функция Чебышева

В этой статье используются технические математические обозначения логарифмов. Все экземпляры log( x ) без индексной базы следует интерпретировать как натуральный логарифм , обычно обозначаемый как ln( x ) или log _e ( x ).

В математике — функция Чебышева это либо скаляризирующая функция ( функция Чебышева ), либо одна из двух родственных функций. Первая функция Чебышева $ϑ (x)$ или $θ (x)$ определяется выражением

\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p

где $\log$ обозначает натуральный логарифм , сумма которого распространяется на все простые числа $p$ , которые меньше или равны $x$ .

Вторая функция Чебышева $ψ (x)$ определяется аналогично, причем сумма распространяется по всем простым степеням, не превосходящим $x$

\psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,

где $Λ$ — функция Мангольдта . Функции Чебышева, особенно вторая $ψ (x)$ , часто используются в доказательствах , связанных с простыми числами , поскольку с ними обычно проще работать, чем с функцией подсчета простых чисел , $π (x)$ (см. точную формулу ниже .) Обе функции Чебышева асимптотичны к $x$ , что эквивалентно теореме о простых числах .

Функция Чебышева , функция полезности Чебышева или взвешенная скаляризирующая функция Чебышева используется, когда имеется несколько функций, которые необходимо минимизировать, и требуется «скаляризовать» их до одной функции:

f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).

^[1]

Минимизируя эту функцию для разных значений $w$ , можно получить каждую точку на фронте Парето , даже в невыпуклых частях. ^[1] Зачастую функции, которые необходимо минимизировать, не $f_{i}$ но $|f_{i}-z_{i}^{*}|$ для некоторых скаляров $z_{i}^{*}$ . Затем $f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.$ ^[2]

Все три функции названы в честь Пафнутия Чебышева .

Отношения [ править ]

Вторую функцию Чебышева можно увидеть связанной с первой, записав ее как

\psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p

где $k$ — уникальное целое число такое, что $p к \leq x$ и $x < p к + 1$ . Значения $k$ приведены в OEIS : A206722 . Более прямую связь дает

\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.

Обратите внимание, что эта последняя сумма имеет только конечное число ненулевых членов, так как

\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.

Вторая функция Чебышева — это логарифм наименьшего общего кратного целых чисел от 1 до $n$ .

\operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.

Значения $lcm(1, 2, ..., n)$ для целочисленной переменной $n$ приведены в OEIS : A003418 .

Отношения между ψ ( x )/ x и ϑ ( x )/ x [ править ]

Следующая теорема связывает два фактора ${\frac {\psi (x)}{x}}$ и ${\frac {\vartheta (x)}{x}}$ . ^[3]

Теорема: Для $x>0$ , у нас есть

0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.

Примечание. Из этого неравенства следует, что

\lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.

Другими словами, если один из $\psi (x)/x$ или $\vartheta (x)/x$ стремится к пределу , то и другое стремится к пределу, и оба предела равны.

Доказательство: поскольку $\psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})$ , мы находим это

0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).

Но из определения $\vartheta (x)$ мы имеем тривиальное неравенство

\vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x

так

{\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}

Наконец, разделите на $x$ чтобы получить неравенство в теореме.

Асимптотика и границы [ править ]

Для функций Чебышева известны следующие оценки: ^[1]^[2] (в этих формулах $p k$ — $k$ -е простое число; $p 1 = 2$ , $p 2 = 3$ и т. д.)

{\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}

Кроме того, согласно гипотезе Римана ,

{\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}

для любого $ε > 0$ .

Верхние границы существуют как для $ϑ (x)$ , так и $для ψ (x)$ такие, что ^[4] ^[3]

{\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}

для любого $х > 0$ .

Объяснение константы 1,03883 дано в OEIS : A206431 .

Точная формула [ править ]

В 1895 году Ганс Карл Фридрих фон Мангольдт доказал ^[4] явное выражение для $ψ (x)$ как суммы по нетривиальным нулям Римана дзета-функции :

\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).

(Численное значение $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}ζ ′ (0) / ζ (0)$ равно $log(2π)$ .) Здесь $ρ$ пробегает нетривиальные нули дзета-функции, а $ψ 0$ совпадает с $ψ$ , за исключением того, что на ее скачкообразных разрывах (простых степенях) она принимает значение посередине между значениями слева и справа:

\psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}

Из ряда Тейлора для логарифма последний член явной формулы можно понимать как сумму $Икс ой / ω$ по тривиальным нулям дзета-функции, $ω = -2, -4, -6, ...$ , т. е.

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).

Аналогично, первый член $x = Икс 1 / 1$ соответствует простому полюсу дзета-функции в точке 1. То, что это полюс, а не ноль, объясняет противоположный знак члена.

