Бернхард Риман

Бернхард Риман
Бернхард Риман
	Риман ок. 1863 г.
Рожденный	Георг Фридрих Бернхард Риман ; 17 сентября 1826 г. ; Бреселенц , Королевство Ганновер (современная Германия)
Умер	20 июля 1866 г. (39 лет) ( ; Селаска , Королевство Италия
Альма-матер	Геттингенский университет ; Берлинский университет ;
Известный	Посмотреть список
	Научная карьера
Поля	Математика ; Физика ;
Учреждения	Геттингенский университет
Тезис	Основы общей теории функций переменной комплексной величины (1851 г.)
Докторантура	Карл Фридрих Гаусс
Другие научные консультанты	Готхольд Эйзенштейн ; Мориц А. Стерн ; Карл ВБ Гольдшмидт ;
Известные студенты	Густав Рох ; Эдуард Селлинг
Подпись

Георг Фридрих Бернхард Риман ( англ. Немецкий: [ˈɡeːɔʁk ˈfʁiːdʁɪç ˈbɛʁnhaʁt ˈʁiːman] ^ⓘ; ^[1]^[2]17 сентября 1826 — 20 июля 1866) — немецкий математик , внесший глубокий вклад в анализ , теорию чисел и дифференциальную геометрию . В области реального анализа он наиболее известен первой строгой формулировкой интеграла, интеграла Римана , и своими работами над рядами Фурье . Его вклад в комплексный анализ включает, прежде всего, введение римановых поверхностей , открывающих новые возможности в естественной, геометрической трактовке комплексного анализа. Его статья 1859 года о функции подсчета простых чисел , содержащая оригинальное утверждение гипотезы Римана , считается основополагающей статьей аналитической теории чисел . Своим новаторским вкладом в дифференциальную геометрию Риман заложил основы математики общей теории относительности . ^[3] Многие считают его одним из величайших математиков всех времен. ^[4]^[5]

Биография [ править ]

Ранние годы [ править ]

Риман родился 17 сентября 1826 года в Бреселенце , деревне недалеко от Данненберга в Ганноверском королевстве . Его отец, Фридрих Бернхард Риман, был бедным лютеранским пастором в Бреселенце, сражавшимся в наполеоновских войнах . Его мать, Шарлотта Эбелл, умерла в 1846 году. Риман был вторым из шести детей, застенчивым и страдавшим многочисленными нервными срывами. Риман с раннего возраста проявлял исключительный математический талант, например, вычислительные способности, но страдал робостью и страхом выступать перед публикой.

Образование [ править ]

В 1840 году Риман уехал в Ганновер, чтобы жить с бабушкой и посещать лицей (в средней школе), потому что школа такого типа не была доступна из его родной деревни. После смерти бабушки в 1842 году он перешёл в Йоханнеум Люнебург , среднюю школу в Люнебурге . Там Риман усиленно изучал Библию , но часто отвлекался на математику. Его учителя поражались его способности выполнять сложные математические операции, в которых он часто превосходил в знаниях своего преподавателя. В 1846 году, в возрасте 19 лет, он начал изучать филологию и христианское богословие , чтобы стать пастором и помогать семье с финансами.

Весной 1846 года его отец, собрав достаточно денег, отправил Римана в Гёттингенский университет , где тот планировал получить степень по теологии . Однако, оказавшись там, он начал изучать математику под руководством Карла Фридриха Гаусса (в частности, его лекции по методу наименьших квадратов ). Гаусс рекомендовал Риману оставить богословскую работу и заняться математикой; получив одобрение отца, Риман в 1847 году перешел в Берлинский университет . ^[6]Во время его учебы Карл Густав Якоб Якоби , Питер Густав Лежен Дирихле , Якоб Штайнер и Готхольд Эйзенштейн преподавали . Он пробыл в Берлине два года и вернулся в Геттинген в 1849 году.

