Сингулярный интеграл

В математике гармоническом сингулярные интегралы занимают центральное место в анализе и тесно связаны с изучением уравнений в частных производных. В широком смысле сингулярный интеграл — это интегральный оператор

$T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,$

чья ядерная функция K : R ^н × R ^н → R сингулярно вдоль диагонали x = y . В частности, особенность такова, что | К ( Икс , у )| имеет размер | х - у | ^{− п} асимптотически как | х - у | → 0. Поскольку такие интегралы, вообще говоря, не могут быть абсолютно интегрируемыми, строгое определение должно определять их как предел интеграла по | у - х | > ε при ε → 0, но на практике это формальность. Обычно для получения таких результатов, как их ограниченность на L ^п ( Р ^н ).

Преобразование Гильберта

Основная статья: преобразование Гильберта

Типичным сингулярным интегральным оператором является преобразование H. Гильберта Это задается сверткой против ядра K ( x ) = 1/(π x ) для x в R . Точнее,

$H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x-y|>\varepsilon }{\frac {1}{x-y}}f(y)\,dy.$

Наиболее простыми аналогами более высоких размерностей являются преобразования Рисса , которые заменяют K ( x ) = 1/ x на

$K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}$

где я = 1,..., n и $x_{i}$ является i -й компонентой x в R ^н . Все эти операторы ограничены на L ^п и удовлетворяют оценкам слабого типа (1, 1).

Сингулярные интегралы типа свертки

Основная статья: Сингулярные интегральные операторы типа свертки

Сингулярный интеграл типа свертки — это оператор T, определенный сверткой, с ядром K , локально интегрируемым на R ^н \{0}, в том смысле, что

$T(f)(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y-x|>\varepsilon }K(x-y)f(y)\,dy.$ ( 1 )

Предположим, что ядро ​​удовлетворяет:

1. Условие размера преобразования Фурье ​ K

   ${\hat {K}}\in L^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})$

2. Условие гладкости : для некоторого C > 0

   $\sup _{y\neq 0}\int _{|x|>2|y|}|K(x-y)-K(x)|\,dx\leq C.$

Тогда можно показать, что T ограничено на L ^п ( Р ^н ) и удовлетворяет оценке слабого типа (1, 1).

Свойство 1. необходимо для того, чтобы свертка ( 1 ) с умеренным распределением pv K, заданным интегралом главного значения

$\operatorname {p.v.} \,\,K[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\epsilon }\phi (x)K(x)\,dx$

является корректно определенным множителем Фурье на L ² . Ни одно из свойств 1 или 2 не обязательно легко проверить, и существует множество достаточных условий. Обычно в приложениях также есть отмены условие .

$\int _{R_{1}<|x|<R_{2}}K(x)\,dx=0,\ \forall R_{1},R_{2}>0$

что довольно легко проверить. Например, это происходит автоматически, если K — нечетная функция . Если, кроме того, принять 2. и следующее условие размера

$\sup _{R>0}\int _{R<|x|<2R}|K(x)|\,dx\leq C,$

тогда можно показать, что 1. следует.

следующее достаточное условие ядра К Условие гладкости 2. также зачастую принципиально трудно проверить, можно использовать :

• $K\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\})$
• $|\nabla K(x)|\leq {\frac {C}{|x|^{n+1}}}$

Обратите внимание, что эти условия выполняются для преобразований Гильберта и Рисса, поэтому этот результат является расширением этого результата.

Сингулярные интегралы типа несвертки

Это еще более общие операторы. Однако, поскольку наши предположения настолько слабы, не обязательно, чтобы эти операторы были ограничены на L ^п .

Ядра Кальдерона-Зигмунда

Функция K : R ^н × R ^н → R называется Кальдерона – Зигмунда ядром , если оно удовлетворяет следующим условиям для некоторых констант C > 0 и δ > 0.

1. $|K(x,y)|\leq {\frac {C}{|x-y|^{n}}}$

2. $|K(x,y)-K(x',y)|\leq {\frac {C|x-x'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x'-y|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ whenever }}|x-x'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y|,|x'-y|{\bigr )}$

3. $|K(x,y)-K(x,y')|\leq {\frac {C|y-y'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x-y'|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ whenever }}|y-y'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y'|,|x-y|{\bigr )}$

Сингулярные интегралы типа несвертки

T называется сингулярным интегральным оператором типа несвертки, ассоциированным с ядром Кальдерона–Зигмунда K , если

$\int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(x,y)f(y)\,dy\,dx,$

всякий раз, когда f и g гладкие и имеют непересекающуюся поддержку. Такие операторы не обязательно должны быть ограничены на L ^п

Операторы Кальдерона–Зигмунда

Сингулярный интеграл типа несвертки T, ассоциированный с ядром Кальдерона–Зигмунда K, называется оператором Кальдерона–Зигмунда, если он ограничен на L ² , то есть существует C > 0 такое, что

$\|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},$

для всех гладких компактно закрепленных ƒ.

