Суммирование Чезаро

В математическом анализе суммирование Чезаро (также известное как среднее Чезаро) ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} или предел Чезаро ^{[ 3 ]}) присваивает значения некоторым бесконечным суммам , которые не обязательно сходятся в обычном смысле. Сумма Чезаро определяется как предел при стремлении n к бесконечности последовательности средних арифметических первых n частичных сумм ряда.

Этот частный случай метода суммирования матриц назван в честь итальянского аналитика Эрнесто Чезаро (1859–1906).

Термин «суммирование» может вводить в заблуждение, поскольку можно сказать, что некоторые утверждения и доказательства, касающиеся суммирования Чезаро, подразумевают мошенничество Эйленберга-Мазура . Например, это обычно применяется к ряду Гранди с выводом, что сумма этого ряда равна 1/2.

Определение

Позволять $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ будет последовательностью , и пусть

s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}

быть его $k-й$ частичной суммой .

Последовательность $(an, причем)$ называется суммируемой по Чезаро сумма Чезаро $\mathbb {R}$ , если при $стремлении n$ к бесконечности среднее арифметическое его первых n частичных сумм $s 1, s 2, ..., стремится sn$ к $A$ :

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=A.

Значение полученного предела называется суммой Чезаро ряда $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$ Если этот ряд сходится, то он суммируем по Чезаро и его сумма Чезаро является обычной суммой.

Примеры

Первый пример

Пусть $n) = (-1 н$ для $п \geq 0$ . То есть, $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ это последовательность

(1,-1,1,-1,\ldots ).

Обозначим через $G$ ряд

G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=1-1+1-1+1-\cdots

Ряд $G$ известен как ряд Гранди .

Позволять $(s_{k})_{k=0}^{\infty }$ обозначим последовательность частичных сумм $G$ :

{\begin{aligned}s_{k}&=\sum _{n=0}^{k}a_{n}\\(s_{k})&=(1,0,1,0,\ldots ).\end{aligned}}

Эта последовательность частичных сумм не сходится, поэтому ряд $G$ расходится. Однако $G$ суммируема по Чезаро. Позволять $(t_{n})_{n=1}^{\infty }$ — последовательность средних арифметических первых $n$ частичных сумм:

{\begin{aligned}t_{n}&={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}\\(t_{n})&=\left({\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{5}},{\frac {3}{6}},{\frac {4}{7}},{\frac {4}{8}},\ldots \right).\end{aligned}}

Затем

\lim _{n\to \infty }t_{n}=1/2,

и, следовательно, сумма Чезаро ряда $G$ равна $1/2$ .

Второй пример

В качестве другого примера, пусть $a n = n$ для $n \geq 1$ . То есть, $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ это последовательность

(1,2,3,4,\ldots ).

Пусть $теперь G$ обозначает ряд

G=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=1+2+3+4+\cdots

Тогда последовательность частичных сумм $(s_{k})_{k=1}^{\infty }$ является

(1,3,6,10,\ldots ).

Поскольку последовательность частичных сумм неограниченно растет, ряд $G$ расходится в бесконечность. Последовательность $(t n)$ средних частичных сумм G равна

\left({\frac {1}{1}},{\frac {4}{2}},{\frac {10}{3}},{\frac {20}{4}},\ldots \right).

Эта последовательность также расходится до бесконечности, поэтому $G$ не суммируема по Чезаро. Фактически, для ряда любой последовательности, которая расходится до бесконечности (положительной или отрицательной), метод Чезаро также приводит к ряду последовательности, которая также расходится, и, следовательно, такой ряд не суммируется по Чезаро.

$(C, α)$ суммирование

В 1890 году Эрнесто Чезаро сформулировал более широкое семейство методов суммирования, которые с тех пор получили название $(C, α)$ для неотрицательных целых чисел $α$ . Метод $(C, 0)$ — это обычное суммирование, а $(C, 1)$ — это суммирование Чезаро, как описано выше.

Методы более высокого порядка можно описать следующим образом: по ряду $Σ a n$ определить величины

{\begin{aligned}A_{n}^{-1}&=a_{n}\\A_{n}^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}\end{aligned}}

(где верхние индексы не обозначают показатели степени) и определим $E а п$ быть $А а n$ для ряда 1 + 0 + 0 + 0 + ... . Тогда $(C, α)$ сумма $Σ an имеет$ обозначается через $(C, α)-Σ и an$ значение

(\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}

если он существует ( Shawyer & Watson 1994 , стр. 16-17). Это описание представляет собой $α$ -кратное итерированное применение первоначального метода суммирования и может быть переформулировано как

(\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\binom {n}{j}}{\binom {n+\alpha }{j}}}a_{j}.

В более общем смысле, для $\mathbb {R}$ , пусть $А а n$ неявно задается коэффициентами ряда

\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{1+\alpha }}},

и $Е а п,$ как указано выше. В частности, $Э а n$ — биномиальные коэффициенты степени $-1 - α$ . Тогда $(C, α)$ сумма $Σ an .$ определяется, как указано выше

Если $Σan сумму сумму$ имеет $(C, α)$ , то она также имеет $(C, β)$ для каждого $β > α$ , и суммы совпадают; мы имеем $n n = o (кроме того , а),$ если $α > -1$ (см. Литтла- $о$ обозначения ).

Суммируемость интеграла по Чезаро

Пусть $α \geq 0$ . Интеграл $\textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx$ является $(C, α)$ суммируемым, если

\lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\,dx

существует и конечен ( Титчмарш 1948 , §1.15). Значение этого предела, если он существует, представляет собой $(C, α)$ сумму интеграла. Аналогично случаю суммы ряда, если $α = 0$ , результатом является сходимость несобственного интеграла . В случае $α = 1$ , $(C, 1)$ сходимость эквивалентна существованию предела

\lim _{\lambda \to \infty }{\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\int _{0}^{x}f(y)\,dy\,dx

что является пределом средних частных интегралов.

Как и в случае с рядами, если интеграл $(C, α)$ суммируем для некоторого значения $α \geq 0$ , то он также $(C, β)$ суммируем для всех $β > α$ , и значением результирующего предела является такой же.

См. также

Ссылки

^ Харди, GH (1992). Дивергентный сериал . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2649-2 .
^ Кацнельсон, Ицхак (1976). Введение в гармонический анализ . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63331-2 .
^ Хенк К. Таймс (2003). Первый курс стохастических моделей . Джон Уайли и сыновья. п. 439. ИСБН 978-0-471-49880-3 .

Библиография

Шойер, Брюс; Уотсон, Брюс (1994), Методы суммирования Бореля: теория и приложения , Oxford University Press, ISBN 0-19-853585-6
Титчмарш, EC (1948), Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Chelsea Publishing . Перепечатано в 1986 г. с ISBN 978-0-8284-0324-5 .
Волков, И.И. (2001) [1994], «Методы суммирования Чезаро» , Энциклопедия математики , EMS Press
Зигмунд, Антони (1988) [1968], Тригонометрический ряд (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35885-9

[Hardy-1] Харди, GH (1992). Дивергентный сериал . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2649-2 .

[Katznelson-2] Кацнельсон, Ицхак (1976). Введение в гармонический анализ . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63331-2 .

[3] Хенк К. Таймс (2003). Первый курс стохастических моделей . Джон Уайли и сыновья. п. 439. ИСБН 978-0-471-49880-3 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]