Академия [ править ]

Риман прочитал свои первые лекции в 1854 году, которые основали область римановой геометрии и тем самым подготовили почву для Альберта Эйнштейна общей теории относительности . ^[7]В 1857 году была предпринята попытка повысить Римана до статуса экстраординарного профессора Геттингенского университета . Хотя эта попытка провалилась, в результате Риман наконец получил регулярную зарплату. В 1859 году, после смерти Дирихле (занимавшего кафедру Гаусса в Геттингенском университете), он был назначен руководителем математического факультета Геттингенского университета. Он также был первым, кто предложил использовать измерения выше трех или четырех для описания физической реальности. ^[8]^[7]

В 1862 году он женился на Элизе Кох; их дочь Ида Шиллинг родилась 22 декабря 1862 года. ^[9]

Протестантская семья и Италии в смерть

Риман бежал из Геттингена, когда там столкнулись армии Ганновера и Пруссии в 1866 году. ^[10] Он умер от туберкулеза во время своего третьего путешествия в Италию в Селаске (ныне деревня Вербания на озере Маджоре ), где был похоронен на кладбище в Биганзоло (Вербания).

Риман был преданным христианином, сыном протестантского священника, и рассматривал свою жизнь математика как еще один способ служения Богу. Всю свою жизнь он твердо придерживался своей христианской веры и считал ее самым важным аспектом своей жизни. В момент своей смерти он читал молитву Господню вместе со своей женой и умер прежде, чем они закончили читать молитву. ^[11]Тем временем в Геттингене его экономка выбросила некоторые бумаги из его офиса, в том числе большую часть неопубликованных работ. Риман отказался опубликовать неполную работу, и некоторые глубокие идеи могли быть утеряны. ^[10]

Надгробие Римана в Биганзоло (Италия) относится к Римлянам 8:28 : ^[12]

Здесь покоится в Боге

Георг Фридрих Бернхард Риман
Профессор в Геттингене
родился в Бреселенце 17 сентября 1826 г.
умер в Селаске 20 июля 1866 г.

Для тех, кто любит Бога, все должно работать вместе к лучшему.

Риманова геометрия [ править ]

Опубликованные работы Римана открыли области исследований, сочетающие анализ с геометрией. Впоследствии они станут основными частями теорий римановой геометрии , алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий . Теория римановых поверхностей была разработана Феликсом Клейном и особенно Адольфом Гурвицем . Эта область математики является частью основы топологии и до сих пор по-новому применяется к математической физике .

В 1853 году Гаусс попросил своего ученика Римана подготовить докторскую диссертацию по основам геометрии. В течение многих месяцев Риман развивал свою теорию высших размерностей и 10 июня 1854 года прочитал в Гёттингене лекцию под названием « О гипотезах, лежащих в основе геометрии» . ^[13]^[14]^[15]Он был опубликован Дедекиндом лишь двенадцать лет спустя, в 1868 году, через два года после его смерти. Его раннее признание, похоже, было медленным, но теперь оно признано одной из самых важных работ по геометрии.

Предметом, основанным в этой работе, является риманова геометрия . Риман нашел правильный способ распространить на n измерений дифференциальную геометрию поверхностей, что доказал сам Гаусс в своей теореме egregium . Фундаментальные объекты называются римановой метрикой и тензором кривизны Римана . Для поверхностного (двумерного) случая кривизна в каждой точке может быть сведена к числу (скаляру), при этом поверхности постоянной положительной или отрицательной кривизны являются моделями неевклидовых геометрий .

Метрика Римана — это набор чисел в каждой точке пространства (т. е. тензор ), который позволяет измерять скорость на любой траектории, интеграл которой дает расстояние между конечными точками траектории. Например, Риман обнаружил, что в четырех пространственных измерениях нужно десять чисел в каждой точке, чтобы описать расстояния и кривизны многообразия , независимо от того, насколько оно искажено.

Комплексный анализ [ править ]

В своей диссертации он заложил геометрическую основу для комплексного анализа с помощью римановых поверхностей , благодаря которым многозначные функции, такие как логарифм (с бесконечным количеством листов) или квадратный корень (с двумя листами), могли стать взаимно однозначными функциями . Комплексные функции являются гармоническими функциями. ^{[ нужна цитата ]}(то есть они удовлетворяют уравнению Лапласа и, следовательно, уравнениям Коши – Римана ) на этих поверхностях и описываются расположением их особенностей и топологией поверхностей. Топологический «род» римановых поверхностей определяется выражением $g=w/2-n+1$ , где поверхность имеет $n$ листья собираются вместе в $w$ точки ветвления. Для $g>1$ риманова поверхность имеет $(3g-3)$ параметры (« модули »).