Можно доказать, что такие операторы фактически также ограничены на всех L ^п при 1 < p < ∞.

Теорема T ( b )

Теорема T ( b ) обеспечивает достаточные условия для того, чтобы сингулярный интегральный оператор был оператором Кальдерона–Зигмунда, то есть для того, чтобы сингулярный интегральный оператор, связанный с ядром Кальдерона–Зигмунда, был ограничен на L ² . Чтобы сформулировать результат, мы должны сначала определить некоторые термины.

Нормализованный выступ — это гладкая функция φ на R ^н поддерживается в шаре радиуса 1 с центром в начале координат, так что | ∂ ^а  φ ( Икс )| ≤ 1, для всех мультииндексов | α | ≤ n + 2. Обозначим через τ ^х ( φ )( y ) знак равно φ ( y - x ) и φ _р ( x ) знак равно р ^{− п} φ ( x / r ) для всех x в R ^н и r > 0. Оператор называется слабо ограниченным , если существует константа C такая, что

$\left|\int T{\bigl (}\tau ^{x}(\varphi _{r}){\bigr )}(y)\tau ^{x}(\psi _{r})(y)\,dy\right|\leq Cr^{-n}$

для всех нормализованных неровностей φ и ψ . Функция называется аккретивной, если константа c > 0 такая, что Re( b )( x ) ≥ c для всех x в R. существует Обозначим через M _b оператор, заданный умножением на функцию b .

Теорема T ( b ) утверждает, что сингулярный интегральный оператор T, ассоциированный с ядром Кальдерона – Зигмунда, ограничен на L ² если он удовлетворяет всем следующим трем условиям для некоторых ограниченных аккретивных функций b ₁ и b ₂ :

1. $M_{b_{2}}TM_{b_{1}}$ слабо ограничен;
2. $T(b_{1})$ находится в БМО ;
3. $T^{t}(b_{2}),$ находится в BMO , где T ^т является оператором транспонирования T .

См. также

• Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых

Ссылки

• Кальдерон, AP ; Зигмунд, А. (1952), «О существовании некоторых сингулярных интегралов», Acta Mathematica , 88 (1): 85–139, doi : 10.1007/BF02392130 , ISSN   0001-5962 , MR   0052553 , Zbl   0047.10201 .
• Кальдерон, AP ; Зигмунд, А. (1956), «О сингулярных интегралах», American Journal of Mathematics , 78 (2), The Johns Hopkins University Press: 289–309, doi : 10.2307/2372517 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2372517 , MR   0084633 , Збл   0072.11501 .
• Койфман, Рональд ; Мейер, Ив (1997), Вейвлеты: Кальдерон-Зигмунд и полилинейные операторы , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 48, Издательство Кембриджского университета, стр. xx+315, ISBN  0-521-42001-6 , МР   1456993 , Збл   0916.42023 .
• Михлин, Соломон Г. (1948), «Сингулярные интегральные уравнения» , УМН , 3 (25): 29–112, МР   0027429 (на русском языке ).
• Михлин, Соломон Г. (1965), Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения , Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, том. 83, Оксфорд – Лондон – Эдинбург – Нью-Йорк – Париж – Франкфурт : Pergamon Press , стр. XII+255, MR   0185399 , Zbl   0129.07701 .
• Михлин Соломон Георгиевич ; Прессдорф, Зигфрид (1986), Сингулярные интегральные операторы , Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer Verlag , с. 528, ISBN  0-387-15967-3 , MR   0867687 , Збл   0612.47024 , (Европейское издание: ISBN   3-540-15967-3 ).
• Стейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton Mathematical Series, vol. 30, Принстон, Нью-Джерси : Princeton University Press , стр. XIV + 287, ISBN.  0-691-08079-8 , МР   0290095 , Збл   0207.13501

Внешние ссылки

• Штейн, Элиас М. (октябрь 1998 г.). «Особые интегралы: роли Кальдерона и Зигмунда» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 45 (9): 1130–1140.