Квартальная взаимность

Квартичная или биквадратичная взаимность - это набор теорем элементарной и алгебраической теории чисел , которые устанавливают условия, при которых сравнение x ⁴ ≡ p (mod q ) разрешимо; Слово «взаимность» происходит от формы некоторых из этих теорем, поскольку они связывают разрешимость сравнения x ⁴ ≡ p (mod q ) к значению x ⁴ ≡ q (по модулю p ).

История

Эйлер сделал первые предположения о биквадратичной взаимности. Гаусс опубликовал две монографии по биквадратичной взаимности. В первом из них (1828 г.) он доказал гипотезу Эйлера о биквадратичном характере числа 2. Во втором (1832 г.) он сформулировал биквадратичный закон взаимности для гауссовских целых чисел и доказал дополнительные формулы. Он сказал что скоро выйдет третья монография с доказательством общей теоремы, но она так и не появилась. Доказательства Якоби представил в своих Кенигсбергских лекциях 1836–37. Первые опубликованные доказательства были принадлежат Эйзенштейну.

С тех пор был найден ряд других доказательств классической (гауссовой) версии: а также альтернативные утверждения. наблюдается взрыв интереса к законам рациональной взаимности . Леммермейер утверждает, что с 1970-х годов ^[А]

Целые числа

Четвертичный ) — это любое число , или биквадратичный вычет (mod p соответствующее четвертой степени целого числа (mod p ). Если х ⁴ ≡ a (mod p ) не имеет целочисленного решения, a — четвертой или невычет биквадратной степени (mod p ).

Как это часто бывает в теории чисел, проще всего работать с простыми числами по модулю, поэтому в этом разделе все модули p , q и т. д. считаются положительными, нечетными простыми числами.

Гаусс

Первое, на что следует обратить внимание при работе внутри кольца целых чисел Z , это то, что если простое число q равно ≡ 3 (mod 4), то вычет r является квадратичным вычетом (mod q ) тогда и только тогда, когда он является биквадратичным вычетом (mod д ). Действительно, первое дополнение к квадратичной взаимности утверждает, что -1 является квадратичным невычетом (mod q ), так что для любого целого числа x один из x и - x является квадратичным вычетом, а другой - невычетом. Таким образом, если r ≡ a ² (mod q ) — квадратичный вычет, то если a ≡ b ² является вычетом, r ≡ a ² ≡ б ⁴ (mod q ) — биквадратичный вычет, и если a — невычет, — a — вычет, — a ≡ b ² , и снова r ≡ (− a ) ² ≡ б ⁴ (mod q ) — биквадратичный вычет.

Поэтому единственный интересный случай — это когда модуль p ≡ 1 (mod 4).

Гаусс доказал что если p ≡ 1 (mod 4), то ненулевые классы вычетов (mod p ) можно разделить на четыре набора, каждый из которых содержит ( p −1)/4 числа. Пусть e — квадратичный невычет. Первый набор — это вычеты четвертой степени; второе — это число , умноженное на e, третье — это e. ² умножить числа в первом наборе, а четвертое — e ³ умножить числа в первом наборе. Другой способ описать это деление — позволить g быть примитивным корнем (mod p ); тогда первый набор — это все числа, индексы которых по отношению к этому корню ≡ 0 (mod 4), второй набор — все те, чьи индексы ≡ 1 (mod 4) и т. д. В словаре теории групп первое множество — это подгруппа индекса 4 (мультипликативной группы Z /p Z ^× ), а остальные три являются его смежными классами.

Первый набор — это биквадратичные вычеты, третий набор — это квадратичные вычеты, не являющиеся четвертыми вычетами, а второй и четвертый наборы — это квадратичные невычеты. Гаусс доказал, что −1 является биквадратичным вычетом, если p ≡ 1 (mod 8), и квадратичным, но не биквадратичным вычетом, если p ≡ 5 (mod 8).

2 является квадратичным вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда p ≡ ±1 (mod 8). Поскольку p также ≡ 1 (mod 4), это означает, что p ≡ 1 (mod 8). Каждое такое простое число представляет собой сумму квадрата и удвоенного квадрата.

Гаусс доказал

Пусть q = а ² + 2 б ² ≡ 1 (по модулю 8) — простое число. Затем

2 является биквадратичным вычетом (mod q ) тогда и только тогда, когда a ≡ ±1 (mod 8) и

2 является квадратичным, но не биквадратичным вычетом (mod q ) тогда и только тогда, когда a ≡ ±3 (mod 8).