Его вклад в эту область многочисленнен. Знаменитая теорема об отображении Римана гласит, что односвязная область на комплексной плоскости «биголоморфно эквивалентна» (т.е. между ними существует биекция, голоморфная с голоморфным обратным) либо $\mathbb {C}$ или внутрь единичного круга. Обобщением теоремы на римановы поверхности является знаменитая теорема униформизации , доказанная в 19 веке Анри Пуанкаре и Феликсом Клейном . И здесь строгие доказательства были впервые даны после развития более богатого математического инструментария (в данном случае топологии). Для доказательства существования функций на римановых поверхностях он использовал условие минимальности, которое назвал принципом Дирихле . Карл Вейерштрасс нашел пробел в доказательстве: Риман не заметил, что его рабочее предположение (о существовании минимума) может не работать; функциональное пространство могло быть неполным, и поэтому существование минимума не гарантировалось. Благодаря работе Давида Гильберта по вариационному исчислению принцип Дирихле был окончательно установлен. В остальном Вейерштрасс был очень впечатлен Риманом, особенно его теорией абелевых функций . Когда появилась работа Римана, Вейерштрасс удалил свою статью из журнала Crelle. и не опубликовал его. У них было хорошее взаимопонимание, когда Риман посетил его в Берлине в 1859 году. Вейерштрасс призвал своего ученика Германа Амандуса Шварца найти альтернативы принципу Дирихле в комплексном анализе, в чем он преуспел. Анекдот от Арнольда Зоммерфельда ^[16]показывает трудности, с которыми современные математики столкнулись с новыми идеями Римана. В 1870 году Вейерштрасс взял с собой диссертацию Римана в отпуск в Риги и жаловался, что ее трудно понять. Физик Герман фон Гельмгольц ночью помогал ему в работе и вернулся с замечанием, что это «естественно» и «очень понятно».

Среди других выдающихся достижений — его работа над абелевыми функциями и тэта-функциями на римановых поверхностях. Риман соревновался с Вейерштрассом с 1857 года в решении обратных задач Якобиана для абелевых интегралов, обобщения эллиптических интегралов . Риман использовал тэта-функции нескольких переменных и свел задачу к определению нулей этих тэта-функций. Риман также исследовал матрицы периодов и охарактеризовал их с помощью «римановых отношений периода» (симметричных, действительная часть отрицательна). По Фердинанду Георгу Фробениусу и Соломону Лефшецу, справедливость этого отношения эквивалентна вложению $\mathbb {C} ^{n}/\Omega$ (где $\Omega$ — решетка матрицы периодов) в проективном пространстве с помощью тэта-функций. Для определенных значений $n$ , это якобианское многообразие римановой поверхности, пример абелева многообразия.

Многие математики, такие как Альфред Клебш, продолжили работу Римана над алгебраическими кривыми. Эти теории зависели от свойств функции, определенной на римановых поверхностях. Например, теорема Римана–Роха (Рох был учеником Римана) что-то говорит о количестве линейно независимых дифференциалов (с известными условиями на нулях и полюсах) римановой поверхности.

По словам Детлефа Лаугвица , ^[17] автоморфные функции впервые появились в очерке об уравнении Лапласа об электрически заряженных цилиндрах. Однако Риман использовал такие функции для конформных отображений (например, отображения топологических треугольников на окружность) в своей лекции 1859 года о гипергеометрических функциях или в своем трактате о минимальных поверхностях .

Реальный анализ

В области реального анализа он открыл интеграл Римана в своей хабилитации . Среди прочего он показал, что всякая кусочно-непрерывная функция интегрируема. Точно так же интеграл Стилтьеса восходит к математику Геттингеру, поэтому они вместе называются интегралом Римана-Стилтьеса .

