Функция Мертенса

В теории чисел функция Мертенса определяется для всех натуральных чисел n как

M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k),

где $\mu (k)$ — функция Мёбиуса . Функция названа в честь Франца Мертенса . Это определение можно распространить на положительные действительные числа следующим образом:

M(x)=M(\lfloor x\rfloor ).

Менее формально, $M(x)$ — это количество целых чисел без квадратов до x , которые имеют четное количество простых делителей, минус количество тех, которые имеют нечетное число.

Первые 143 значения M ( n ) — это (последовательность A002321 в OEIS )

М ( н )	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11
0+		1	0	−1	−1	−2	−1	−2	−2	−2	−1	−2
12+	−2	−3	−2	−1	−1	−2	−2	−3	−3	−2	−1	−2
24+	−2	−2	−1	−1	−1	−2	−3	−4	−4	−3	−2	−1
36+	−1	−2	−1	0	0	−1	−2	−3	−3	−3	−2	−3
48+	−3	−3	−3	−2	−2	−3	−3	−2	−2	−1	0	−1
60+	−1	−2	−1	−1	−1	0	−1	−2	−2	−1	−2	−3
72+	−3	−4	−3	−3	−3	−2	−3	−4	−4	−4	−3	−4
84+	−4	−3	−2	−1	−1	−2	−2	−1	−1	0	1	2
96+	2	1	1	1	1	0	−1	−2	−2	−3	−2	−3
108+	−3	−4	−5	−4	−4	−5	−6	−5	−5	−5	−4	−3
120+	−3	−3	−2	−1	−1	−1	−1	−2	−2	−1	−2	−3
132+	−3	−2	−1	−1	−1	−2	−3	−4	−4	−3	−2	−1

Функция Мертенса медленно растет в положительном и отрицательном направлениях как в среднем, так и в пиковом значении, колеблясь, по-видимому, хаотично, проходя через ноль при n значениях

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 7, 428, ... (последовательность A028442 в OEIS ).

Поскольку функция Мёбиуса принимает только значения −1, 0 и +1, функция Мертенса движется медленно, и не существует x такого, что | М ( Икс )| > х . Х. Давенпорт ^[1] продемонстрировал, что для любого фиксированного h ,

\sum _{n=1}^{x}\mu (n)\exp(i2\pi n\theta )=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)

равномерно в $\theta$ . Это подразумевает, что $\theta =0$ что

M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)\ .

Гипотеза Мертенса пошла еще дальше, заявив, что не будет x , где абсолютное значение функции Мертенса превышает квадратный корень из x . Гипотеза Мертенса была опровергнута в 1985 году Эндрю Одлыжко и Германом те Риле . Однако гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте M ( x ), а именно M ( x ) = O ( x ^{1/2 + е}). Поскольку высокие значения M ( x ) растут по крайней мере так же быстро, как ${\sqrt {x}}$ , это накладывает довольно жесткие ограничения на темпы его роста. Здесь O относится к большой записи O.

Истинная скорость роста M ( x ) неизвестна. Неопубликованная гипотеза Стива Гонека утверждает, что

0<\limsup _{x\to \infty }{\frac {|M(x)|}{{\sqrt {x}}(\log \log \log x)^{5/4}}}<\infty .

Вероятностные доказательства этой гипотезы дает Натан Нг. ^[2] В частности, Ng дает условное доказательство того, что функция $e^{-y/2}M(e^{y})$ имеет ограниченное распространение $\nu$ на $\mathbb {R}$ . То есть для всех ограниченных липшицевых непрерывных функций $f$ на самом деле у нас есть это

\lim _{Y\to \infty }{\frac {1}{Y}}\int _{0}^{Y}f{\big (}e^{-y/2}M(e^{y}){\big )}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\nu (x),

если предположить различные гипотезы о дзета-функции Римана .

Представления [ править ]

Как интеграл [ править ]

Используя произведение Эйлера , можно найти, что

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},

где $\zeta (s)$ является дзета-функцией Римана , а произведение берется по простым числам. Затем, используя этот ряд Дирихле с формулой Перрона , получаем

{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds=M(x),

где с > 1.

И наоборот, имеется преобразование Меллина

{\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}\,dx,

что справедливо для $\operatorname {Re} (s)>1$ .

Любопытное соотношение, данное самим Мертенсом, касающееся второй функции Чебышева :

\psi (x)=M\left({\frac {x}{2}}\right)\log 2+M\left({\frac {x}{3}}\right)\log 3+M\left({\frac {x}{4}}\right)\log 4+\cdots .