Каждое простое число p ≡ 1 (mod 4) представляет собой сумму двух квадратов. Если р = а ² + б ² где a нечетно, а b четно, Гаусс доказал что

2 принадлежит первому (соответственно второму, третьему или четвертому) классу, определенному выше, тогда и только тогда, когда b ≡ 0 (соответственно 2, 4 или 6) (mod 8). Первый случай этого — одна из гипотез Эйлера:

2 является биквадратичным вычетом простого числа p ≡ 1 (mod 4) тогда и только тогда, когда p = a ² + 64 б ² .

Дирихле

Для нечетного простого числа p и квадратичного вычета a (mod p ) критерий Эйлера утверждает, что $a^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}},$ поэтому, если p ≡ 1 (mod 4), $a^{\frac {p-1}{4}}\equiv \pm 1{\pmod {p}}.$

Определим символ рационального вычета четвертой степени для простого числа p ≡ 1 (mod 4) и квадратичного вычета a (mod p ) как ${\Bigg (}{\frac {a}{p}}{\Bigg )}_{4}=\pm 1\equiv a^{\frac {p-1}{4}}{\pmod {p}}.$ Легко доказать, что a является биквадратичным вычетом (mod p ) тогда и только тогда, когда ${\Bigg (}{\frac {a}{p}}{\Bigg )}_{4}=1.$

Дирихле упростил доказательство Гаусса биквадратичного характера числа 2 (его доказательство требует только квадратичной взаимности для целых чисел) и представил результат в следующей форме:

Пусть р = а ² + б ² ≡ 1 (mod 4) — простое число, и пусть i ≡ b / a (mod p ). Затем

${\Bigg (}{\frac {2}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv i^{\frac {ab}{2}}{\pmod {p}}.$ (Обратите внимание, что я ² ≡ −1 (по модулю p ).)

Фактически, пусть р = а ² + б ² = с ² + 2 дня ² = и ² − 2 ж ² ≡ 1 (mod 8) — простое число, и предположим, что a нечетно. Затем

${\Bigg (}{\frac {2}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left(-1\right)^{\frac {b}{4}}={\Bigg (}{\frac {2}{c}}{\Bigg )}=\left(-1\right)^{n+{\frac {d}{2}}}={\Bigg (}{\frac {-2}{e}}{\Bigg )},$ где $({\tfrac {x}{q}})$ является обычным символом Лежандра .

Выходя за рамки числа 2, пусть простое число p = a ² + б ² где b четно, и пусть q — простое число такое, что $({\tfrac {p}{q}})=1.$ Квадратичная взаимность говорит, что $({\tfrac {q^{*}}{p}})=1,$ где $q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.$ Пусть σ ² ≡ п (мод q ). Затем

${\Bigg (}{\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {\sigma (b+\sigma )}{q}}{\Bigg )}.$ Это подразумевает что

${\Bigg (}{\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg )}_{4}=1{\mbox{ if and only if }}{\begin{cases}b\equiv 0{\pmod {q}};&{\mbox{ or }}\\a\equiv 0{\pmod {q}}{\mbox{ and }}\left({\frac {2}{q}}\right)=1;&{\mbox{ or }}\\a\equiv \mu b,\;\;\mu ^{2}+1\equiv \lambda ^{2}{\pmod {q}}{\mbox{, and }}\left({\frac {\lambda (\lambda +1)}{q}}\right)=1.\end{cases}}$

Первые несколько примеров:

${\begin{aligned}\left({\frac {-3}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod {3}}\\\left({\frac {5}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod {5}}\\\left({\frac {-7}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&ab&\equiv 0{\pmod {7}}\\\left({\frac {-11}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&\equiv 0{\pmod {11}}\\\left({\frac {13}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&\equiv 0{\pmod {13}}\\\left({\frac {17}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}\;\;\;\;&ab(b^{2}-a^{2})&\equiv 0{\pmod {17}}.\\\end{aligned}}$

Эйлер выдвинул гипотезу о правилах для 2, −3 и 5, но не доказал ни одного из них.

