Мультипликативная группа целых чисел по модулю n

В модульной арифметике целые числа взаимно простые (относительно простые) с n из множества $\{0,1,\dots ,n-1\}$ из n неотрицательных целых чисел образуют группу при умножении по модулю n , называемую мультипликативной группой целых чисел по модулю n . Эквивалентно, элементы этой группы можно рассматривать как классы конгруэнтности , также известные как остатки по модулю n , которые взаимно просты с n .Отсюда другое название — группа примитивных классов вычетов по модулю n .В теории колец , разделе абстрактной алгебры , она описывается как группа единиц кольца целых чисел по модулю n . Здесь единицы относятся к элементам с мультипликативным обратным , которые в этом кольце являются в точности теми, которые взаимно просты с n .

Эту факторгруппу обычно обозначают $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$, является фундаментальным в теории чисел . Он используется в криптографии , факторизации целых чисел и тестировании на простоту . Это абелева задается конечная группа, порядок которой функцией тотента Эйлера : $|(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n).$ Для простых n группа является циклической , и в целом структуру легко описать, но простой общей формулы для поиска образующих не известно.

Групповые аксиомы

Несложно показать, что при умножении набор классов конгруэнции по модулю n , взаимно простых с n, удовлетворяет аксиомам абелевой группы .

Действительно, a взаимно просто с n тогда и только тогда, когда НОД ( a , n ) = 1 . Целые числа из одного и того же класса сравнения a ≡ b (mod n ) удовлетворяют условию НОД( a , n ) = НОД( b , n ) ; следовательно, один взаимно прост с n тогда и только тогда, когда другой взаимно прост. Таким образом, понятие классов сравнения по модулю n, взаимно простых с n, четко определено.

Поскольку НОД( a , n ) = 1 и НОД( b , n ) = 1 влечет за собой НОД( ab , n ) = 1 , множество классов, взаимно простых с n, замкнуто относительно умножения.

Умножение целых чисел учитывает классы конгруэнтности, то есть a ≡ a' и b ≡ b' (mod n ) подразумевает ab ≡ a'b' (mod n ) .Это означает, что умножение ассоциативно, коммутативно и что класс 1 является уникальным мультипликативным тождеством.

Наконец, для данного a мультипликативным обратным к модулю n удовлетворяющее является целое число x, условию ax ≡ 1 (mod n ) .Оно существует именно тогда, когда a взаимно просто с n , потому что в этом случае gcd( a , n ) = 1 и по лемме Безу существуют целые числа x и y, удовлетворяющие ax + ny = 1 . Обратите внимание, что уравнение ax + ny = 1 подразумевает, что x взаимно прост с n , поэтому мультипликативный обратный принадлежит группе.

Обозначения

Множество (классов сравнения) целых чисел по модулю n с операциями сложения и умножения представляет собой кольцо .Он обозначается $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ или $\mathbb {Z} /(n)$ (обозначение относится к частному целых чисел по модулю идеального $n\mathbb {Z}$ или $(n)$ состоящий из кратных n ).Вне теории чисел более простое обозначение $\mathbb {Z} _{n}$ часто используется, хотя его можно спутать с p -адическими целыми числами , когда n - простое число.

Мультипликативная группа целых чисел по модулю n , которая представляет собой группу единиц в этом кольце, может быть записана как (в зависимости от автора) $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },$   $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},$   $\mathrm {U} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ),$   $\mathrm {E} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$ (от немецкого Einheit , что переводится как единица ), $\mathbb {Z} _{n}^{*}$или подобные обозначения. В этой статье используется $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }.$

Обозначения $\mathrm {C} _{n}$ относится к циклической группе порядка n .Он изоморфен группе целых чисел по модулю n при сложении.Обратите внимание, что $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ или $\mathbb {Z} _{n}$ может также относиться к дополнительной группе.Например, мультипликативная группа $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }$ поскольку простое число p циклично и, следовательно, изоморфно аддитивной группе $\mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z}$, но изоморфизм не очевиден.

Структура

Порядок мультипликативной группы целых чисел по модулю n — это количество целых чисел в $\{0,1,\dots ,n-1\}$ взаимно простой к n . Оно определяется функцией Эйлера : $|(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n)$ (последовательность A000010 в OEIS ).Для простого p числа $\varphi (p)=p-1$.

