерной гиперболической геометрии . Учитывая фуксову группу , то есть дискретную подгруппу Γ в PSL(2, R ) , Γ действует на H посредством дробно-линейного преобразования . Каждый элемент PSL(2, R ) фактически определяет изометрию H , поэтому Γ является группой изометрий H .

Существует три типа трансформации: гиперболическая, эллиптическая и параболическая. (Локсодромные преобразования отсутствуют, поскольку мы работаем с действительными числами .) Тогда элемент γ из Γ имеет две различные вещественные неподвижные точки тогда и только тогда, когда γ гиперболичен. см. в разделах «Классификация изометрий» и «Фиксированные точки изометрий» Более подробную информацию .

Закрытые геодезические

Теперь рассмотрим фактор-поверхность M = Γ\ H . Следующее описание относится к модели верхней полуплоскости гиперболической плоскости . Это гиперболическая поверхность, по сути, риманова поверхность . Каждый гиперболический элемент h из Г определяет замкнутую геодезическую Г\ Н : сначала, соединяя геодезическую полуокружность, соединяющую неподвижные точки h , мы получаем геодезическую на Н, называемую осью h , и, проецируя эту геодезическую на М , мы получить геодезическую на Γ\ H .

Эта геодезическая замкнута, поскольку 2 точки, находящиеся на одной орбите под действием Γ, по определению проектируются в одну и ту же точку на факторе.

Можно показать, что это дает соответствие 1–1 между замкнутыми геодезическими на Г \ Н и классами гиперболической сопряженности в Г. Тогда простые геодезические — это те геодезические, которые прослеживают свой образ ровно один раз — алгебраически они соответствуют примитивным гиперболическим классам сопряженности, т. е. классам сопряженности {γ}, таким, что γ не может быть записано как нетривиальная степень другого элемента из Γ.

Применение простых геодезических

Важность простых геодезических проистекает из их связи с другими разделами математики, особенно с динамическими системами , эргодической теорией и теорией чисел , а также с римановыми поверхностями самими . Эти приложения часто пересекаются в нескольких различных областях исследований.

Динамические системы и эргодическая теория

В динамических системах замкнутые геодезические представляют собой периодические орбиты геодезического потока .

Теория чисел

В теории чисел были доказаны различные «теоремы о простых геодезических», очень похожие по духу на теорему о простых числах . Точнее, мы обозначим π( x ) количество замкнутых геодезических, норма которых (функция, связанная с длиной) меньше или равна x ; тогда π( x ) ~ x /ln( x ). Этот результат обычно приписывают Атле Сельбергу . В своей докторской степени 1970 года. В своей диссертации Григорий Маргулис доказал аналогичный результат для поверхностей переменной отрицательной кривизны, а в своей докторской диссертации 1980 г. В своей диссертации Питер Сарнак доказал аналог теоремы Чеботарёва о плотности .

Есть и другие сходства с теорией чисел — оценки ошибок улучшаются почти так же, как улучшаются оценки ошибок в теореме о простых числах. Кроме того, существует дзета-функция Сельберга , которая формально похожа на обычную дзета-функцию Римана и разделяет многие ее свойства.

Алгебраически простые геодезические могут быть подняты на более высокие поверхности во многом так же, как простые идеалы в кольце целых чисел числового поля могут быть разбиты (факторизованы) в расширении Галуа . Для получения более подробной информации см. Карта покрытия и Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа .

Теория римановой поверхности

Замкнутые геодезические использовались для изучения римановых поверхностей; действительно, одно из поверхности первоначальных определений Риманом рода было в терминах простых замкнутых кривых. Замкнутые геодезические сыграли важную роль в изучении Лапласа , арифметических собственных значений операторов фуксовых групп и пространств Тейхмюллера .

См. также