Множитель (анализ Фурье)

В анализе Фурье оператор множителя является разновидностью линейного оператора или преобразования функций . Эти операторы воздействуют на функцию, изменяя ее преобразование Фурье . В частности, они умножают преобразование Фурье функции на заданную функцию, известную как множитель или символ . Иногда сам термин «оператор множителя» сокращается до «множитель» . Проще говоря, множитель изменяет форму частот, участвующих в любой функции. Этот класс операторов оказывается широким: общая теория показывает, что трансляционно-инвариантный оператор в группе , подчиняющийся некоторым (очень мягким) условиям регулярности, может быть выражен как оператор-множитель, и наоборот. Многие знакомые операторы, такие как сдвиг и дифференцирование , являются операторами умножения, хотя существует множество более сложных примеров, таких как преобразование Гильберта .

В обработке сигналов оператор умножения называется « фильтром фильтра », а множитель — это частотная характеристика (или передаточная функция ).

В более широком контексте операторы-множители представляют собой частные случаи операторов-спектральных множителей, которые возникают в результате функционального исчисления оператора (или семейства коммутирующих операторов). Они также являются частными случаями псевдодифференциальных операторов и, в более общем смысле, интегральных операторов Фурье . В этой области до сих пор остаются открытыми естественные вопросы, например, о характеристике L ^п операторы ограниченного множителя (см. ниже).

Операторы умножения не связаны с множителями Лагранжа , за исключением того, что они оба включают операцию умножения.

Необходимую информацию о преобразовании Фурье см. на этой странице. Дополнительную важную информацию можно найти на страницах оператор норма и L. ^п космос .

Примеры

В случае периодических функций, определенных на единичной окружности , преобразование Фурье функции представляет собой просто последовательность ее коэффициентов Фурье . Чтобы увидеть, что дифференцирование можно реализовать как множитель, рассмотрим ряд Фурье для производной периодической функции. $f(t).$ После использования интегрирования по частям в определении коэффициента Фурье имеем, что

${\mathcal {F}}(f')(n)=\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)e^{-int}\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }(in)f(t)e^{-int}\,dt=in\cdot {\mathcal {F}}(f)(n)$.

Итак, формально отсюда следует, что ряд Фурье для производной — это просто ряд Фурье для $f$ умноженный на коэффициент $in$. Это то же самое, что сказать, что дифференцирование — это оператор множителя с множителем $in$.

Примером оператора умножения, действующего на функции на действительной прямой, является преобразование Гильберта . Можно показать, что преобразование Гильберта — это оператор мультипликатора, множитель которого определяется выражением $m(\xi )=-i\operatorname {sgn} (\xi )$, где Signum — функция Signum .

Наконец, еще одним важным примером множителя является характеристическая функция единичного куба в $\mathbb {R} ^{n}$ которое возникает при изучении «частичных сумм» для преобразования Фурье (см. Сходимость рядов Фурье ).

Определение

Операторы мультипликатора могут быть определены на любой группе G, для которой также определено преобразование Фурье (в частности, на любой локально компактной абелевой группе ). Общее определение следующее. Если $f:G\to \mathbb {C}$ — достаточно регулярная функция , пусть ${\hat {f}}:{\hat {G}}\to \mathbb {C}$ обозначим его преобразование Фурье (где ${\hat {G}}$ является двойственным к G Понтрягину ). Позволять $m:{\hat {G}}\to \mathbb {C}$ обозначим другую функцию, которую назовем множителем . Тогда оператор умножения $T=T_{m}$ связанное с этим символом m определяется по формуле

${\widehat {Tf}}(\xi ):=m(\xi ){\hat {f}}(\xi ).$

Другими словами, преобразование Фурье Tf на частоте ξ определяется преобразованием Фурье f на этой частоте, умноженным на значение множителя на этой частоте. Это объясняет терминологию «множитель».

Обратите внимание, что приведенное выше определение определяет Tf только неявно; чтобы восстановить Tf явно, необходимо инвертировать преобразование Фурье. Это легко сделать, если и f , и m достаточно гладкие и интегрируемые. Одной из основных проблем в этой теме является определение для любого заданного множителя m , продолжает ли соответствующий оператор множителя Фурье быть четко определенным, когда f имеет очень низкую регулярность, например, если предполагается, что он находится в L ^п космос. См. обсуждение «проблемы ограниченности» ниже. Как минимум, обычно требуется, чтобы множитель m был ограниченным и измеримым ; этого достаточно, чтобы установить ограниченность на $L^{2}$ но, вообще говоря, недостаточно силен, чтобы обеспечить ограниченность в других пространствах.