Циклический случай

Основная статья: примитивный корень по модулю n

Группа $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ является циклическим тогда и только тогда, когда n равно 1, 2, 4, p ^к или 2 п. ^к , где p — нечетное простое число и k > 0 . При всех остальных значениях n группа не является циклической. Впервые это было доказано Гауссом .

Это означает, что для этих n :

$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{\varphi (n)},$ где $\varphi (p^{k})=\varphi (2p^{k})=p^{k}-p^{k-1}.$

По определению группа является циклической тогда и только тогда, когда она имеет генератор g ( порождающий набор { g } размера один), то есть степени $g^{0},g^{1},g^{2},\dots ,$ дать все возможные остатки по модулю n, взаимно простые с n (первые $\varphi (n)$ полномочия $g^{0},\dots ,g^{\varphi (n)-1}$ дать каждому ровно один раз).Генератор $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ называется примитивным корнем по модулю n . Если есть какой-либо генератор, то есть $\varphi (\varphi (n))$ из них.

Степени двойки

По модулю 1 любые два целых числа конгруэнтны, т. е. существует только один класс конгруэнтности, [0], взаимно простой с 1. Следовательно, $(\mathbb {Z} /1\,\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{1}$ — тривиальная группа с φ(1) = 1 элементом. Из-за своей тривиальности случай сравнений по модулю 1 обычно игнорируется, и некоторые авторы предпочитают не включать случай n = 1 в формулировки теорем.

По модулю 2 существует только один взаимно простой класс конгруэнтности, [1], поэтому $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{1}$ является тривиальной группой .

По модулю 4 существует два взаимно простых класса конгруэнтности, [1] и [3], поэтому $(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2},$ циклическая группа с двумя элементами.

По модулю 8 существует четыре взаимно простых класса конгруэнтности: [1], [3], [5] и [7]. Квадрат каждого из них равен 1, поэтому $(\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},$ Клейна четверка .

По модулю 16 существует восемь взаимно простых классов конгруэнтности [1], [3], [5], [7], [9], [11], [13] и [15]. $\{\pm 1,\pm 7\}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},$ — подгруппа 2-кручения (т. е. квадрат каждого элемента равен 1), поэтому $(\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }$ не является циклическим. Полномочия 3, $\{1,3,9,11\}$ являются подгруппой порядка 4, как и степени 5, $\{1,5,9,13\}.$ Таким образом $(\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{4}.$

Модель, показанная цифрами 8 и 16, сохраняется. для высших сил 2 ^к , к > 2 : $\{\pm 1,2^{k-1}\pm 1\}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},$ — подгруппа 2-кручения, поэтому $(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }$ не может быть циклической, а степени 3 являются циклической подгруппой порядка 2. ^{к - 2} , так:

$(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2^{k-2}}.$

Общие составные числа

По основной теореме о конечных абелевых группах группа $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ изоморфна прямому произведению циклических групп простых степенных порядков.

Точнее, китайская теорема об остатках. говорит, что если $\;\;n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}\dots ,\;$ затем кольцо $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ является прямым произведением колец, соответствующих каждому из его простых степенных коэффициентов:

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} \dots \;\;$

Аналогично, группа единиц $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ является прямым произведением групп, соответствующих каждому из простых степенных коэффициентов:

$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} )^{\times }\dots \;.$

Для каждой нечетной простой степени $p^{k}$ соответствующий коэффициент $(\mathbb {Z} /{p^{k}}\mathbb {Z} )^{\times }$ циклическая группа порядка $\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}$, что может в дальнейшем учитываться в циклических группах порядков простой степени.Для степеней 2 множитель $(\mathbb {Z} /{2^{k}}\mathbb {Z} )^{\times }$ не является циклическим, если k = 0, 1, 2, а разбивается на циклические группы, как описано выше.

Порядок группы $\varphi (n)$ является произведением порядков циклических групп в прямом произведении.Показатель . группы, то есть наименьшее общее кратное порядков в циклических группах, задается функцией Кармайкла $\lambda (n)$ (последовательность A002322 в OEIS ).Другими словами, $\lambda (n)$ — наименьшее число такое, что для каждого числа, взаимно простого с n , $a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$ держит.Он разделяет $\varphi (n)$ и равна ей тогда и только тогда, когда группа циклическая.