Предполагая, что дзета-функция Римана не имеет кратных нетривиальных нулей, по теореме о вычетах получается «точная формула» :

M(x)=\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho \zeta '(\rho )}}-2+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)x^{2n}}}.

Вейль предположил, что функция Мертенса удовлетворяет приближенному функционально-дифференциальному уравнению

{\frac {y(x)}{2}}-\sum _{r=1}^{N}{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}D_{t}^{2r-1}y\left({\frac {x}{t+1}}\right)+x\int _{0}^{x}{\frac {y(u)}{u^{2}}}\,du=x^{-1}H(\log x),

где H ( x ) — ступенчатая функция Хевисайда , B — числа Бернулли , а все производные по t вычисляются при t = 0.

Существует также формула следов, включающая сумму по функции Мёбиуса и нулям дзета-функции Римана в виде

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\gamma }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(1/2+i\gamma )}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)!\zeta (2n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-x(2n+1/2)}\,dx,

где первая сумма в правой части берется по нетривиальным нулям дзета-функции Римана, а ( g , h ) связаны преобразованием Фурье , так что

2\pi g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }h(u)e^{iux}\,du.

сумма по Фарея последовательностям Как

Другая формула функции Мертенса:

M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},

где ${\mathcal {F}}_{n}$ — последовательность Фарея порядка n .

Эта формула используется при доказательстве теоремы Франеля–Ландау . ^[3]

В качестве определителя [ править ]

M ( n ) — определитель матрицы n × n Редхеффера размера , матрицы (0, 1), в которой a _ij равен 1, если либо j равен 1, либо i делит j .

Как сумма количества точек под n -мерными гиперболоидами [ править ]

M(x)=1-\sum _{2\leq a\leq x}1+{\underset {ab\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}}}1-{\underset {abc\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}}}1+{\underset {abcd\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}\sum _{d\geq 2}}}1-\cdots

Эта формулировка ^{[ нужна ссылка ]} Расширение функции Мертенса предполагает асимптотические оценки, полученные при рассмотрении проблемы делителей Пильца , которая обобщает проблему делителей Дирихле для вычисления асимптотических оценок суммирующей функции функции делителей .

Другая недвижимость [ править ]

От ^[4] у нас есть

\sum _{d=1}^{n}M(\lfloor n/d\rfloor )=1\ .

Кроме того, из ^[5]

\sum _{d=1}^{n}M(\lfloor n/d\rfloor )d=\Phi (n)\ ,

где $\Phi (n)$ – суммирующая функция Тотиента .

Расчет [ править ]

Ни один из упомянутых ранее методов не приводит к практическим алгоритмам расчета функции Мертенса.Используя ситовые методы, аналогичные тем, которые используются при подсчете простых чисел, функция Мертенса была вычислена для всех целых чисел до возрастающего диапазона x . ^[6]^[7]

Человек	Год	Лимит
Мертенс	1897	10 ⁴
из Штернека	1897	1.5 × 10 ⁵
из Штернека	1901	5 × 10 ⁵
из Штернека	1912	5 × 10 ⁶
Нойбауэр	1963	10 ⁸
Коэн и платье	1979	7.8 × 10 ⁹
Одеваться	1993	10 ¹²
Лиоэн и ван де Луне	1994	10 ¹³
Котник и ван де Луне	2003	10 ¹⁴
Херст	2016	10 ¹⁶

Функция Мертенса для всех целых значений до x может быть вычислена за время O ( x log log x ) . Комбинаторный алгоритм разрабатывался постепенно, начиная с 1870 года Эрнстом Мейселем . ^[8] Лемер , ^[9] Лагариас — Миллер — Одлызко , ^[10] и Делеглиз-Риват ^[11] который вычисляет изолированные значения M ( x ) в O ( x ^2/3(журнал журнал x ) ^1/3) время; дальнейшее улучшение Харальда Хелфготта и Лолы Томпсон в 2021 году улучшает это значение до O ( x ^3/5(логарифм х ) ^3/5+е) , ^[12] а алгоритм Лагариаса и Одлизко, основанный на интегралах дзета-функции Римана, достигает времени работы O ( x ^1/2+е) . ^[13]

См. OEIS : A084237 для значений M ( x ) в степени 10.

