Основная власть

Номинальную мощность электрического генератора см. в разделе Основная мощность (электрическая) .

В математике степень простого числа – это целое положительное число , которое представляет собой положительную целую степень одного простого числа . Например: 7 = 7 ¹ , 9 = 3 ² и 64 = 2 ⁶ являются основными полномочиями, в то время как 6 = 2 × 3 , 12 = 2 ² × 3 и 36 = 6 ² = 2 ² × 3 ² не.

Последовательность основных полномочий начинается:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, …

(последовательность A246655 в OEIS ).

Степени простых чисел — это такие положительные целые числа, которые делятся ровно на одно простое число; в частности, число 1 не является простой степенью. Степени простых чисел также называются первичными числами , как и при первичном разложении .

Свойства

Алгебраические свойства

Степени простых чисел – это степени простых чисел. Каждая степень простого числа (кроме степеней 2 больше 4) имеет примитивный корень ; таким образом, мультипликативная группа целых чисел по модулю p ^н т.е. группа единиц кольца Z / ( p ^н Z ) является циклическим .

Число элементов конечного поля всегда является степенью простого числа, и наоборот, каждая степень простого числа встречается как количество элементов в некотором конечном поле (которое уникально с точностью до изоморфизма ).

Комбинаторные свойства

Свойство степеней простых чисел, часто используемое в аналитической теории чисел, состоит в том, что набор степеней простых чисел, которые не являются простыми, является небольшим набором в том смысле, что бесконечная сумма обратных им чисел сходится , хотя простые числа представляют собой большой набор.

Свойства делимости

Тотент -функция ( φ ) и сигма-функции ( σ ₀ ) и ( σ ₁ ) простой степени вычисляются по формулам

$\varphi (p^{n})=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),$

$\sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,$

$\sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.$

Все простые степени являются неполными числами . Простая степень p ^н является n - почти простым числом . Неизвестно, является ли степень простого числа p ^н может быть членом дружеской пары . Если такое число существует, то р ^н должно быть больше 10 ¹⁵⁰⁰ и n должно быть больше 1400.

См. также

• Почти премьер
• Простое число Ферми – Дирака
• Идеальная мощность
• Полупервоклассный

Дальнейшее чтение

• Элементарная теория чисел . Джонс, Гарет А. и Джонс, Дж. Мэри. Спрингер-Верлаг Лондон Лимитед. 1998.