Подгруппа лжесвидетелей

Если n составное, существует собственная подгруппа группы $\mathbb {Z} _{n}^{\times }$, называемая «группой лжесвидетелей», состоящая из решений уравнения $x^{n-1}=1$, элементы которых, возведенные в степень n − 1 , конгруэнтны 1 по модулю n . Малая теорема Ферма утверждает, что для n = p эта группа состоит из всех простого числа $x\in \mathbb {Z} _{p}^{\times }$; таким образом, для составного n такие остатки x являются «ложноположительными» или «ложными свидетелями» простоты n . Число x = 2 чаще всего используется в этой базовой проверке на простоту, а n = 341 = 11 × 31 примечательно, поскольку $2^{341-1}\equiv 1\mod 341$, а n = 341 — наименьшее составное число, для которого x = 2 является ложным свидетельством простоты. Фактически подгруппа лжесвидетелей для 341 содержит 100 элементов и имеет индекс 3 внутри группы из 300 элементов. $\mathbb {Z} _{341}^{\times }$.

Примеры

п = 9

Наименьший пример с нетривиальной подгруппой лжесвидетелей — 9 = 3×3 . Существует 6 остатков, взаимно простых с 9: 1, 2, 4, 5, 7, 8. Поскольку 8 конгруэнтно -1 по модулю 9 , отсюда следует, что 8 ⁸ конгруэнтно 1 по модулю 9. Таким образом, 1 и 8 являются ложноположительными для «простости» 9 (поскольку 9 на самом деле не является простым числом). Фактически это единственные, поэтому подгруппа {1,8} — это подгруппа лжесвидетелей. Тот же аргумент показывает, что n − 1 является «лжесвидетелем» для любого нечётного составного n .

п = 91

Для n = 91 (= 7 × 13) существуют $\varphi (91)=72$ остатки взаимно просты с 91, половина из них (т.е. 36 из них) являются ложными свидетелями 91, а именно 1, 3, 4, 9, 10, 12, 16, 17, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 36, 38, 40, 43, 48, 51, 53, 55, 61, 62, 64, 66, 68, 69, 74, 75, 79, 81, 82, 87, 88 и 90, поскольку для этих значений х , х ⁹⁰ соответствует 1 модулю 91.

п = 561

n = 561 (= 3 × 11 × 17) — число Кармайкла , поэтому s ⁵⁶⁰ конгруэнтна 1 по модулю 561 для любого целого числа s, взаимно простого с 561. Подгруппа ложных свидетелей в этом случае не является собственной; это целая группа мультипликативных единиц по модулю 561, состоящая из 320 остатков.

Примеры

В этой таблице показано циклическое разложение $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ и порождающий набор для n ≤ 128. Наборы разложения и порождающие не уникальны; например,

$\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbb {Z} /35\mathbb {Z} )^{\times }&\cong (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /7\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{6}\cong \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{3}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{12}\cong (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /13\mathbb {Z} )^{\times }\\&\cong (\mathbb {Z} /52\mathbb {Z} )^{\times }\end{aligned}}$

(но $\not \cong \mathrm {C} _{24}\cong \mathrm {C} _{8}\times \mathrm {C} _{3}$). В таблице ниже перечислено кратчайшее разложение (среди них выбирается первое лексикографически - это гарантирует, что изоморфные группы будут перечислены с одинаковыми разложениями). Генераторный набор также выбирается как можно более коротким, и для n наименьший примитивный корень по модулю n с примитивным корнем указывается .

Например, возьмите $(\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }$. Затем $\varphi (20)=8$ означает, что порядок группы равен 8 (т. е. существует 8 чисел меньше 20, взаимно простых с ним); $\lambda (20)=4$ означает, что порядок каждого элемента делит 4, то есть четвертая степень любого числа, взаимно простого с 20, равна 1 (по модулю 20). Набор {3,19} порождает группу, а это означает, что каждый элемент $(\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }$ имеет вид 3 ^а × 19 ^б (где a равно 0, 1, 2 или 3, поскольку элемент 3 имеет порядок 4, и аналогично b равно 0 или 1, поскольку элемент 19 имеет порядок 2).