Известные верхние границы [ править ]

Нг отмечает, что гипотеза Римана (RH) эквивалентна

M(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left({\frac {C\cdot \log x}{\log \log x}}\right)\right),

для некоторой положительной константы $C>0$ . Другие верхние оценки были получены Майером, Монтгомери и Саундараджаном, предполагая, что RH включает

{\begin{aligned}|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left(C_{2}\cdot (\log x)^{\frac {39}{61}}\right)\\|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left({\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{14}\right).\end{aligned}}

Известные явные верхние границы без предположения относительной влажности определяются следующим образом: ^[14]

{\begin{aligned}|M(x)|&<{\frac {12590292\cdot x}{\log ^{236/75}(x)}},\ {\text{ for }}x>\exp(12282.3)\\|M(x)|&<{\frac {0.6437752\cdot x}{\log x}},\ {\text{ for }}x>1.\end{aligned}}

Приведенное выше выражение можно упростить до менее строгой, но наглядной формы:

{\begin{aligned}M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{\pi }(x)}}\right).\end{aligned}}

Другие явные верхние оценки даны Котником (нужна ссылка) как

{\begin{aligned}|M(x)|&<{\frac {x}{4345}},\ {\text{ for }}x>2160535\\|M(x)|&<{\frac {0.58782\cdot x}{\log ^{11/9}(x)}},\ {\text{ for }}x>685.\end{aligned}}

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Давенпорт, Х. (ноябрь 1937 г.). «О некоторых бесконечных рядах, включающих арифметические функции (Ii)». Ежеквартальный математический журнал . Оригинальный сериал. 8 (1): 313–320. дои : 10.1093/qmath/os-8.1.313 .
^ Натан Нг (25 октября 2018 г.). «Распределение суммирующей функции функции Мёбиуса». arXiv : math/0310381 .
^ Эдвардс, Ч. 12.2.
^ Леман, RS (1960). «О функции Лиувилля». Математика. Вычислить . 14 : 311–320.
^ Канемицу, С.; Ёсимото, М. (1996). «Ряд Фэри и гипотеза Римана» . Акта Арифметика . 75 (4): 351–374. дои : 10.4064/aa-75-4-351-374 .
^ Котник, Тадей; ван де Луне, январь (ноябрь 2003 г.). «Дальнейшие систематические вычисления суммирующей функции Мёбиуса» . Моделирование, анализ и симуляция . МАС-Р0313.
^ Херст, Грег (2016). «Расчеты функции Мертенса и улучшенные оценки гипотезы Мертенса». arXiv : 1610.08551 [ math.NT ].
^ Майзель, Эрнст (1870). «Об определении множества простых чисел в заданных пределах» . Математические анналы (на немецком языке). 2 (4): 636–642. дои : 10.1007/BF01444045 . ISSN 0025-5831 . S2CID 119828499 .
^ Лемер, Деррик Генри (1 апреля 1958 г.). «О ТОЧНОМ КОЛИЧЕСТВЕ ПРОСТЫХ ПРОСТЫХ МЕНЬШЕ ЗАДАННОГО ПРЕДЕЛА» . Иллинойс Дж. Математика . 3 (3): 381–388 . Проверено 1 февраля 2017 г.
^ Лагариас, Джеффри; Миллер, Виктор; Одлызко, Андрей (11 апреля 1985 г.). «Вычисления $\pi (x)$ : Метод Мейселя-Лемера » (PDF) . Mathematics of Computing . 44 (170): 537–560. doi : 10.1090/S0025-5718-1985-0777285-5 . Проверено 13 сентября 2016 г.
^ Риват, Йол; Делеглиз, Марк (1996). «Вычисление суммирования функции Мёбиуса» . Экспериментальная математика . 5 (4): 291–295. дои : 10.1080/10586458.1996.10504594 . ISSN 1944-950Х . S2CID 574146 .
^ Хелфготт, Харальд; Томпсон, Лола (2023). «Подведение итогов $\mu (n)$ : более быстрый элементарный алгоритм» . Исследования в области теории чисел . 9 (1): 6. : 10.1007 /s40993-022-00408-8 . ISSN 2363-9555 . PMC 9731940. . PMID 36511765 doi
^ Лагариас, Джеффри; Одлызко, Андрей (июнь 1987 г.). «Вычисления $\pi (x)$ : Аналитический метод» . Журнал алгоритмов . 8 (2): 173–191. doi : 10.1016/0196-6774(87)90037-X .
^ Эль Марраки, М. (1995). «Сумматорная функция функции Мёбиуса, 3. Сильная эффективная асимптотическая мажорация» . Бордоский журнал теории чисел . 7 (2).