можно рассматривать Оператор-умножитель T как композицию трех операторов, а именно преобразования Фурье, операции поточечного умножения на m и затем обратного преобразования Фурье. Эквивалентно, T представляет собой сопряжение оператора поточечного умножения преобразованием Фурье. Таким образом, операторы-множители можно рассматривать как операторы, которые диагонализуются преобразованием Фурье.

Операторы множителя в общих группах

Теперь мы специализируем приведенное выше общее определение на конкретных группах G . Сначала рассмотрим единичный круг $G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ;$ Таким образом, функции на G можно рассматривать как 2π-периодические функции на действительной прямой. В этой группе двойственной Понтрягину является группа целых чисел: ${\hat {G}}=\mathbb {Z} .$ Преобразование Фурье (для достаточно регулярных функций f ) имеет вид

${\hat {f}}(n):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}dt$

а обратное преобразование Фурье имеет вид

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n)e^{int}.$

Множитель в этой настройке представляет собой просто последовательность $(m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }$ чисел и оператор $T=T_{m}$ связанный с этим множителем, затем определяется по формуле

$(Tf)(t):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int},$

по крайней мере, при достаточно грамотном выборе множителя $(m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }$ и функция f .

Пусть теперь G — евклидово пространство. $G=\mathbb {R} ^{n}$. Здесь двойственная группа также евклидова, ${\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n},$ а преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье задаются формулами

${\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi ):={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx\\f(x)={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi .\end{aligned}}$

Множитель в этой настройке является функцией $m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,$ и связанный с ним оператор множителя $T=T_{m}$ определяется

$Tf(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi ,$

снова при условии достаточно сильных предположений регулярности и ограниченности множителя и функции.

В смысле распределений нет никакой разницы между операторами множителя и операторами свертки ; каждый множитель T быть выражен в форме Tf = f ∗ K для некоторого распределения K , известного как ядро ​​свертки T также может . С этой точки зрения перевод на величину x ₀ представляет собой свертку с дельта-функцией Дирака δ(· − x ₀ ), дифференцирование представляет собой свертку с δ'. Дополнительные примеры приведены в таблице ниже .

Диаграммы

Дальнейшие примеры

На единичном круге

В следующей таблице показаны некоторые распространенные примеры операторов множителя на единичном круге. $G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .$

Имя	Множитель, $m_{n}$	Оператор, $Tf(t)$	ядро, $K(t)$
Оператор идентификации	1	ж ( т )	Дельта-функция Дирака $\delta (t)$
Умножение на константу c	с	см ( т )	$c\delta (t)$
Перевод с .	$e^{-ins}$	ж ( т - s )	$\delta (t-s)$
Дифференциация	в	$f'(t)$	$\delta '(t)$
k -кратное дифференцирование	$(in)^{k}$	$f^{(k)}(t)$	$\delta ^{(k)}(t)$
с постоянным коэффициентом Дифференциальный оператор	$P(in)$	$P\left({\frac {d}{dt}}\right)f(t)$	$P\left({\frac {d}{dt}}\right)\delta (t)$
Дробная производная порядка $\alpha$	$|n|^{\alpha }$	$\left|{\frac {d}{dt}}\right|^{\alpha }f(t)$	$\left|{\frac {d}{dt}}\right|^{\alpha }\delta (t)$
Среднее значение	$1_{n=0}$	${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt$	1
Компонент без среднего значения	$1_{n\neq 0}$	$f(t)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt$	$\delta (t)-1$
Интегрирование (компонента, свободного от среднего)	${\frac {1}{in}}1_{n\neq 0}$	${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(\pi -s)f(t-s)\,ds$	Пилообразная функция ${\frac {1}{2}}\left(1-\left\{{\frac {t}{2\pi }}\right\}\right)$
Периодическое преобразование Гильберта H	$1_{n\geq 0}-1_{n<0}$	$Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {f(s)}{e^{i(t-s)}-1}}\,ds$	$p.v.2{\frac {f(s)}{e^{i(t-s)}-1}}\,ds$
Суммирование Дирихле $D_{N}$	$1_{-N\leq n\leq N}$	$\sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}}(n)e^{int}$	Ядро Дирихле ${\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}t\right)}}$
Суммирование Фейера $F_{N}$	$\left(1-{\frac {|n|}{N}}\right)1_{-N\leq n\leq N}$	$\sum _{n=-N}^{N}\left(1-{\frac {|n|}{N}}\right){\hat {f}}(n)e^{int}$	Ядро Фейера ${\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}Nt\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}t\right)}}\right)^{2}$
Общий множитель	$m_{n}$	$\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int}$	$T\delta (t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}e^{int}$
Общий свертки оператор	${\hat {K}}(n)$	$f*K(t):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(s)K(t-s)\,ds$	$K(t)$