Наименьший примитивный корень по модулю n равен (0, если корня не существует)

0, 1, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 3, 5, 2, 0, 0, 7, 5, 0, 2, 7, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 0, 3, 0, 0, 2, 3, 0, 0, 6, 0, 3, 0, 0, 5, 5, 0, 3, 3, 0, 0, 2, 5, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 7, 0, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 2, 7, 2, 0, 0, 3, 0, 0, 3, 0, ... (последовательность A046145 в OEIS )

Числа элементов минимального порождающего набора по модулю n равны

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 2, ... (последовательность A046072 в OEIS )

Групповая структура $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$

$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	Генераторная установка		$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	Генераторная установка		$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	Генераторная установка		$n\;$	$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$	$\varphi (n)$	$\lambda (n)\;$	Генераторная установка
1	С 1	1	1	0		33	C 2 ×C 10	20	10	2, 10		65	C 4 ×C 12	48	12	2, 12		97	С 96	96	96	5
2	С 1	1	1	1		34	С 16	16	16	3		66	C 2 ×C 10	20	10	5, 7		98	С 42	42	42	3
3	С 2	2	2	2		35	C 2 ×C 12	24	12	2, 6		67	С 66	66	66	2		99	C 2 ×C 30	60	30	2, 5
4	С 2	2	2	3		36	C 2 ×C 6	12	6	5, 19		68	C 2 ×C 16	32	16	3, 67		100	C 2 ×C 20	40	20	3, 99
5	С 4	4	4	2		37	С 36	36	36	2		69	C 2 ×C 22	44	22	2, 68		101	С 100	100	100	2
6	С 2	2	2	5		38	С 18	18	18	3		70	C 2 ×C 12	24	12	3, 69		102	C 2 ×C 16	32	16	5, 101
7	CС6	6	6	3		39	C 2 ×C 12	24	12	2, 38		71	С 70	70	70	7		103	С 102	102	102	5
8	C 2 ×C 2	4	2	3, 5		40	C 2 ×C 2 ×C 4	16	4	3, 11, 39		72	C 2 ×C 2 ×C 6	24	6	5, 17, 19		104	C 2 ×C 2 ×C 12	48	12	3, 5, 103
9	CС6	6	6	2		41	С 40	40	40	6		73	С 72	72	72	5		105	C 2 ×C 2 ×C 12	48	12	2, 29, 41
10	С 4	4	4	3		42	C 2 ×C 6	12	6	5, 13		74	С 36	36	36	5		106	С 52	52	52	3
11	С 10	10	10	2		43	С 42	42	42	3		75	C 2 ×C 20	40	20	2, 74		107	CС106	106	106	2
12	C 2 ×C 2	4	2	5, 7		44	C 2 ×C 10	20	10	3, 43		76	C 2 ×C 18	36	18	3, 37		108	C 2 ×C 18	36	18	5, 107
13	С 12	12	12	2		45	C 2 ×C 12	24	12	2, 44		77	C 2 ×C 30	60	30	2, 76		109	CС108	108	108	6
14	CС6	6	6	3		46	С 22	22	22	5		78	C 2 ×C 12	24	12	5, 7		110	C 2 ×C 20	40	20	3, 109
15	C 2 ×C 4	8	4	2, 14		47	С 46	46	46	5		79	С 78	78	78	3		111	C 2 ×C 36	72	36	2, 110
16	C 2 ×C 4	8	4	3, 15		48	C 2 ×C 2 ×C 4	16	4	5, 7, 47		80	C 2 ×C 4 ×C 4	32	4	3, 7, 79		112	C 2 ×C 2 ×C 12	48	12	3, 5, 111
17	С 16	16	16	3		49	С 42	42	42	3		81	С 54	54	54	2		113	С 112	112	112	3
18	CС6	6	6	5		50	С 20	20	20	3		82	С 40	40	40	7		114	C 2 ×C 18	36	18	5, 37
19	С 18	18	18	2		51	C 2 ×C 16	32	16	5, 50		83	С 82	82	82	2		115	C 2 ×C 44	88	44	2, 114
20	C 2 ×C 4	8	4	3, 19		52	C 2 ×C 12	24	12	7, 51		84	C 2 ×C 2 ×C 6	24	6	5, 11, 13		116	C 2 ×C 28	56	28	3, 115
21	C 2 ×C 6	12	6	2, 20		53	С 52	52	52	2		85	C 4 ×C 16	64	16	2, 3		117	C 6 ×C 12	72	12	2, 17
22	С 10	10	10	7		54	С 18	18	18	5		86	С 42	42	42	3		118	С 58	58	58	11
23	С 22	22	22	5		55	C 2 ×C 20	40	20	2, 21		87	C 2 ×C 28	56	28	2, 86		119	C 2 ×C 48	96	48	3, 118
24	C 2 ×C 2 ×C 2	8	2	5, 7, 13		56	C 2 ×C 2 ×C 6	24	6	3, 13, 29		88	C 2 ×C 2 ×C 10	40	10	3, 5, 7		120	C 2 ×C 2 ×C 2 ×C 4	32	4	7, 11, 19, 29
25	С 20	20	20	2		57	C 2 ×C 18	36	18	2, 20		89	С 88	88	88	3		121	С 110	110	110	2
26	С 12	12	12	7		58	С 28	28	28	3		90	C 2 ×C 12	24	12	7, 11		122	С 60	60	60	7
27	С 18	18	18	2		59	С 58	58	58	2		91	C 6 ×C 12	72	12	2, 3		123	C 2 ×C 40	80	40	7, 83
28	C 2 ×C 6	12	6	3, 13		60	C 2 ×C 2 ×C 4	16	4	7, 11, 19		92	C 2 ×C 22	44	22	3, 91		124	C 2 ×C 30	60	30	3, 61
29	С 28	28	28	2		61	С 60	60	60	2		93	C 2 ×C 30	60	30	11, 61		125	С 100	100	100	2
30	C 2 ×C 4	8	4	7, 11		62	С 30	30	30	3		94	С 46	46	46	5		126	C 6 ×C 6	36	6	5, 13
31	С 30	30	30	3		63	C 6 ×C 6	36	6	2, 5		95	C 2 ×C 36	72	36	2, 94		127	С 126	126	126	3
32	C 2 ×C 8	16	8	3, 31		64	C 2 ×C 16	32	16	3, 63		96	C 2 ×C 2 ×C 8	32	8	5, 17, 31		128	C 2 ×C 32	64	32	3, 127

