Среднее Бохнера – Рисса

Среднее значение Бохнера -Рисса — это метод суммирования, часто используемый в гармоническом анализе при рассмотрении сходимости рядов Фурье и интегралов Фурье . Оно было введено Саломоном Бохнером как модификация среднего Рисса .

Определение

Определять

(\xi )_{+}={\begin{cases}\xi ,&{\mbox{if }}\xi >0\\0,&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}

Позволять $f$ быть периодической функцией, рассматриваемой как находящаяся на n-торе , $\mathbb {T} ^{n}$ , и имея коэффициенты Фурье ${\hat {f}}(k)$ для $k\in \mathbb {Z} ^{n}$ . Тогда средства Бохнера–Рисса комплексного порядка $\delta$ , $B_{R}^{\delta }f$ из (где $R>0$ и ${\mbox{Re}}(\delta )>0$ ) определяются как

B_{R}^{\delta }f(\theta )={\underset {|k|\leq R}{\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}}}\left(1-{\frac {|k|^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }{\hat {f}}(k)e^{2\pi ik\cdot \theta }.

Аналогично, для функции $f$ на $\mathbb {R} ^{n}$ с преобразованием Фурье ${\hat {f}}(\xi )$ , средства Бохнера–Рисса комплексного порядка $\delta$ , $S_{R}^{\delta }f$ (где $R>0$ и ${\mbox{Re}}(\delta )>0$ ) определяются как

S_{R}^{\delta }f(x)=\int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi .

Приложение к операторам свертки

Для $\delta >0$ и $n=1$ , $S_{R}^{\delta }$ и $B_{R}^{\delta }$ могут быть записаны как операторы свертки , где ядро свертки является приближенным тождеством . Таким образом, в этих случаях, учитывая почти всюду сходимость средних Бохнера–Рисса для функций из $L^{p}$ пространствах гораздо проще, чем проблема «регулярной» почти всюду сходимости рядов/интегралов Фурье (соответствующих $\delta =0$ ).

В более высоких измерениях ядра свертки ведут себя «хуже»: в частности, для

\delta \leq {\tfrac {n-1}{2}}

ядро больше не интегрируемо. Здесь, соответственно, становится сложнее добиться почти повсеместной конвергенции.

Гипотеза Бохнера – Рисса

Другой вопрос, для чего $\delta$ и какой $p$ средства Бохнера–Рисса $L^{p}$ функция сходится по норме . Этот вопрос имеет принципиальное значение для $n\geq 2$ , поскольку регулярная сходимость сферической нормы (опять соответствующая $\delta =0$ ) терпит неудачу в $L^{p}$ когда $p\neq 2$ . Это было показано в статье Чарльза Феффермана 1971 года . ^{[ 1 ]}

В результате переноса $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {T} ^{n}$ проблемы эквивалентны друг другу, и поэтому, исходя из аргумента, использующего принцип равномерной ограниченности , для любого конкретного $p\in (1,\infty )$ , $L^{p}$ сходимость по норме следует в обоих случаях именно для тех $\delta$ где $(1-|\xi |^{2})_{+}^{\delta }$ является символом $L^{p}$ ограниченный оператор -множитель Фурье .

Для $n=2$ , этот вопрос был полностью решен, но для $n\geq 3$ , на него был дан лишь частичный ответ. Случай $n=1$ здесь неинтересно, поскольку сходимость следует для $p\in (1,\infty )$ в самом сложном $\delta =0$ случае как следствие $L^{p}$ ограниченность преобразования Гильберта и аргумент Марселя Рисса .

Определять $\delta (p)$ , «критический индекс», т.к.

\max(n|1/p-1/2|-1/2,0)

.

Тогда гипотеза Бохнера – Рисса утверждает, что

\delta >\delta (p)

является необходимым и достаточным условием для $L^{p}$ ограниченный оператор-множитель Фурье. Известно, что условие необходимое. ^{[ 2 ]}

Ссылки

^ Фефферман, Чарльз (1971). «Задача о множителе для мяча». Анналы математики . 94 (2): 330–336. дои : 10.2307/1970864 . JSTOR 1970864 .
^ Чиатти, Паоло (2008). Темы математического анализа . Всемирная научная. п. 347. ИСБН 9789812811066 .

Дальнейшее чтение

Лу, Шаньчжэнь (2013). Средства Бохнера-Рисса в евклидовых пространствах (первое изд.). Всемирная научная. ISBN 978-981-4458-76-4 .
Графакос, Лукас (2008). Классический анализ Фурье (второе изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-0-387-09431-1 .
Графакос, Лукас (2009). Современный анализ Фурье (второе изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-0-387-09433-5 .
Штейн, Элиас М. и Мерфи, Тимоти С. (1993). Гармонический анализ: методы действительных переменных, ортогональность и осциллирующие интегралы . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-03216-5 .

[1] Фефферман, Чарльз (1971). «Задача о множителе для мяча». Анналы математики . 94 (2): 330–336. дои : 10.2307/1970864 . JSTOR 1970864 .

[2] Чиатти, Паоло (2008). Темы математического анализа . Всемирная научная. п. 347. ИСБН 9789812811066 .

[ 1 ]

[ 2 ]