В евклидовом пространстве

В следующей таблице показаны некоторые распространенные примеры операторов множителя в евклидовом пространстве. $G=\mathbb {R} ^{n}$.

Имя	Множитель, $m(\xi )$	Оператор, $Tf(x)$	ядро, $K(x)$
Оператор идентификации	1	е ( х )	$\delta (x)$
Умножение на константу c	с	см ( х )	$c\delta (x)$
Перевод y	$e^{2\pi iy\cdot \xi }$	$f(x-y)$	$\delta (x-y)$
Производная ${\frac {d}{dx}}$ (только одно измерение)	$2\pi i\xi$	${\frac {df}{dx}}(x)$	$\delta '(x)$
Частная производная ${\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$	$2\pi i\xi _{j}$	${\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x)$	${\frac {\partial \delta }{\partial x_{j}}}(x)$
лапласиан $\Delta$	$-4\pi ^{2}|\xi |^{2}$	$\Delta f(x)$	$\Delta \delta (x)$
Дифференциальный оператор с постоянным коэффициентом $P(\nabla )$	$P(i\xi )$	$P(\nabla )f(x)$	$P(\nabla )\delta (x)$
Дробная производная порядка $\alpha$	$(2\pi |\xi |)^{\alpha }$	$(-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}f(x)$	$(-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\delta (x)$
Потенциал порядка Рисса $\alpha$	$(2\pi |\xi |)^{-\alpha }$	$(-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)$	$(-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}\delta (x)=c_{n,\alpha }|x|^{\alpha -n}$
Бессель потенциал порядка $\alpha$	$\left(1+4\pi ^{2}|\xi |^{2}\right)^{-{\frac {\alpha }{2}}}$	$(1-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)$	${\frac {1}{(4\pi )^{\frac {\alpha }{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\pi }{s}}|x|^{2}}e^{-{\frac {s}{4\pi }}}s^{\frac {-n+\alpha }{2}}{\frac {ds}{s}}$
Оператор теплового потока $\exp(t\Delta )$	$\exp \left(-4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)$	$\exp(t\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,dy$	Тепловое ядро ${\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {|x|^{2}}{4t}}}$
уравнения Шредингера Оператор эволюции $\exp(it\Delta )$	$\exp \left(-i4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)$	$\exp(it\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi it)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,dy$	Ядро Шрёдингера ${\frac {1}{(4\pi it)^{\frac {n}{2}}}}e^{i{\frac {|x|^{2}}{4t}}}$
Преобразование Гильберта H (только одно измерение)	$-i\operatorname {sgn}(\xi )$	$Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(y)}{x-y}}\,dy$	$p.v.{\frac {1}{\pi x}}$
Рисс преобразует R j	$-i{\frac {\xi _{j}}{|\xi |}}$	$R_{j}f:=p.v.c_{n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)(x_{j}-y_{j})}{|x-y|^{n+1}}}\,dy$	$p.v.{\frac {c_{n}x_{j}}{|x|^{n+1}}},\quad c_{n}={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}(n+1)\right)}{\pi ^{{\frac {1}{2}}(n+1)}}}$
Частичный интеграл Фурье $S_{R}^{0}$ (только одно измерение)	$1_{-R\leq \xi \leq R}$	$\int _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx$	${\frac {\sin(2\pi Rx)}{\pi x}}$
Дисковый множитель $S_{R}^{0}$	$1_{|\xi |\leq R}$	$\int _{|\xi |\leq R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx$	$|x|^{-{\frac {n}{2}}}J_{\frac {n}{2}}(2\pi |x|)$ ( J — функция Бесселя )
Операторы Бохнера – Рисса $S_{R}^{\delta }$	$\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }$	$\int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\ d\xi$	$\int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi$
Общий множитель	$m(\xi )$	$\int _{R^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi$	$\int _{R^{n}}m(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\ d\xi$
Общий оператор свертки	${\hat {K}}(\xi )$	$f*K(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)K(x-y)\,dy$	$K(x)$