См. также

• Факторизация эллиптической кривой Ленстры

Ссылки

« Disquisitiones Arithmeticae» переведена с цицероновской латыни Гаусса на английский и немецкий языки . Немецкое издание включает все его статьи по теории чисел: все доказательства квадратичной взаимности , определение знака суммы Гаусса , исследования биквадратичной взаимности и неопубликованные заметки.

• Гаусс, Карл Фридрих (1986), Disquisitiones Arithmeticae (английский перевод, второе, исправленное издание) , перевод Кларка, Артура А., Нью-Йорк: Springer , ISBN  978-0-387-96254-2
• Гаусс, Карл Фридрих (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & другие статьи по теории чисел) (немецкий перевод, второе издание) , перевод Мазера, Х., Нью-Йорк: Челси, ISBN  978-0-8284-0191-3
• Ризель, Ганс (1994), Простые числа и компьютерные методы факторизации (второе издание) , Бостон: Birkhäuser, ISBN  978-0-8176-3743-9
• Виноградов, И.М. (2003), «§ VI Примитивные корни и индексы» , Элементы теории чисел , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 105–121, ISBN  978-0-486-49530-9

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Группа умножения по модулю» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Примитивный корень» . Математический мир .
• Веб-инструмент для интерактивного расчета групповых таблиц от Джона Джонса
• Последовательность OEIS A033948 (Числа, имеющие примитивный корень (мультипликативная группа по модулю n является циклической))
• Числа n такие, что мультипликативная группа по модулю n является прямым произведением k циклических групп:
  • k = 2 последовательности OEIS A272592 (2 циклические группы)
  • k = 3 последовательность OEIS A272593 (3 циклические группы)
  • k = 4 последовательности OEIS A272594 (4 циклические группы)
• Последовательность OEIS A272590 (наименьшее число m такое, что мультипликативная группа по модулю m является прямым произведением n циклических групп)