Дирихле также доказал, что если p ≡ 1 (mod 4) простое число и $({\tfrac {17}{p}})=1$ затем

${\Bigg (}{\frac {17}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{17}}{\Bigg )}_{4}={\begin{cases}+1{\mbox{ if and only if }}\;\;p=x^{2}+17y^{2}\\-1{\mbox{ if and only if }}2p=x^{2}+17y^{2}\end{cases}}$

Браун и Лемер расширили его с 17 до 17, 73, 97 и 193.

Должен

Существует ряд эквивалентных способов формулировки рационального биквадратичного закона взаимности Бурда.

Все они предполагают, что p = a ² + б ² и q = c ² + д ² являются простыми числами, где b и d четны, и что $({\tfrac {p}{q}})=1.$

Версия Госсета

${\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv {\Bigg (}{\frac {a/b-c/d}{a/b+c/d}}{\Bigg )}^{\frac {q-1}{4}}{\pmod {q}}.$

Позволяя мне ² ≡ −1 (mod p ) и j ² ≡ −1 (mod q ), закон Фрелиха имеет вид

${\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {a+bj}{q}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {c+di}{p}}{\Bigg )}.$

Бурде изложил свое в форме:

${\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {ac-bd}{q}}{\Bigg )}.$

Обратите внимание, что

${\Bigg (}{\frac {ac+bd}{p}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {ac-bd}{p}}{\Bigg )}.$

Разное

Пусть p ≡ q ≡ 1 (mod 4) — простые числа, и предположим, что $({\tfrac {p}{q}})=1$. Тогда е ² = пф ² + qg ² имеет нетривиальные целочисленные решения и

${\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left(-1\right)^{\frac {fg}{2}}\left({\frac {-1}{e}}\right).$

Пусть p ≡ q ≡ 1 (mod 4) — простые числа, и предположим, что p = r ² + вопрос ² . Затем

${\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left({\frac {2}{q}}\right)^{s}.$

Пусть р = 1 + 4 х ² — простое число, пусть a — любое нечетное число, делящее x , и пусть $a^{*}=\left(-1\right)^{\frac {a-1}{2}}a.$ Затем а ^* является биквадратичным вычетом (mod p ).

Пусть р = а ² + 4 б ² = с ² + 2 дня ² ≡ 1 (по модулю 8) — простое число. Затем все делители c ⁴ − год ² являются биквадратичными остатками (mod p ). То же самое верно для всех делителей d ⁴ − пб ² .

Гауссовы целые числа

Предыстория

В своей второй монографии о биквадратичной взаимности Гаусс приводит несколько примеров и выдвигает гипотезы, из которых следуют перечисленные выше теоремы о биквадратичном характере малых простых чисел. Он делает несколько общих замечаний и признает, что не существует очевидного общего правила. Он продолжает говорить

Теоремы о биквадратичных остатках блистают величайшей простотой и подлинной красотой только тогда, когда область арифметики распространяется на мнимые числа, так что без ограничений числа вида a + bi составляют объект изучения... такие числа мы называем целые комплексные числа . [жирный шрифт в оригинале]

Эти числа теперь называются кольцом гауссовских целых чисел и обозначаются Z [ i ]. Обратите внимание, что i — корень четвёртой степени из 1.

В сноске он добавляет

Теория кубических вычетов должна быть основана аналогичным образом на рассмотрении чисел вида a + bh, где h — мнимый корень уравнения h ³ = 1... и аналогично теория вычетов высших степеней приводит к введению других мнимых величин.

Числа, построенные из кубического корня из единицы, теперь называются кольцом целых чисел Эйзенштейна . «Другие мнимые величины», необходимые для «теории вычетов высших степеней», — это кольца целых чисел полей круговых чисел ; целые числа Гаусса и Эйзенштейна являются простейшими примерами таких чисел.

Факты и терминология

Гаусс развивает арифметическую теорию «целых комплексных чисел» и показывает, что она очень похожа на арифметику обычных целых чисел. Именно здесь в математику были введены термины «единица», «ассоциат», «норма» и «первичный».

Единицы — это числа, которые делят 1. Это 1, i , −1 и − i . Они подобны 1 и -1 в обычных целых числах, поскольку делят каждое число. Единицы — это степени i .

Учитывая число λ = a + bi , его сопряженным является a − bi , а его ассоциатами являются четыре числа.