Общие соображения

Карта $m\mapsto T_{m}$ является гомоморфизмом С *-алгебр . Это следует из того, что сумма двух операторов-множителей $T_{m}$ и $T_{m'}$ это операторы множителя с множителем $m+m'$, композиция этих двух операторов множителя представляет собой оператор множителя с множителем $mm',$ и сопряженный оператору множителя $T_{m}$ это еще один оператор множителя с множителем ${\overline {m}}$.

В частности, мы видим, что любые два оператора-множителя коммутируют друг с другом. Известно, что операторы умножения трансляционно-инвариантны. И наоборот, можно показать, что любой трансляционно-инвариантный линейный оператор, ограниченный в L ² ( G ) — оператор мультипликатора.

Л ​ ^п проблема ограниченности

Л ​ ^п Проблема ограниченности (для любого конкретного p ) для данной группы G , проще говоря, состоит в том, чтобы идентифицировать мультипликаторы m такие, что соответствующий оператор мультипликатора ограничен из L ^п ( G ) к L ^п ( Г ). Такие множители обычно обозначаются просто как « L ^п множители». Обратите внимание, что, поскольку операторы-множители всегда линейны, такие операторы ограничены тогда и только тогда, когда они непрерывны . Эта проблема в целом считается чрезвычайно сложной, но можно рассмотреть многие частные случаи. Проблема сильно зависит от p , хотя здесь существуют отношения двойственности : если $1/p+1/q=1$ и 1 ⩽ p , q ⩽ ∞, то оператор-мультипликатор ограничен на L ^п тогда и только тогда, когда оно ограничено на L ^д .

Теорема Рисса -Торина показывает, что если оператор мультипликатора ограничен на двух разных L ^п пространствах, то оно также ограничено во всех промежуточных пространствах. Отсюда получаем, что пространство множителей наименьшее для L ¹ и Л ^∞ и растет по мере приближения к L ² , который имеет самое большое пространство множителя.

Ограниченность на L ²

Это самый простой случай. Теорема Парсеваля позволяет полностью решить эту проблему и получить, что функция m является L ² ( G ) мультипликатор тогда и только тогда, когда он ограничен и измерим.

Ограниченность на L ¹ или Л ^∞

Этот случай сложнее, чем гильбертиан ( L ² ) случай, но полностью решен. Верно следующее:

Теорема : В евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ функция $m(\xi )$ это буква Л ¹ множитель (эквивалент L ^∞ множитель) тогда и только тогда, когда существует конечная борелевская мера µ такая, что m является преобразованием Фурье меры µ.

(Часть «если» представляет собой простой расчет. Часть «только если» здесь более сложна.)

Ограниченность на L ^п для 1 < p < ∞

В этом общем случае не установлены необходимые и достаточные условия ограниченности даже для евклидова пространства или единичного круга. Однако известны несколько необходимых и несколько достаточных условий. Например, известно, что для того, чтобы оператор мультипликатора был ограничен хотя бы одним L ^п пространстве мультипликатор должен быть ограниченным и измеримым (это следует из характеристики L ² множители выше и свойство включения). Однако этого недостаточно, за исключением случаев, когда p = 2.

Результаты, дающие достаточные условия ограниченности, известны как теоремы о множителях . Ниже приведены три таких результата.

Марцинкевича

Позволять $m:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — ограниченная функция, непрерывно дифференцируемая на любом множестве вида $\left(-2^{j+1},-2^{j}\right)\cup \left(2^{j},2^{j+1}\right)$ для $j\in \mathbb {Z}$ и имеет производную такую, что

$\sup _{j\in \mathbb {Z} }\left(\int _{-2^{j+1}}^{-2^{j}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi +\int _{2^{j}}^{2^{j+1}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi \right)<\infty .$

Тогда m — это L ^п множитель для всех 1 < p < ∞.

