Теорема об измеримом отображении Римана

В математике теорема об измеримом отображении Римана — это теорема, доказанная в 1960 году Ларсом Альфорсом и Липманом Берсом в области комплексного анализа и геометрической теории функций . Вопреки своему названию, это не прямое обобщение теоремы Римана об отображении , а результат, касающийся квазиконформных отображений и решений уравнения Бельтрами . Результат был прообразом более ранних результатов Чарльза Морри 1938 года по квазилинейным эллиптическим уравнениям в частных производных .

Теорема Альфорса и Берса утверждает, что если µ — ограниченная измеримая функция на C с такой $\|\mu \|_{\infty }<1$, то естьединственное решение f уравнения Бельтрами

$\partial _{\overline {z}}f(z)=\mu (z)\partial _{z}f(z)$

для которого f — квазиконформный гомеоморфизм C , фиксирующий точки 0, 1 и ∞. Аналогичный результат верен, если заменить единичным диском D. C Их доказательство использовало преобразование Берлинга , сингулярный интегральный оператор .

Ссылки

• Альфорс, Ларс; Берс, Липман (1960), «Теорема Римана об отображении для переменных метрик», Annals of Mathematics , 72 (2): 385–404, doi : 10.2307/1970141 , JSTOR   1970141
• Альфорс, Ларс В. (1966), Лекции по квазиконформным отображениям , Ван Ностранд
• Астала, Кари; Иванец, Тадеуш ; Мартин, Гавен (2009), Эллиптические уравнения в частных производных и квазиконформные отображения на плоскости , Математическая серия Принстона, том. 48, Princeton University Press, стр. 161–172, ISBN.  978-0-691-13777-3
• Карлесон, Л.; Гамелен, TDW (1993), Комплексная динамика , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97942-5
• Морри, Чарльз Б. младший (1938), «О решениях квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных», Труды Американского математического общества , 43 (1): 126–166, doi : 10.2307/1989904 , JFM   62.0565. 02 , JSTOR   1989904 , MR   1501936 , Збл   0018.40501
• Закери, Саид; Зейналян, Махмуд (1996), «Когда эллипсы выглядят как круги: измеримая теорема об отображении Римана» (PDF) , Нашр-э-Риази , 8 : 5–14