λ = + а + би

  я λ = − b + ai

−λ = − а − би

− я λ = + b − ai

Если λ = a + bi , нормой λ, обозначаемой Nλ, является число a ² + б ² . Если λ и µ — два целых гауссовых числа, Nλμ = Nλ Nμ; другими словами, норма мультипликативна. Норма нуля равна нулю, норма любого другого числа — целое положительное число. ε является единицей тогда и только тогда, когда Nε = 1. Квадратный корень из нормы λ, неотрицательного действительного числа, которое не может быть целым гауссовским числом, является абсолютным значением лямбды.

Гаусс доказывает, что Z [ i ] является уникальной областью факторизации , и показывает, что простые числа делятся на три класса:

• 2 — частный случай: 2 = i ³ (1 + я ) ² . Это единственное простое число в Z , делящееся на квадрат простого числа в Z [ i ]. В теории алгебраических чисел говорят, что 2 разветвляется в Z [ i ].
• Положительные простые числа в Z ≡ 3 (mod 4) также являются простыми числами в Z [ i ]. В теории алгебраических чисел говорят, что эти простые числа остаются инертными в Z [ i ].
• Положительные простые числа в Z ≡ 1 (mod 4) представляют собой произведение двух сопряженных простых чисел в Z [ i ]. В теории алгебраических чисел говорят, что эти простые числа распадаются в Z [ i ].

Таким образом, инертные простые числа — это 3, 7, 11, 19, ..., а факторизация разделенных простых чисел — это

5 знак равно (2 + я ) × (2 - я ),

13 знак равно (2 + 3 я ) × (2 - 3 я ),

17 знак равно (4 + я ) × (4 - я ),

29 знак равно (2 + 5 я ) × (2 - 5 я ), ...

Ассоциированные и сопряженные простые числа также являются простыми числами.

Обратите внимание, что норма инертного простого числа q равна N q = q ² ≡ 1 (по модулю 4); таким образом, норма всех простых чисел, кроме 1 + i и его ассоциированных чисел, равна ≡ 1 (mod 4).

Гаусс называет число из Z [ i ] нечетным , если его норма — нечетное целое число. Таким образом, все простые числа, кроме 1 + i и его ассоциированных чисел, нечетны. Произведение двух нечетных чисел нечетно, а сопряженное и ассоциированное с нечетным числом нечетно.

Чтобы сформулировать единственную теорему о факторизации, необходимо уметь различать один из ассоциированных чисел. Гаусс определяет нечетное число будет основным , если оно ≡ 1 (mod (1 + i ) ³ ). Несложно показать, что каждое нечетное число имеет ровно один главный ассоциат. Нечетное число λ = a + bi является примарным, если a + b ≡ a − b ≡ 1 (mod 4); т. е. a ≡ 1 и b ≡ 0, или a ≡ 3 и b ≡ 2 (по модулю 4). Произведение двух простых чисел является первичным, и сопряженное простому числу также является первичным.

Уникальная теорема факторизации для Z [ i ]: если λ ≠ 0, то

$\lambda =i^{\mu }(1+i)^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots$

где 0 ⩽ µ ⩽ 3, ν ⩾ 0, π _i s — основные простые числа, а α _s ≥ 1, и это представление уникально с точностью до порядка множителей.

Понятия соответствия и наибольший общий делитель определяются в Z [ i как и для обычных целых чисел Z. ] так же , Поскольку единицы делят все числа, сравнение (по модулю λ) также истинно по модулю любого ассоциированного числа λ, и любой ассоциированный НОД также является НОД.

Символ четвертичного остатка

Гаусс доказывает аналог теоремы Ферма : если α не делится на нечетное простое число π, то

$\alpha ^{N\pi -1}\equiv 1{\pmod {\pi }}$

Поскольку Nπ ≡ 1 (по модулю 4), $\alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}$ имеет смысл, и $\alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}\equiv i^{k}{\pmod {\pi }}$ для уникального юнита i ^к .

Эта единица называется квартическим или биквадратичным вычетом α (mod π) и обозначается

$\left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=i^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}{\pmod {\pi }}.$

Он имеет формальные свойства, аналогичные свойствам символа Лежандра .