В своей абитуриентской работе по рядам Фурье , где он следил за работой своего учителя Дирихле, он показал, что интегрируемые по Риману функции «представимы» рядами Фурье. Дирихле показал это для непрерывных, кусочно-дифференцируемых функций (то есть со счетным числом недифференцируемых точек). Риман привел пример ряда Фурье, представляющего непрерывную, почти нигде не дифференцируемую функцию, - случай, не рассмотренный Дирихле. Он также доказал лемму Римана-Лебега : если функция представима рядом Фурье, то коэффициенты Фурье обращаются к нулю при больших n .

Эссе Римана также стало отправной точкой для работы Георга Кантора с рядами Фурье, которая послужила толчком для теории множеств .

Он также работал с гипергеометрическими дифференциальными уравнениями в 1857 году, используя сложные аналитические методы, и представлял решения через поведение замкнутых путей вокруг особенностей (описываемых матрицей монодромии ). Доказательство существования таких дифференциальных уравнений с помощью ранее известных матриц монодромии является одной из задач Гильберта.

Теория чисел [ править ]

Риман внес ряд известных вкладов в современную аналитическую теорию чисел . В единственной короткой статье , единственной, которую он опубликовал по теме теории чисел, он исследовал дзета-функцию , которая теперь носит его имя, установив ее важность для понимания распределения простых чисел . Гипотеза Римана была одной из серии предположений, которые он сделал о свойствах функции.

В творчестве Римана есть еще много интересных разработок. Он доказал функциональное уравнение для дзета-функции (известное уже Леонарду Эйлеру ), за которым стоит тэта-функция. Путем суммирования этой аппроксимационной функции по нетривиальным нулям на прямой с вещественной частью 1/2 он дал точную «явную формулу» для $\pi (x)$ .

Риман знал о Пафнутия Чебышева работе над теоремой о простых числах . Он посетил Дирихле в 1852 году.

Сочинения [ править ]

Работы Римана включают:

1851 — Основы общей теории функций переменной комплексной величины , вступительная диссертация, Гёттинген, 1851.
1857 — Теория абелевых функций , Журнал чистой и прикладной математики, т. 54. С. 101–155.
1859 — О количестве простых чисел данной величины , в: Ежемесячные отчёты Прусской академии наук. Берлин, ноябрь 1859 г., стр. 671 и далее. С гипотезой Римана. О количестве простых чисел данного размера. (Wikisource), Факсимиле рукописи. Архивировано 3 марта 2016 г. в Wayback Machine с Clay Mathematics.
1861 — Математический комментарий, в котором делается попытка ответить на вопрос, предложенный Парижской академией Ильма , представлен в Парижскую академию на конкурс призов.
1867 — О представимости функции тригонометрическим рядом , из тринадцатого тома трактатов Королевского общества наук в Гёттингене.
1868 – Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde Ligen . Абх. Кгл. Гес. Wiss., Göttingen 1868. Перевод EMIS, pdf «О гипотезах, лежащих в основе геометрии» , перевод WKClifford , Nature 8 1873 183 – перепечатано в Сборнике математических статей Клиффорда, Лондон, 1882 г. (MacMillan); Нью-Йорк 1968 (Челси) http://www.emis.de/classics/Riemann/ . Также в издании Эвальда, Уильяма Б., 1996 г. «От Канта до Гильберта: справочник по основам математики», 2 тома. Оксфордский университет. Пресса: 652–61.
1876 г. – собрание математических сочинений и научного наследия Бернхарда Римана. под редакцией Генриха Вебера при сотрудничестве Рихарда Дедекинда , Лейпциг, Б. Г. Тойбнера, 1876 г., 2-е издание 1892 г., перепечатано Дувром в 1953 г. (при участии Макса Нётера и Вильгельма Виртингера, Тойбнера, 1902 г.). Более поздние издания Собрание сочинений Бернхарда Римана: Полное собрание немецких текстов. Ред. Генрих Вебер; Ричард Дедекинд; М. Нётер; Вильгельм Виртингер; Ганс Леви. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., 1953, 1981, 2017 г.
1876 – Гравитация, электричество и магнетизм , Ганновер: Карл Хаттендорф.
1882 г. - Лекции по уравнениям в частных производных, 3-е издание. Брауншвейг 1882 г.
1901 — Уравнения в частных производных математической физики по лекциям Римана . PDF на Викискладе . На archive.org: Риман, Бернхард (1901). Вебер, Генрих Мартин (ред.). «Уравнения в частных производных математической физики по лекциям Римана» . archive.org . Фридрих Видег и сын . Проверено 1 июня 2022 г.
2004 – Риман, Бернхард (2004), Сборник статей , Kendrick Press, Heber City, UT, ISBN 978-0-9740427-2-5 , МР 2121437