Ссылки [ править ]

Эдвардс, Гарольд (1974). Дзета-функция Римана . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-41740-9 .
Мертенс, Ф. (1897). « О теоретико-числовой функции», Венская академия наук математики-натурлих». Отчет о небольшой сессии, IIA . 106 :761-830.
Одлизко, А.М. ; те Риле, Герман (1985). «Опровержение гипотезы Мертенса» (PDF) . Журнал чистой и прикладной математики . 357 : 138–160.
Вайсштейн, Эрик В. «Функция Мертенса» . Математический мир .
Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002321 (функция Мертенса)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
Делеглиз М. и Рива Ж. «Вычисление суммирования функции Мёбиуса». Экспериментируйте. Математика. 5, 291-295, 1996. Вычисление суммирования функции Мёбиуса
Херст, Грег (2016). «Расчеты функции Мертенса и улучшенные оценки гипотезы Мертенса». arXiv : 1610.08551 [ math.NT ].
Натан Нг, «Распределение суммирующей функции функции Мёбиуса», Proc. Лондонская математика. Соц. (3) 89 (2004) 361-389. [1]

[1] Давенпорт, Х. (ноябрь 1937 г.). «О некоторых бесконечных рядах, включающих арифметические функции (Ii)». Ежеквартальный математический журнал . Оригинальный сериал. 8 (1): 313–320. дои : 10.1093/qmath/os-8.1.313 .

[2] Натан Нг (25 октября 2018 г.). «Распределение суммирующей функции функции Мёбиуса». arXiv : math/0310381 .

[3] Эдвардс, Ч. 12.2.

[4] Леман, RS (1960). «О функции Лиувилля». Математика. Вычислить . 14 : 311–320.

[5] Канемицу, С.; Ёсимото, М. (1996). «Ряд Фэри и гипотеза Римана» . Акта Арифметика . 75 (4): 351–374. дои : 10.4064/aa-75-4-351-374 .

[6] Котник, Тадей; ван де Луне, январь (ноябрь 2003 г.). «Дальнейшие систематические вычисления суммирующей функции Мёбиуса» . Моделирование, анализ и симуляция . МАС-Р0313.

[7] Херст, Грег (2016). «Расчеты функции Мертенса и улучшенные оценки гипотезы Мертенса». arXiv : 1610.08551 [ math.NT ].

[8] Майзель, Эрнст (1870). «Об определении множества простых чисел в заданных пределах» . Математические анналы (на немецком языке). 2 (4): 636–642. дои : 10.1007/BF01444045 . ISSN 0025-5831 . S2CID 119828499 .

[9] Лемер, Деррик Генри (1 апреля 1958 г.). «О ТОЧНОМ КОЛИЧЕСТВЕ ПРОСТЫХ ПРОСТЫХ МЕНЬШЕ ЗАДАННОГО ПРЕДЕЛА» . Иллинойс Дж. Математика . 3 (3): 381–388 . Проверено 1 февраля 2017 г.

[10] Лагариас, Джеффри; Миллер, Виктор; Одлызко, Андрей (11 апреля 1985 г.). «Вычисления $\pi (x)$ : Метод Мейселя-Лемера » (PDF) . Mathematics of Computing . 44 (170): 537–560. doi : 10.1090/S0025-5718-1985-0777285-5 . Проверено 13 сентября 2016 г.

[11] Риват, Йол; Делеглиз, Марк (1996). «Вычисление суммирования функции Мёбиуса» . Экспериментальная математика . 5 (4): 291–295. дои : 10.1080/10586458.1996.10504594 . ISSN 1944-950Х . S2CID 574146 .

[12] Хелфготт, Харальд; Томпсон, Лола (2023). «Подведение итогов $\mu (n)$ : более быстрый элементарный алгоритм» . Исследования в области теории чисел . 9 (1): 6. : 10.1007 /s40993-022-00408-8 . ISSN 2363-9555 . PMC 9731940. . PMID 36511765 doi

[13] Лагариас, Джеффри; Одлызко, Андрей (июнь 1987 г.). «Вычисления $\pi (x)$ : Аналитический метод» . Журнал алгоритмов . 8 (2): 173–191. doi : 10.1016/0196-6774(87)90037-X .

[ElMarraki95-14] Эль Марраки, М. (1995). «Сумматорная функция функции Мёбиуса, 3. Сильная эффективная асимптотическая мажорация» . Бордоский журнал теории чисел . 7 (2).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]