Конгруэнтность $x^{4}\equiv \alpha {\pmod {\pi }}$ разрешима в Z [ i ] тогда и только тогда, когда $\left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=1.$

${\Bigg [}{\frac {\alpha \beta }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}{\Bigg [}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg ]}$

${\overline {{\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}}}={\Bigg [}{\frac {\overline {\alpha }}{\overline {\pi }}}{\Bigg ]}$ где черта означает комплексное сопряжение .

если π и θ являются ассоциатами, ${\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\theta }}{\Bigg ]}$

если α ≡ β (mod π), ${\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg ]}$

Биквадратичный характер можно расширить до нечетных составных чисел в «знаменателе» точно так же, как символ Лежандра обобщается в символ Якоби . Как и в этом случае, если «знаменатель» составной, символ может равняться единице, но сравнение не разрешимо:

$\left[{\frac {\alpha }{\lambda }}\right]=\left[{\frac {\alpha }{\pi _{1}}}\right]^{\alpha _{1}}\left[{\frac {\alpha }{\pi _{2}}}\right]^{\alpha _{2}}\dots$ где $\lambda =\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots$

Если a и b — обычные целые числа, a ≠ 0, | б | > 1, НОД( a , b ) = 1, тогда    $\left[{\frac {a}{b}}\right]=1.$

теоремы

Гаусс сформулировал закон биквадратной взаимности в такой форме:

Пусть π и θ — различные основные простые числа Z [ i ]. Затем

если либо π, либо θ, либо оба равны ≡ 1 (mod 4), то ${\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}=\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right],$ но

если и π, и θ равны ≡ 3 + 2 i (mod 4), то ${\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}=-\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right].$

Так же, как квадратичный закон взаимности для символа Лежандра верен и для символа Якоби, требование, чтобы числа были простыми, не требуется; достаточно, чтобы они были нечетными относительно простых неединиц. Вероятно, самое известное высказывание:

Пусть π и θ — примарные относительно простые неединицы. Затем

${\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}.$

Существуют дополнительные теоремы для единиц и получетного простого числа 1 + i .

если π = a + bi — первичное простое число, то

${\Bigg [}{\frac {i}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{-{\frac {a-1}{2}}},\;\;\;{\Bigg [}{\frac {1+i}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{\frac {a-b-1-b^{2}}{4}},$

и таким образом

${\Bigg [}{\frac {-1}{\pi }}{\Bigg ]}=(-1)^{\frac {a-1}{2}},\;\;\;{\Bigg [}{\frac {2}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{-{\frac {b}{2}}}.$

Кроме того, если π = a + bi — простое число и b ≠ 0, то

${\Bigg [}{\frac {\overline {\pi }}{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {-2}{\pi }}{\Bigg ]}(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}$ (если b = 0, символ равен 0).

Якоби определил π = a + bi как первичное, если a ≡ 1 (mod 4). При такой нормировке закон принимает вид

Пусть α = a + bi и β = c + di , где a ≡ c ≡ 1 (mod 4), а b и d — четные относительно простые неединицы. Затем

$\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{\frac {bd}{4}}$

Следующая версия была найдена в неопубликованных рукописях Гаусса.

Пусть α = a + 2 bi и β = c + 2 di , где a и c нечетны, будут относительно простыми неединицами. Затем

$\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{bd+{\frac {a-1}{2}}d+{\frac {c-1}{2}}b},\;\;\;\;\left[{\frac {1+i}{\alpha }}\right]=i^{{\frac {b(a-3b)}{2}}-{\frac {a^{2}-1}{8}}}$

Закон можно сформулировать, не используя понятия первичного:

Если λ нечетно, пусть ε(λ) — единственная единица, конгруэнтная λ (mod (1 + i ) ³ ); т. е. ε(λ) = i ^к ≡ λ (mod 2 + 2 i ), где 0 ≤ k ≤ 3. Тогда для нечетных и относительно простых α и β ни одно из них не является единицей,

$\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\alpha -1}{4}}{\frac {N\beta -1}{4}}}\epsilon (\alpha )^{\frac {N\beta -1}{4}}\epsilon (\beta )^{\frac {N\alpha -1}{4}}$

Для нечетного λ пусть $\lambda ^{*}=(-1)^{\frac {N\lambda -1}{4}}\lambda .$ Тогда, если λ и µ — относительно простые неединицы, Эйзенштейн доказал

$\left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]={\Bigg [}{\frac {\mu ^{*}}{\lambda }}{\Bigg ]}.$

См. также

• Квадратичная взаимность
• Кубическая взаимность
• Октическая взаимность
• взаимность Эйзенштейна
• Артин взаимность

Примечания

• А. ^ Здесь «рациональные» означают законы, которые сформулированы в терминах обычных целых чисел , а не в терминах целых чисел некоторого поля алгебраических чисел .