См. также [ править ]

Список вещей, названных в честь Бернхарда Римана
Неевклидова геометрия
О количестве простых чисел, меньших заданной величины , статья Римана 1859 года, вводящая комплексную дзета-функцию.

Ссылки [ править ]

^ редакция «Дюдена»; Маленький, Стефан; Кнёбл, Ральф (2015) [Впервые опубликовано в 1962 году]. Словарь ( произношения на немецком языке) (7-е изд.). Берлин: Дуденверлаг. стр. 229, 381, 398, 735. ISBN. 978-3-411-04067-4 .
^ Креч, Ева-Мария; Сток, Эберхард; Хиршфельд, Урсула; Андерс, Лутц Кристиан (2009). Словарь немецкого произношения [ Словарь немецкого произношения ] (на немецком языке). Берлин: Вальтер де Грюйтер. стр. 366, 520, 536, 875. ISBN. 978-3-11-018202-6 .
^ Вендорф, Марсия (23 сентября 2020 г.). «Бернхард Риман заложил основы теории относительности Эйнштейна» . Интересныйинжиниринг.com . Проверено 14 октября 2023 г.
^ Джи, Пападопулос и Ямада 2017 , стр. 614
^ Макклири, Джон. Геометрия с дифференцируемой точки зрения . Издательство Кембриджского университета. п. 282.
^ Стивен Хокинг (4 октября 2005 г.). Бог создал целые числа . Беговой пресс. стр. 814–815. ISBN 978-0-7624-1922-7 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Вендорф, Марсия (23 сентября 2020 г.). «Бернхард Риман заложил основы теории относительности Эйнштейна» . Интересныйинжиниринг.com . Проверено 06 апреля 2023 г.
^ Верке, с. 268, издание 1876 г., цитируется у Пьерпона, Неевклидова геометрия, Ретроспектива.
^ «Ида Шиллинг» . 22 декабря 1862 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б дю Сотуа, Маркус (2003). Музыка простых чисел: в поисках решения величайшей тайны математики . ХарперКоллинз. ISBN 978-0-06-621070-4 .
^ «Христианский математик – Риман» . 24 апреля 2012 года . Проверено 13 октября 2014 г.
^ «Могила Римана» . 18 сентября 2009 года . Проверено 13 октября 2014 г.
^ Риман, Бернхард: О гипотезах, лежащих в основе геометрии. В: Трактаты Королевского общества наук в Геттингене 13 (1868), стр. 133–150.
^ О гипотезах, лежащих в основе геометрии . Бернхард Риман. Перевод Уильяма Кингдона Клиффорда [Nature, Vol. VIII. №№ 183, 184, с. 14–17, 36, 37.]
^ Риман, Бернхард; Йост, Юрген (2016). О гипотезах, лежащих в основе геометрии . Классические тексты по наукам (1-е изд., 2016 г.). Чам: Springer International Publishing: Выходные данные: Birkhäuser. ISBN 978-3-319-26042-6 .
^ Арнольд Зоммерфельд , « Лекции по теоретической физике », Том 2 (Механика деформируемых сред), Харри Дойч, стр.124. Зоммерфельд услышал эту историю от ахенского профессора экспериментальной физики Адольфа Вюлльнера .
^ Детлеф Лаугвиц : Бернхард Риман 1826–1866 . Биркхойзер, Базель, 1996 г., ISBN 978-3-7643-5189-2

Дальнейшее чтение [ править ]

Дербишир, Джон (2003), Основная одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема математики , Вашингтон, округ Колумбия: Джон Генри Пресс, ISBN 0-309-08549-7 .
Монастырский, Майкл (1999), Риман, Топология и физика , Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, ISBN 0-8176-3789-3 .
Цзи, Лижень; Пападопулос, Атанезе; Ямада, Сумио, ред. (2017). От Римана к дифференциальной геометрии и теории относительности . Спрингер. ISBN 9783319600390 .

