Рисс означает

В математике — среднее Рисса это определенное среднее членов ряда . Они были введены Марселем Риссом в 1911 году как усовершенствование среднего значения Чезаро. ^{[1] [2]} . Среднее значение Рисса не следует путать со средним значением Бохнера-Рисса или средним значением Стронга-Рисса .

Определение

Учитывая серию $\{s_{n}\}$, среднее Рисса ряда определяется выражением

$s^{\delta }(\lambda )=\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }s_{n}$

Иногда обобщенное среднее Рисса определяется как

$R_{n}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\sum _{k=0}^{n}(\lambda _{k}-\lambda _{k-1})^{\delta }s_{k}$

Здесь $\lambda _{n}$ представляют собой последовательность с $\lambda _{n}\to \infty$ и с $\lambda _{n+1}/\lambda _{n}\to 1$ как $n\to \infty$. Помимо этого, $\lambda _{n}$ принимаются как произвольные.

Средние Рисса часто используются для исследования суммируемости последовательностей; типичные теоремы суммирования обсуждают случай $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ для некоторой последовательности $\{a_{k}\}$. Обычно последовательность суммируема, если предел $\lim _{n\to \infty }R_{n}$ существует, или предел $\lim _{\delta \to 1,\lambda \to \infty }s^{\delta }(\lambda )$ существует, хотя рассматриваемые точные теоремы суммирования часто накладывают дополнительные условия.

Особые случаи

Позволять $a_{n}=1$ для всех $n$. Затем

$\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}\zeta (s)\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}.$

Здесь нужно взять $c>1$; $\Gamma (s)$ это гамма-функция и $\zeta (s)$ — дзета-функция Римана . Силовой ряд

$\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}$

можно показать, что они сходятся для $\lambda >1$. Обратите внимание, что интеграл имеет форму обратного преобразования Меллина .

Другой интересный случай, связанный с теорией чисел, возникает, если взять $a_{n}=\Lambda (n)$ где $\Lambda (n)$ — функция фон Мангольдта . Затем

$\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.$

Опять же, нужно взять c > 1. Сумма по ρ — это сумма по нулям дзета-функции Римана, а

$\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,$

сходится при λ > 1.

Встречающиеся здесь интегралы аналогичны интегралу Нёрлунда – Райса ; очень грубо их можно связать с этим интегралом с помощью формулы Перрона .

Ссылки

• ↑ М. Рисс, Отчеты , 12 июня 1911 г.
• ^ Харди, Г.Х. и Литтлвуд, Дж.Э. (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел» . Акта Математика . 41 : 119–196. дои : 10.1007/BF02422942 .
• Волков И.И. (2001) [1994], «Метод суммирования Рисса» , Энциклопедия Математики , EMS Press