функция Чебышева

Функция Чебышева $\psi (x)$, при х < 50

Функция $\psi (x)-x$, для x < 10 ⁴

Функция $\psi (x)-x$, для x < 10 ⁷

В математике функция Чебышева — это либо скаляризирующая функция ( функция Чебышева ), либо одна из двух родственных функций. Первая функция Чебышева ϑ ( x ) или θ ( x ) определяется выражением

$\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p$

где $\log$ обозначает натуральный логарифм , сумма которого распространяется на все простые числа p , которые меньше или равны x .

Вторая функция Чебышева ψ ( x ) определяется аналогично, причем сумма распространяется по всем простым степеням, не превосходящим x

$\psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,$

где Λ — функция Мангольдта . Функции Чебышева, особенно вторая ψ ( x ) , часто используются в доказательствах, связанных с простыми числами , потому что с ними обычно проще работать, чем с функцией подсчета простых чисел , π ( x ) (см. точную формулу ниже .) Обе функции Чебышева асимптотичны к x , что эквивалентно теореме о простых числах .

Функция Чебышева , функция полезности Чебышева или взвешенная скаляризирующая функция Чебышева используется, когда нужно минимизировать несколько функций и нужно «скаляризовать» их до одной функции:

$f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).$

Минимизируя эту функцию для разных значений $w$, можно получить каждую точку на фронте Парето , даже в невыпуклых частях. Зачастую функции, которые необходимо минимизировать, не $f_{i}$ но $|f_{i}-z_{i}^{*}|$ для некоторых скаляров $z_{i}^{*}$. Затем $f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.$

Все три функции названы в честь Пафнутия Чебышева .

Отношения

Вторую функцию Чебышева можно увидеть связанной с первой, записав ее как

$\psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p$

где k — уникальное целое число такое, что p ^к ≤ x и x < p ^{к + 1} . Значения k приведены в OEIS : A206722 . Более прямую связь дает

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.$

Обратите внимание, что эта последняя сумма имеет только конечное число ненулевых членов, так как

$\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.$

Вторая функция Чебышева — это логарифм наименьшего общего кратного целых чисел от 1 до n .

$\operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.$

Значения lcm(1, 2, ..., n ) для целочисленной переменной n приведены в OEIS : A003418 .

Отношения между ψ ( x )/ x и ϑ ( x )/ x

Следующая теорема связывает два фактора ${\frac {\psi (x)}{x}}$ и ${\frac {\vartheta (x)}{x}}$ .

Теорема: Для $x>0$, у нас есть

$0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.$

Примечание. Из этого неравенства следует, что

$\lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.$

Другими словами, если один из $\psi (x)/x$ или $\vartheta (x)/x$ стремится к пределу , то и другое стремится к пределу, и оба предела равны.

Доказательство: поскольку $\psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})$, мы находим это

$0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).$

Но из определения $\vartheta (x)$ мы имеем тривиальное неравенство

$\vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x$

так

${\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}$

Наконец, разделите на $x$ чтобы получить неравенство в теореме.

Асимптотика и границы

Для функций Чебышева известны следующие оценки: ^{[1] [2]} (в этих формулах p _k — k -е простое число; p ₁ = 2 , p ₂ = 3 и т. д.)

${\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}$

Кроме того, согласно гипотезе Римана ,

${\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}$

для любого ε > 0 .

Верхние границы существуют как для ϑ ( x ) , так и для ψ ( x ) такие, что ^[3]

${\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}$

для любого х > 0 .

Объяснение константы 1,03883 дано в OEIS : A206431 .

Точная формула

В 1895 году Ганс Карл Фридрих фон Мангольдт доказал ^[4] явное выражение для ψ ( x ) как суммы по нетривиальным нулям дзета -функции Римана :

$\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).$

(Численное значение ζ ′   (0) / ζ (0) равно log(2π) .) Здесь ρ пробегает нетривиальные нули дзета-функции, а ψ ₀ совпадает с ψ , за исключением того, что на ее скачкообразных разрывах (простых степенях) она принимает значение посередине между значениями слева и справа:

$\psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

Из ряда Тейлора для логарифма последний член явной формулы можно понимать как сумму х ^ой / ω по тривиальным нулям дзета-функции, ω = −2, −4, −6, ... , т. е.

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).$

Аналогично, первый член x = х ¹ / 1 соответствует простому полюсу дзета-функции в точке 1. То, что это полюс, а не ноль, объясняет противоположный знак члена.

Свойства

Теорема Эрхарда Шмидта утверждает, что для некоторой явной положительной константы K существует бесконечно много натуральных чисел x таких, что

$\psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}$

и бесконечно много натуральных чисел x таких, что

$\psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.$^{[5] [6]}

В Little -O обозначениях вышеизложенное можно записать как

$\psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).$

Харди и Литтлвуд ^[7] докажите более сильный результат, что

$\psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).$

Отношение к первобытным

Первая функция Чебышева — это логарифм простого числа x , обозначаемый x # :

$\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).$

Это доказывает, что первоначальный x # асимптотически равен e ^{(1 + о (1)) х} , где « o » — обозначение small- o (см. big O обозначение ) и вместе с теоремой о простых числах устанавливает асимптотическое поведение p _n # .

Связь с функцией подсчета простых чисел

Функцию Чебышева можно связать с функцией подсчета простых чисел следующим образом. Определять

$\Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.$

Затем

$\Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.$

Переход от Π к функции счета простых чисел π осуществляется через уравнение

$\Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots$

Конечно, π ( x ) ≤ x , поэтому для приближения это последнее соотношение можно переписать в виде

$\pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).$

Гипотеза Римана

Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть. 1/2 ​ ​ . В этом случае | х ^р | = √ x , и можно показать, что

$\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).$

Из вышесказанного следует, что

$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).$

Функция сглаживания

Разница сглаженной функции Чебышева и х ² / 2 для х < 10 ⁶

Функция сглаживания определяется как

$\psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.$

Очевидно $\psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.$

Примечания

• ^ Пьер Дюсар , «Оценки некоторых функций над простыми числами без RH». arXiv : 1002.0442
• ^ Пьер Дюсар, «Более точные границы для ψ , θ , π , pk _» , Rapport de recherche no. 1998-06, Университет Лиможа. Сокращенная версия появилась как « К -е простое число больше k (log k + log log k - 1) для k ≥ 2 », Mathematics of Computation , Vol. 68, № 225 (1999), стр. 411–415.
• ^ Эрхард Шмидт, «О количестве простых чисел при заданном пределе», Mathematical Annals , 57 (1903), стр. 195–204.
• ^ Г.Х. Харди и Дж. Э. Литтлвуд, «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел», Acta Mathematica , 41 (1916), стр. 119–196.
• ^ Давенпорт, Гарольд (2000). В мультипликативной теории чисел . Спрингер. п. 104. ISBN   0-387-95097-4 . Поиск книг Google.

Ссылки

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , МР   0434929 , Збл   0335.10001

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функции Чебышева» . Математический мир .
• «Суммарная функция Мангольдта» . ПланетаМатематика .
• «Функции Чебышева» . ПланетаМатематика .
• Явная формула Римана с изображениями и фильмами