Внешние ссылки [ править ]

[1] редакция «Дюдена»; Маленький, Стефан; Кнёбл, Ральф (2015) [Впервые опубликовано в 1962 году]. Словарь ( произношения на немецком языке) (7-е изд.). Берлин: Дуденверлаг. стр. 229, 381, 398, 735. ISBN. 978-3-411-04067-4 .

[2] Креч, Ева-Мария; Сток, Эберхард; Хиршфельд, Урсула; Андерс, Лутц Кристиан (2009). Словарь немецкого произношения [ Словарь немецкого произношения ] (на немецком языке). Берлин: Вальтер де Грюйтер. стр. 366, 520, 536, 875. ISBN. 978-3-11-018202-6 .

[3] Вендорф, Марсия (23 сентября 2020 г.). «Бернхард Риман заложил основы теории относительности Эйнштейна» . Интересныйинжиниринг.com . Проверено 14 октября 2023 г.

[4] Джи, Пападопулос и Ямада 2017 , стр. 614

[5] Макклири, Джон. Геометрия с дифференцируемой точки зрения . Издательство Кембриджского университета. п. 282.

[Hawking2005-6] Стивен Хокинг (4 октября 2005 г.). Бог создал целые числа . Беговой пресс. стр. 814–815. ISBN 978-0-7624-1922-7 .

[:0-7] Перейти обратно: ^а ^б Вендорф, Марсия (23 сентября 2020 г.). «Бернхард Риман заложил основы теории относительности Эйнштейна» . Интересныйинжиниринг.com . Проверено 06 апреля 2023 г.

[8] Верке, с. 268, издание 1876 г., цитируется у Пьерпона, Неевклидова геометрия, Ретроспектива.

[9] «Ида Шиллинг» . 22 декабря 1862 г.

[duSautoy2003-10] Перейти обратно: ^а ^б дю Сотуа, Маркус (2003). Музыка простых чисел: в поисках решения величайшей тайны математики . ХарперКоллинз. ISBN 978-0-06-621070-4 .

[11] «Христианский математик – Риман» . 24 апреля 2012 года . Проверено 13 октября 2014 г.

[12] «Могила Римана» . 18 сентября 2009 года . Проверено 13 октября 2014 г.

[13] Риман, Бернхард: О гипотезах, лежащих в основе геометрии. В: Трактаты Королевского общества наук в Геттингене 13 (1868), стр. 133–150.

[14] О гипотезах, лежащих в основе геометрии . Бернхард Риман. Перевод Уильяма Кингдона Клиффорда [Nature, Vol. VIII. №№ 183, 184, с. 14–17, 36, 37.]

[15] Риман, Бернхард; Йост, Юрген (2016). О гипотезах, лежащих в основе геометрии . Классические тексты по наукам (1-е изд., 2016 г.). Чам: Springer International Publishing: Выходные данные: Birkhäuser. ISBN 978-3-319-26042-6 .

[16] Арнольд Зоммерфельд , « Лекции по теоретической физике », Том 2 (Механика деформируемых сред), Харри Дойч, стр.124. Зоммерфельд услышал эту историю от ахенского профессора экспериментальной физики Адольфа Вюлльнера .

[17] Детлеф Лаугвиц : Бернхард Риман 1826–1866 . Биркхойзер, Базель, 1996 г., ISBN 978-3-7643-5189-2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

Базы данных авторитетного контроля
International	FAST ISNI VIAF WorldCat
National	Norway Spain France BnF data Catalonia Germany Italy Israel United States Sweden Latvia Japan Czech Republic Australia Greece Korea Croatia Netherlands Poland Portugal
Academics	CiNii MathSciNet Mathematics Genealogy Project zbMATH
People	Deutsche Biographie Trove
Other	RISM SNAC IdRef