Свойства [ править ]

Теорема Эрхарда Шмидта утверждает, что для некоторой явной положительной константы $K$ существует бесконечно много натуральных чисел $x$ таких, что

\psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}

и бесконечно много натуральных чисел $x$ таких, что

\psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.

^[5]^[6]

В Little- $O$ обозначениях вышеизложенное можно записать как

\psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).

Харди и Литтлвуд ^[7] докажите более сильный результат, что

\psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).

Отношение к первобытным [ править ]

Первая функция Чебышева — это логарифм простого числа x $,$ обозначаемый $x #$ :

\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).

Это доказывает, что первоначальный $x #$ асимптотически равен $e (1 + о (1)) х$ , где « $o$ » — обозначение small- $o$ (см. big $O$ обозначение ) и вместе с теоремой о простых числах устанавливает асимптотическое поведение $p n #$ .

Связь с функцией подсчета простых чисел [ править ]

Функцию Чебышева можно связать с функцией подсчета простых чисел следующим образом. Определять

\Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.

Затем

\Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.

Переход от $Π$ к функции счета простых чисел π $осуществляется$ через уравнение

\Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots

Конечно, $π (x) \leq x$ , поэтому для приближения это последнее соотношение можно переписать в виде

\pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).

Гипотеза Римана [ править ]

Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть. 1/2 . В этом случае $| Икс р | = \sqrt x$ , и можно показать, что

\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).

Из вышесказанного следует, что

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).

Функция сглаживания [ править ]

Разница сглаженной функции Чебышева и $Икс 2 / 2$ для $х < 10 6$

Функция сглаживания определяется как

\psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.

Очевидно $\psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.$

Примечания [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Джошуа Ноулз (2 мая 2014 г.). «Концепции, алгоритмы и показатели многоцелевой оптимизации» (PDF) . Манчестерский университет. п. 34.
^ Хо-Хуу, В.; Хартьес, С.; Виссер, Х.Г.; Карран, Р. (2018). «Улучшенный алгоритм MOEA/D для задач двухцелевой оптимизации со сложными фронтами Парето и его применение к структурной оптимизации» (PDF) . Экспертные системы с приложениями . Делфтский технологический университет. Уравнение (2). дои : 10.1016/j.eswa.2017.09.051 .
^ Апостол, Том М. (2010). Введение в аналитическую теорию чисел . Спрингер. стр. 75–76.
^ Россер, Дж. Баркли ; Шенфельд, Лоуэлл (1962). «Приближенные формулы для некоторых функций простых чисел» . Иллинойс Дж. Математика . 6 : 64–94.

^ Пьер Дюсар , «Оценки некоторых функций над простыми числами без RH». arXiv : 1002.0442
^ Пьер Дюсар, «Более точные границы для $ψ$ , $θ$ , $π$ , $pk »$ , Rapport de recherche no. 1998-06, Университет Лиможа. Сокращенная версия появилась как « $K$ -е простое число больше $k (log k + log log k - 1)$ для $k \geq 2$ », Mathematics of Computation , Vol. 68, № 225 (1999), стр. 411–415.
^ Эрхард Шмидт, «О количестве простых чисел при заданном пределе», Mathematical Annals , 57 (1903), стр. 195–204.
^ Г.Х. Харди и Дж. Э. Литтлвуд, «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел», Acta Mathematica , 41 (1916), стр. 119–196.
^ Давенпорт, Гарольд (2000). В мультипликативной теории чисел . Спрингер. п. 104. ISBN 0-387-95097-4 . Поиск книг Google.

Ссылки [ править ]

Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , МР 0434929 , Збл 0335.10001

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Функции Чебышева» . Математический мир .
«Суммарная функция Мангольдта» . ПланетаМатематика .
«Функции Чебышева» . ПланетаМатематика .
Явная формула Римана с изображениями и фильмами

[JK-1] Перейти обратно: ^а ^б Джошуа Ноулз (2 мая 2014 г.). «Концепции, алгоритмы и показатели многоцелевой оптимизации» (PDF) . Манчестерский университет. п. 34.

[2] Хо-Хуу, В.; Хартьес, С.; Виссер, Х.Г.; Карран, Р. (2018). «Улучшенный алгоритм MOEA/D для задач двухцелевой оптимизации со сложными фронтами Парето и его применение к структурной оптимизации» (PDF) . Экспертные системы с приложениями . Делфтский технологический университет. Уравнение (2). дои : 10.1016/j.eswa.2017.09.051 .

[3] Апостол, Том М. (2010). Введение в аналитическую теорию чисел . Спрингер. стр. 75–76.

[4] Россер, Дж. Баркли ; Шенфельд, Лоуэлл (1962). «Приближенные формулы для некоторых функций простых чисел» . Иллинойс Дж. Математика . 6 : 64–94.

[1]

[2]

[3]

[4]