Формула суммирования Абеля

В математике , формула суммирования Абеля , введенная Нильсом Хенриком Абелем интенсивно используется в аналитической теории чисел и изучении специальных функций для вычисления рядов .

Формула

Позволять $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ быть последовательностью действительных комплексных или чисел . Определите функцию частичной суммы $A$ к

A(t)=\sum _{0\leq n\leq t}a_{n}

для любого действительного числа $t$ . Исправьте действительные числа $x<y$ , и пусть $\phi$ быть непрерывно дифференцируемой функцией на $[x,y]$ . Затем:

\sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,du.

Формула получена путем применения интегрирования по частям для интеграла Римана – Стилтьеса к функциям $A$ и $\phi$ .

Вариации

Приняв левую конечную точку за $-1$ дает формулу

\sum _{0\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{0}^{x}A(u)\phi '(u)\,du.

Если последовательность $(a_{n})$ индексируется начиная с $n=1$ , то мы можем формально определить $a_{0}=0$ . Предыдущая формула становится

\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,du.

Распространенный способ применения формулы суммирования Абеля — взять предел одной из этих формул как $x\to \infty$ . Полученные формулы:

{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}A(x)\phi (x){\bigr )}-\int _{0}^{\infty }A(u)\phi '(u)\,du,\\\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}A(x)\phi (x){\bigr )}-\int _{1}^{\infty }A(u)\phi '(u)\,du.\end{aligned}}

Эти уравнения справедливы, если оба предела в правой части существуют и конечны.

Особенно полезным случаем является последовательность $a_{n}=1$ для всех $n\geq 0$ . В этом случае, $A(x)=\lfloor x+1\rfloor$ . Для этой последовательности формула суммирования Абеля упрощается до

\sum _{0\leq n\leq x}\phi (n)=\lfloor x+1\rfloor \phi (x)-\int _{0}^{x}\lfloor u+1\rfloor \phi '(u)\,du.

Аналогично для последовательности $a_{0}=0$ и $a_{n}=1$ для всех $n\geq 1$ , формула принимает вид

\sum _{1\leq n\leq x}\phi (n)=\lfloor x\rfloor \phi (x)-\int _{1}^{x}\lfloor u\rfloor \phi '(u)\,du.

Приняв предел как $x\to \infty$ , мы находим

{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}\lfloor x+1\rfloor \phi (x){\bigr )}-\int _{0}^{\infty }\lfloor u+1\rfloor \phi '(u)\,du,\\\sum _{n=1}^{\infty }\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}\lfloor x\rfloor \phi (x){\bigr )}-\int _{1}^{\infty }\lfloor u\rfloor \phi '(u)\,du,\end{aligned}}

предполагая, что оба члена в правой части существуют и конечны.

Формулу суммирования Абеля можно обобщить на случай, когда $\phi$ предполагается непрерывным только в том случае, если интеграл интерпретируется как интеграл Римана – Стилтьеса :

\sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\,d\phi (u).

Взяв $\phi$ быть функцией частичной суммы, связанной с некоторой последовательностью, это приводит к формуле суммирования по частям .

Примеры

Гармонические числа

Если $a_{n}=1$ для $n\geq 1$ и $\phi (x)=1/x,$ затем $A(x)=\lfloor x\rfloor$ и формула дает

\sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,du.

Левая часть — номер гармоники. $H_{\lfloor x\rfloor }$ .

Представление дзета-функции Римана

Исправить комплексное число $s$ . Если $a_{n}=1$ для $n\geq 1$ и $\phi (x)=x^{-s},$ затем $A(x)=\lfloor x\rfloor$ и формула становится

\sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s}}}+s\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\,du.

Если $\Re (s)>1$ , то предел как $x\to \infty$ существует и дает формулу

\zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\,du.

где $\zeta (s)$ — дзета-функция Римана . Это можно использовать для вывода теоремы Дирихле о том, что $\zeta (s)$ имеет простой полюс с вычетом 1 в точке $s = 1$ .

Обратная дзета-функция Римана

Технику предыдущего примера можно применить и к другим сериям Дирихле . Если $a_{n}=\mu (n)$ — функция Мёбиуса и $\phi (x)=x^{-s}$ , затем $A(x)=M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)$ – функция Мертенса и