Литература

Ссылки на оригинальные работы Эйлера, Дирихле и Эйзенштейна были скопированы из библиографий Леммермейера и Кокса и не использовались при подготовке данной статьи.

Эйлер

• Эйлер, Леонард (1849), Tractatus de numerorum doctrina, глава desdecim quae sursunt , Комментарий. Арифметика. 2

На самом деле это было написано в 1748–1750 годах, но опубликовано только посмертно; Это находится в томе V, стр. 182–283.

• Эйлер, Леонард (1911–1944), Opera Omnia, Series prima, тома I–V , Лейпциг и Берлин: Тойбнер

Гаусс

Две монографии Гаусса, посвященные биквадратичной взаимности, имеют последовательную нумерацию разделов: первая содержит §§ 1–23, вторая – §§ 24–76. Сноски, ссылающиеся на них, имеют форму «Gauss, BQ, § n ». Сноски, относящиеся к Disquisitiones Arithmeticae, имеют форму «Gauss, DA, Art. n ».

• Гаусс, Карл Фридрих (1828), Теория биквадратичных вычетов, Первый комментарий , Геттинген: Комментарий. Соц. королевская наука, Геттинген 6

• Гаусс, Карл Фридрих (1832), Теория биквадратных вычетов, Второй комментарий , Геттинген: Комментарий. Соц. королевская наука, Геттинген 7

Гаусса Они находятся в Werke , том II, стр. 65–92 и 93–148.

Немецкие переводы представлены на стр. 511–533 и 534–586 следующих статей, включая Disquisitiones Arithmeticae и другие статьи Гаусса по теории чисел.

• Гаусс, Карл Фридрих (1965), Исследования по высшей арифметике (второе издание) , перевод Мазера Х., Нью-Йорк: Челси, ISBN  0-8284-0191-8

Eisenstein

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтольд (1844 г.), «Луа де взаимности» , Журнал чистой и прикладной математики (Журнал Крелля) , 1844 г. (28), Дж. Рейн Ангью. Math. 28, стр. 53–67 (Журнал Крелля): 53–67, doi : 10.1515/crll.1844.28.53 , S2CID   120713971.

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтольд (1844), Простое доказательство и обобщение основной теоремы для биквадратичных остатков , Ж. Рейн Ангью. Математика 28 стр. 223–245 (Журнал Крелля).

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтольд (1845), Применение алгебры к трансцендентной арифметике , Дж. Рейн Ангью. Математика. 29 стр. 177–184 (Журнал Крелля)

• Эйзенштейн, Фердинанд Готхольд (1846), Вклад в теорию эллиптических функций I: Вывод биквадратичной фундаментальной ментальной теоремы из теории лемнискатных функций, а также комментарии к формулам умножения и преобразования , Дж. Рейн Ангью. Математика 30 стр. 185–210 (Журнал Крелля).

Все эти статьи находятся в первом томе его Werke .

Дирихле

• Дирихле, Пьер Гюстав ЛеЖен (1832), Демонстрация свойства, аналогичного закону взаимности, которое существует между любыми двумя простыми числами , Ж. Рейн Ангью. Математика. 9 стр. 379–389 (Журнал Крелля)

• Дирихле, Пьер Гюстав ЛеЖен (1833), Исследования по теории квадратичных форм , Abh. Пруссия. Академическая наука стр. 101–121

оба они находятся в первом томе его Werke .

Современные авторы

• Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа формы x ² +Нью-Йорк ² , Нью-Йорк: Уайли, ISBN  0-471-50654-0

• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание) , Нью-Йорк: Springer , ISBN  0-387-97329-Х

• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Спрингера по математике, Берлин: Springer, doi : 10.1007/978-3-662-12893-0 , ISBN  3-540-66957-4

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о биквадратичной взаимности» . Математический мир .

Эти две статьи Франца Леммермейера содержат доказательства закона Бурде и связанных с ним результатов:

• Рациональная квартическая взаимность
• Рациональная квартическая взаимность II