Михлина

Пусть m — ограниченная функция на $\mathbb {R} ^{n}$ который является гладким, за исключением, возможно, начала координат, и такой, что функция ${\textstyle |x|^{k}\left|\nabla ^{k}m\right|}$ ограничен для всех целых чисел ${\textstyle 0\leq k\leq {\frac {n}{2}}+1}$: тогда m — это L ^п множитель для всех 1 < p < ∞ .

Это частный случай теоремы Хёрмандера-Михлина о множителях.

Доказательства этих двух теорем довольно сложны и включают методы теории Кальдерона – Зигмунда и интерполяционную теорему Марцинкевича : оригинальное доказательство см. в Михлине (1956) или Михлине (1965 , стр. 225–240).

Радиальные множители

Для радиальных множителей необходимым и достаточным условием $L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ ограниченность известна для некоторого частичного диапазона $p$. Позволять $n\geq 4$ и ${\textstyle 1<p<2{\frac {n-1}{n+1}}}$. Предположим, что $m$ представляет собой радиальный множитель, компактно закрепленный вдали от начала координат. Затем $m$ это $L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ множитель тогда и только тогда, когда преобразование Фурье $m$ принадлежит $L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$.

Это теорема Хео, Назарова и Зегера . Они также предоставили необходимое и достаточное условие, справедливое без предположения компактного носителя на $m$.

Примеры

Трансляции — это ограниченные операторы на любом L ^п . Дифференцирование не ограничено ни на каком L ^п . ограничено Преобразование Гильберта только для p строго между 1 и ∞. Тот факт, что он неограничен на L ^∞ это легко, поскольку хорошо известно, что преобразование Гильберта ступенчатой ​​функции неограничено. Двойственность дает то же самое для p = 1 . Однако обе теоремы о множителях Марцинкевича и Михлина показывают, что преобразование Гильберта ограничено в L ^п для всех 1 < p < ∞ .

Еще один интересный случай с единичным кругом — это когда последовательность $(x_{n})$ это предлагается как множитель, постоянный для n в каждом из наборов $\left\{2^{n},\ldots ,2^{n+1}-1\right\}$ и $\left\{-2^{n+1}+1,\ldots ,-2^{n}\right\}.$ Из теоремы о множителе Марцинкевича (адаптированной к контексту единичного круга) мы видим, что любая такая последовательность (конечно, также предполагаемая ограниченной) является множителем для каждого 1 < p < ∞ .

В одном измерении оператор дискового множителя $S_{R}^{0}$(см. таблицу выше) ограничено на L ^п для каждого 1 < p < ∞ . Однако в 1972 году Чарльз Фефферман показал удивительный результат: в двух и более измерениях оператор дискового множителя $S_{R}^{0}$ неограничен на L ^п для каждого p ≠ 2 . Соответствующая задача для множителей Бохнера–Рисса решена лишь частично; см. также гипотезу Бохнера – Рисса .

См. также

• Лемма Кальдерона–Зигмунда.
• Теорема Марцинкевича
• Сингулярные интегралы
• Сингулярные интегральные операторы типа свертки

Примечания

Цитируемые работы

• Дуоандикоэчеа, Хавьер (2001), Анализ Фурье , Американское математическое общество, ISBN  0-8218-2172-5
• Стейн, Элиас М. (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton University Press

Общие ссылки

• Графакос, Лукас (2008), Классический анализ Фурье (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-09431-1
• Кацнельсон, Ицхак (2004), Введение в гармонический анализ , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-54359-0
• Хёрмандер, Ларс (1960), "Оценки трансляционно-инвариантных операторов в L ^п пробелы», Acta Mathematica , 104 : 93–140, doi : 10.1007/bf02547187
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных, I. Теория распределения и анализ Фурье (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-52343-Х
• Михлин, Соломон Г. (1956), «О мультипликаторах интегралов Фурье», Доклады Академии наук СССР , 109 : 701–703, Збл   0073.08402 (на русском языке ).
• Михлин, Соломон Г. (1965), Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения , Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, том. 83, Пергамон Пресс , Збл   0129.07701 . Он содержит подробный обзор всех результатов, известных на момент публикации, включая краткий обзор истории.
• Рудин, Уолтер (1962), Анализ Фурье групп , Interscience
• Торчинский, Альберто (2004), Методы действительных переменных в гармоническом анализе , Дувр, ISBN  0-486-43508-3