Преобразование Рисса

В математической теории гармонического анализа представляют преобразования Рисса собой семейство обобщений преобразования Гильберта на евклидовы пространства размерности d > 1. Они представляют собой тип сингулярного интегрального оператора , что означает, что они задаются сверткой одной функции с другая функция, имеющая особенность в начале координат. В частности, преобразования Рисса комплексной функции ƒ на R ^д определяются

$R_{j}f(x)=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}\backslash B_{\epsilon }(x)}{\frac {(x_{j}-t_{j})f(t)}{|x-t|^{d+1}}}\,dt$ ( 1 )

для j = 1,2,..., d . Константа c _d представляет собой размерную нормализацию, определяемую формулой

$c_{d}={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}={\frac {\Gamma [(d+1)/2]}{\pi ^{(d+1)/2}}}.$

где ω _{d −1} — объем единичного ( d −1)-шара . Предел записывается по-разному, часто как главное значение или как свертка с умеренным распределением.

$K(x)={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}\,p.v.{\frac {x_{j}}{|x|^{d+1}}}.$

Преобразование Рисса возникает при изучении свойств дифференцируемости гармонических потенциалов в теории потенциала и гармоническом анализе . В частности, они возникают при доказательстве неравенства Кальдерона-Зигмунда ( Gilbarg & Trudinger 1983 , §9.4).

Свойства множителя

Преобразования Рисса задаются множителем Фурье . Действительно, Фурье преобразование R _j ƒ определяется выражением

${\mathcal {F}}(R_{j}f)(x)=-i{\frac {x_{j}}{|x|}}({\mathcal {F}}f)(x).$

В этой форме преобразования Рисса рассматриваются как обобщения преобразования Гильберта . Ядро представляет собой распределение нулевой , однородное степени. Частным следствием этого последнего наблюдения является то, что преобразование Рисса определяет ограниченный линейный оператор из L ² ( Р ^д ) самому себе.

Это свойство однородности также можно сформулировать более непосредственно, без помощи преобразования Фурье. Если σ _s — расширение на R ^д скаляром s , то есть σs _x = sx , тогда σs _{определяет} действие на функции посредством обратного преобразования :

$\sigma _{s}^{*}f=f\circ \sigma _{s}.$

Преобразования Рисса коммутируют с σ _s :

$\sigma _{s}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\sigma _{x}^{*}f).$

Точно так же преобразования Рисса коммутируют с перемещениями. Пусть τ _a — сдвиг на R ^д вдоль вектора а ; то есть τ _a ( x ) = x + a . Затем

$\tau _{a}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\tau _{a}^{*}f).$

Что касается последнего свойства, то преобразования Рисса удобно рассматривать как одну векторную сущность R ƒ = ( R ₁ ƒ,..., R _d ƒ). Рассмотрим вращение ρ в R ^д . Вращение действует на пространственные переменные и, следовательно, на функции через обратный откат. Но оно также может действовать и на пространственный вектор R ƒ. Последнее свойство преобразования утверждает, что преобразование Рисса эквивариантно относительно этих двух действий; то есть,

$\rho ^{*}R_{j}[(\rho ^{-1})^{*}f]=\sum _{k=1}^{d}\rho _{jk}R_{k}f.$

Эти три свойства фактически характеризуют преобразование Рисса в следующем смысле. Пусть T =( T ₁ ,..., T _d ) — d -кортеж ограниченных линейных операторов из L ² ( Р ^д ) до Л ² ( Р ^д ) такой, что

• T коммутирует со всеми расширениями и сдвигами.
• T эквивариантно относительно вращений.

Тогда для некоторой c константы T = cR .

Связь с лапласианом

Несколько неточно, преобразования Рисса $f$ дать первые частные производные решения уравнения

${(-\Delta )^{\frac {1}{2}}u=f},$

где ∆ — лапласиан. Таким образом, преобразование Рисса $f$ можно записать как:

${Rf=\nabla (-\Delta )^{-{\frac {1}{2}}}f}$

В частности, следует также иметь

$R_{i}R_{j}\Delta u=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},$

так что преобразования Рисса дают возможность восстановить информацию обо всем гессиане функции на основе знания только ее лапласиана.

Теперь это стало более точным. Предположим, что $u$ является функцией Шварца . Тогда действительно, согласно явному виду множителя Фурье, имеем

$R_{i}R_{j}(\Delta u)=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.$

Тождество вообще не верно в смысле распределений . Например, если $u$ является умеренным распределением таким, что $\Delta u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})$, то можно только заключить, что

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=-R_{i}R_{j}\Delta u+P_{ij}(x)$

для некоторого полинома $P_{ij}$.

См. также

• Преобразование Гильберта
• Ядро Пуассона
• Потенциал Рисса

Ссылки

• Гилбарг, Д.; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Нью-Йорк: Springer, ISBN  3-540-41160-7 .
• Стейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton University Press .
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN  0-691-08078-Х .
• Аркоцци, Н. (1998), Преобразование Рисса на сферах и компактных группах Ли , Нью-Йорк: Springer, doi : 10.1007/BF02384766 , ISSN   0004-2080 , S2CID   119919955 .